a) $\sqrt{0,09.64}$;                         b) $\sqrt{2^4.(-7{)}^2}$;

c) $\sqrt{12,1.360}$;                        d) $\sqrt{2^2{.3}^4}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{0,09.64}=\sqrt{0,09}.\sqrt{64}$

                   $=\sqrt{(0,3{)}^2}.\sqrt{8^2}$

                   $=|0,3|.|8|$

                   $=0,3.8$

                   $=2,4$.

b) Ta có:

$\sqrt{2^4.(-7{)}^2}=\sqrt{2^4}.\sqrt{(-7{)}^2}$

                     $=\sqrt{(2^2{)}^2}.\sqrt{(-7{)}^2}$

                     $=\sqrt{4^2}.\left|-7\right|$

                     $=|4|.|-7|$

                     $=4.7$

                     $=28$.

c) Ta có:

$\sqrt{12,1.360}=\sqrt{12,1.(10.36)}$

                    $=\sqrt{(12,1.10).36}$

                    $=\sqrt{121.36}$

                    $=\sqrt{121}.\sqrt{36}$

                    $=\sqrt{{11}^2}.\sqrt{6^2}$

                    $=|11|.|6|$

                    $=11.6$

                    $=66$.

d) Ta có:

$\sqrt{2^2{.3}^4}=\sqrt{2^2}.\sqrt{3^4}$

              $=\sqrt{2^2}.\sqrt{(3^2{)}^2}$

              $=\sqrt{2^2}.\sqrt{9^2}$

              $=|2|.|9|$

              $=2.9$

              $=18$.

a) $\sqrt{0,36a^2}$ với $a<0$;                        

b) $\sqrt{a^4.(3-a{)}^2}$ với $a\ge 3$;

c) $\sqrt{27.48(1-a{)}^2}$ với $a>1$;             

d) ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}$.$\sqrt{a^4.(a-b{)}^2}$ với $a>b$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{0,36a^2}=\sqrt{0,36}.\sqrt{a^2}$ 

                 $=\sqrt{0,6^2}.\sqrt{a^2}$

                 $=0,6.│a│$ (Vì $a<0$ nên $│a│=-a)$.

                 $=0,6.(-a)=-0,6a$

b) 

Vì $a^2$ ≥ 0   nên  $\left|a^2\right|=a^2$.

Vì $a\ge 3$   hay  $3\le a$   nên   $3-a\le 0$.

       $\Rightarrow │3-a│=-(3-a)=-3+a=a-3$.

Ta có: $\sqrt{a^4.(3-a{)}^2}=\sqrt{a^4}$.$\sqrt{(3-a{)}^2}$ 

                                         $=\sqrt{(a^2{)}^2}.\sqrt{(3-a{)}^2}$

                                         $=\left|a^2\right|.\left|3-a\right|$.

                                         $=a^2.(a-3)=a^3-3a^2$.

c) 

Vì $a>1$   hay   $1<a$    nên   $1-a<0$.

$\Rightarrow \left|1-a\right|=-(1-a)=-1+a=a-1$.

 Ta có: $\sqrt{27.48(1-a{)}^2}=\sqrt{27.(3.16).(1-a{)}^2}$

                                            $=\sqrt{(27.3).16.(1-a{)}^2}$

                                            $=\sqrt{\mathrm{81.16.}(1-a{)}^2}$ 

                                            $=\sqrt{81}.\sqrt{16}.\sqrt{{(1-a)}^2}$

                                            $=\sqrt{9^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a{)}^2}$

                                            $=\mathrm{9.4.}|1-a|$

                                             $=36.|1-a|$

                                             $=36.(a-1)=36a-36$.

d) 

Vì $a^2\ge 0$, với mọi $a$   nên $\left|a^2\right|=a^2$.

 Vì $a>b$ nên $a-b>0$. Do đó  $\left|a-b\right|=a-b$.

Ta có: ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}$ . $\sqrt{a^4.(a-b{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}$ . $\sqrt{a^4}.\sqrt{(a-b{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.\left|a^2\right|.\left|a-b\right|$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.a^2.(a-b)$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.(a-b).a^2$

$=a^2$

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}$.$\sqrt{{\displaystyle \frac{3a}{8}}}$ với $a\ge 0$;

b) $\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}$ với $a>0$;

c) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a$ với $a\ge 0$;

d) $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}$.

Lời giải:

a) Ta có: 

  $\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3a}{8}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}.{\displaystyle \frac{3a}{8}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a.3a}{3.8}}}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{2^2}}}$

 $=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\left|{\displaystyle \frac{a}{2}}\right|$ $={\displaystyle \frac{a}{2}}$.

