Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai | Giải Toán lớp 9

Admin Vietjack Ngày: 07-05-2022 Lớp 9

615

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Căn bậc hai lớp 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Trả lời câu hỏi 1 trang 4 SGK Toán 9 Tập 1 Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 9; b) $\frac{4}{9}$ ; c) 0,25; d) 2.

Phương pháp giải:

+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^{2} = a .$

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$

Lời giải:

+ Căn bậc hai của số $9$ là $3$ và $- 3$ (vì $3^{2} = 9$ và $(- 3)^{2} = 9$ )

+ Căn bậc hai của số $\frac{4}{9}$ là $\frac{2}{3}$ và $- \frac{2}{3}$ (vì ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ và ${(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ )

+ Căn bậc hai của số $0, 25$ là $0, 5$ và $- 0, 5$ ( vì $0, 5^{2} = 0, 25$ và $(- 0, 5)^{2} = 0, 25$ )

+ Căn bậc hai của số $2$ là $\sqrt{2}$ và $- \sqrt{2}$ (vì $(\sqrt{2})^{2} = 2$ và $(- \sqrt{2})^{2} = 2$ )

Trả lời câu hỏi 2 Bài 1 trang 5 SGK Toán 9 Tập 1 Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau:

a) 49

b) 64

c) 81

d) 1.21

Phương pháp giải:

Ta sử dụng: Nếu ${\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = a \end{cases}$ thì $x = \sqrt{a} .$

Lời giải:

a) $\sqrt{49} = 7$ vì $7 \geq 0$ và 72 = 49

b) $\sqrt{64} = 8$ vì $8 \geq 0$ và 82 = 64

c) $\sqrt{81} = 9$ vì $9 \geq 0$ và 92 = 81

d) $\sqrt{1, 21} = 1, 1$ vì $1, 1 \geq 0$ và 1,12 = 1,21

Trả lời câu hỏi 3 Bài 1 trang 5 SGK Toán 9 Tập 1 Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) $64$

b) 81

c) 1.21

Phương pháp giải:

Căn bậc hai của số $a$ không âm là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$

Lời giải:

a) Căn bậc hai của số $64$ là $8$ và $- 8$

b) Căn bậc hai của số $81$ là $9$ và $- 9$

c) Căn bậc hai của số $1, 21$ là $1, 1$ và $- 1, 1$

Trả lời câu hỏi 4 Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 So sánh:

a) 4 và $\sqrt{15}$

b) $\sqrt{11}$ và 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a; b$ không âm ta có $\sqrt{a} < \sqrt{b} \Leftrightarrow a < b$

Lời giải:

a) Vì 16 > 15 nên $\sqrt{16} > \sqrt{15}$ . Vậy 4 > $\sqrt{15}$

b) Vì 11 > 9 nên $\sqrt{11} > \sqrt{9}$ . Vậy $\sqrt{11}$ > 3

Trả lời câu hỏi 5 Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 Tìm số

x

không âm, biết:

a) $\sqrt{x} > 1$

b) $\sqrt{x} < 3$

a) Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a; b$ không âm ta có $\sqrt{a} > \sqrt{b} \Leftrightarrow a > b$ rồi kết hợp với $x$ không âm để kết luận.

Lời giải:

$\sqrt{x} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} > \sqrt{1} \Leftrightarrow x > 1$

Kết hợp với $x \geq 0$ ta có $x > 1$ thỏa mãn đề bài.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a; b$ không âm ta có $\sqrt{a} < \sqrt{b} \Leftrightarrow a < b$ rồi kết hợp với $x$ không âm để kết luận.

Lời giải:

$\sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} < \sqrt{9} \Leftrightarrow x < 9$

Kết hợp điều kiện $x \geq 0$ ta có $0 \leq x < 9$

Bài tập trang 6, 7 SGK Toán 9

Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng

121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400.

Phương pháp giải:

+) Căn bậc hai số học của $a$ là $\sqrt{a}$ với $a > 0$ .

+) Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $- \sqrt{a}$ .

Lời giải:

Ta có:

+ $\sqrt{121}$ có căn bậc hai số học là $11$ (vì $11 > 0$ và $11^{2} = 121$ )

$\Rightarrow 121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $- 11$ .

+ $\sqrt{144}$ có căn bậc hai số học là $12$ (vì $12 > 0$ và $12^{2} = 144$ )

$\Rightarrow 144$ có hai căn bậc hai là $12$ và $- 12$ .

+ $\sqrt{169}$ có căn bậc hai số học là $13$ (vì $13 > 0$ và $13^{2} = 169$ )

$\Rightarrow 169$ có hai căn bậc hai là $13$ và $- 13$ .

+ $\sqrt{225}$ có căn bậc hai số học là $15$ (vì $15 > 0$ và $15^{2} = 225$ )

$\Rightarrow 225$ có hai căn bậc hai là $15$ và $- 15$ .

+ $\sqrt{256}$ có căn bậc hai số học là $16$ (vì $16 > 0$ và $16^{2} = 256$ )

$\Rightarrow 256$ có hai căn bậc hai là $16$ và $- 16$ .

+ $\sqrt{324}$ có căn bậc hai số học là $18$ (vì $18 > 0$ và $18^{2} = 324$ )

$\Rightarrow 324$ có hai căn bậc hai là $18$ và $- 18$ .

+ $\sqrt{361}$ có căn bậc hai số học là $19$ (vì $19 > 0$ và $19^{2} = 361$ )

$\Rightarrow 361$ có hai căn bậc hai là $19$ và $- 19$ .

+ $\sqrt{400}$ có căn bậc hai số học là $20$ (vì $20 > 0$ và $20^{2} = 400$ )

$\Rightarrow 400$ có hai căn bậc hai là $20$ và $- 20$ .

Bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 So sánh

a) $2$ và $\sqrt{3}$

b) $6$ và $\sqrt{41}$

c) $7$ và $\sqrt{47}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a$ và $b$ không âm ta có:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Lời giải :

a) Ta có: $2 = \sqrt{4}$

Vì $4 > 3 \Leftrightarrow \sqrt{4} > \sqrt{3} \Leftrightarrow 2 > \sqrt{3}$ .

Vậy $2 > \sqrt{3}$ .

b) Ta có: $6 = \sqrt{36}$

Vì $36 < 41 \Leftrightarrow \sqrt{36} < \sqrt{41} \Leftrightarrow 6 < \sqrt{41}$

Vậy $6 < \sqrt{41}$ .

c) Ta có: $7 = \sqrt{49}$

Vì $49 > 47 \Leftrightarrow \sqrt{49