(Vì $a\ge 0$   nên   ${\displaystyle \frac{a}{2}}\ge 0$  $\Rightarrow \left|{\displaystyle \frac{a}{2}}\right|={\displaystyle \frac{a}{2}}$).

b) Ta có:

$\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{13a.{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.52}{a}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.(13.4)}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(13.13).4.a}{a}}}$

 $=\sqrt{{13}^2.4}=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{4}$

$=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{2^2}=13.2$ 

 $=26$    (vì $a>0$)

c)

Do $a\ge 0$ nên bài toán luôn được xác định.

Ta có: $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a=\sqrt{5a.45a}-3a$

                                        $=\sqrt{(5.a).(\mathrm{5.9.}a)}-3a$

                                        $=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a$

                                        $=\sqrt{5^2{.3}^2.a^2}-3a$

                                        $=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a$

                                        $=\mathrm{5.3.}\left|a\right|-3a=15\left|a\right|-3a.$

                                        $=15a-3a=(15-3)a=12a.$

(vì $a\ge 0$   nên  $\left|a\right|=a).$

d) Ta có:

$(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=(3-a{)}^2-\sqrt{0,2.180a^2}$ 

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{(0,2.10).18.a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{\mathrm{2.18.}{a}^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{36a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{36}.\sqrt{a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{6^2}.\sqrt{a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-6.\left|a\right|$.

+) $TH1$: Nếu $a\ge 0\Rightarrow |a|=a$.

Do đó: $(3-a{)}^2-6\left|a\right|=(3-a{)}^2-6a$

                                        $=(3^2-\mathrm{2.3.}a+a^2)-6a$

                                        $=(9-6a+a^2)-6a$

                                        $=9-6a+a^2-6a$

                                        $=a^2+(-6a-6a)+9$

                                        $=a^2+(-12a)+9$

                                        $=a^2-12a+9$.

+) $TH2$: Nếu $a<0\Rightarrow |a|=-a$.

Do đó: $(3-a{)}^2-6\left|a\right|=(3-a{)}^2-6.(-a)$

                                        $=(3^2-\mathrm{2.3.}a+a^2)-(-6a)$

                                        $=(9-6a+a^2)+6a$

                                        $=9-6a+a^2+6a$

                                        $=a^2+(-6a+6a)+9$

                                        $=a^2+9$.

Vậy $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=a^2-12a+9$,   nếu $a\ge 0$.

        $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=a^2+9$,   nếu   $a<0$. 

$(A)1200$;         $(B)120$;           $(C)12$;           $(D)240$

Hãy chọn kết quả đúng.

Lời giải:

Ta có: 

$\sqrt{\mathrm{12.30.40}}=\sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}$

                    $=\sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}$

                    $=\sqrt{3^2{.4}^2{.10}^2}$

                    $=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{{10}^2}$

                    $=\mathrm{3.4.10}=120$.

Vậy đáp án đúng là $(B).120$

a) $\sqrt{{13}^2-{12}^2}$;                    b) $\sqrt{{17}^2-8^2}$;

c) $\sqrt{{117}^2-{108}^2}$;                 d) $\sqrt{{313}^2-{312}^2}$.

Lời giải:

Câu a: Ta có:

$\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{(13+12)(13-12)}$

                      $=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}$

                      $=\sqrt{5^2}=|5|=5$.

Câu b: Ta có:

$\sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{(17+8)(17-8)}$

                    $=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}$

                    $=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|$.

                    $=5.3=15$.

Câu c: Ta có:

$\sqrt{{117}^2-{108}^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)}$

                          $=\sqrt{9.225}$ $=\sqrt{9}.\sqrt{225}$

                          $=\sqrt{3^2}.\sqrt{{15}^2}=|3|.|15|$

                          $=3.15=45$.

Câu d: Ta có:

$\sqrt{{313}^2-{312}^2}=\sqrt{(313-312)(313+312)}$

                          $=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}$

                          $=\sqrt{{25}^2}=|25|=25$.

a) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$;

b) $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$ là hai số nghịch đảo của nhau.

Lời giải:

Câu a: Ta có:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1$

Câu b: 

Ta tìm tích của hai số $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$

Ta có:

$(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$

= $(\sqrt{2006}{)}^2-(\sqrt{2005}{)}^2$

$=2006-2005=1$

Do đó  $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})=1$

$\iff \sqrt{2006}-\sqrt{2005}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}}$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

$a)$ $\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ tại $x=-\sqrt{2}$; 

$b)$ $\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}$ tại $a=-2;b=-\sqrt{3}$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ $=\sqrt{4}.\sqrt{{(1+6x+9x^2)}^2}$

                                   $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                   $=\sqrt{2^2}.\sqrt{{\left[1^2+2.3x+(3x{)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\sqrt{{\left[{\left(1+3x\right)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\left|(1+3x{)}^2\right|$

                                   $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2>0$ với mọi $x$  nên $\left|(1+3x{)}^2\right|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                $2{\left[1+3.(-\sqrt{2})\right]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2{\left(1-3\sqrt{2}\right)}^2\approx 21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                  $=\left|3a\right|.\left|b-2\right|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$\left|3.(-2)\right|.\left|-\sqrt{3}-2\right|=\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2)\right|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12\approx 22,392$. 

a) $\sqrt{16x}=8$;                        b) $\sqrt{4x}=\sqrt{5}$;

c) $\sqrt{9(x-1)}=21$;             d) $\sqrt{4(1-x{)}^2}-6=0$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x\ge 0$

$\sqrt{16x}=8$$\iff {\left(\sqrt{16x}\right)}^2=8^2$ $\iff 16x=64$ $\iff x={\displaystyle \frac{64}{16}}\iff x=4$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=4$.

Cách khác: 

$\begin{array}{l}\sqrt{16x}=8\iff \sqrt{16}.\sqrt{x}=8\\ \iff 4\sqrt{x}=8\iff \sqrt{x}=2\\ \iff x=2^2\iff x=4\end{array}$

b) Điều kiện: $4x\ge 0\iff x\ge 0$

 $\sqrt{4x}=\sqrt{5}$ $\iff {\left(\sqrt{4x}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2\iff 4x=5\iff x={\displaystyle \frac{5}{4}}$ (thỏa mãn điều kiện) 

Vậy $x={\displaystyle \frac{5}{4}}$.

c) Điều kiện: $9\left(x-1\right)\ge 0\iff x-1\ge 0\iff x\ge 1$

$\sqrt{9\left(x-1\right)}=21$$\iff 3\sqrt{x-1}=21$$\iff \sqrt{x-1}=7$ $\iff x-1=49\iff x=50$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=50$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}\sqrt{9\left(x-1\right)}=21\iff 9\left(x-1\right)={21}^2\\ \iff 9\left(x-1\right)=441\iff x-1=49\\ \iff x=50\end{array}$

d) Điều kiện: $x\in R$ (vì $4.(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x)$

$\sqrt{4{\left(1-x\right)}^2}-6=0$$\iff 2\sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=6$ $\iff \left|1-x\right|=3$ $\iff [\begin{array}{l}1-x=3\\ 1-x=-3\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}$ Vậy $x=-2;x=4.$

a) So sánh $\sqrt{25+9}$ và $\sqrt{25}+\sqrt{9}$;

b) Với $a>0$ và $b>0$, chứng minh $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$+)\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$.

$+)\sqrt{25}+\sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3$

$=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$.

Vì $34<64$ nên $\sqrt{34}<\sqrt{64}$

Vậy $\sqrt{25+9}<\sqrt{25}+\sqrt{9}$

b) Với $a>0,b>0$, ta có

$+)(\sqrt{a+b}{)}^2=a+b$.

$+)(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}{)}^2+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2$

 $=a+2\sqrt{ab}+b$

 $=(a+b)+2\sqrt{ab}$. 

Vì $a>0,b>0$ nên $\sqrt{ab}>0\iff 2\sqrt{ab}>0$

$\iff (a+b)+2\sqrt{ab}>a+b$

$\iff (\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2>(\sqrt{a+b}{)}^2$

$\iff \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (đpcm)

a) $4$ và $2\sqrt{3}$;           b) $-\sqrt{5}$ và $-2$

Lời giải:

a)  Ta có:

$\begin{array}{l}4>3\iff \sqrt{4}>\sqrt{3}\\ \iff 2>\sqrt{3}\\ \iff 2.2>2.\sqrt{3}\\ \iff 4>2\sqrt{3}\end{array}$

Cách khác:

Ta có:  

$\{\begin{array}{c}{4}^2=16\hfill \\ {\left(2\sqrt{3}\right)}^2=2^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4.3=12\hfill \end{array}$

Vì $16>12\iff \sqrt{16}>\sqrt{1}2$

Hay $4>2\sqrt{3}$.

b) Vì $5>4\iff \sqrt{5}>\sqrt{4}$

$\iff \sqrt{5}>2$   

$\iff -\sqrt{5}<-2$ (Nhân cả hai vế bất phương trình trên với $-1$)

Vậy $-\sqrt{5}<-2$.

Lý thuyết Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương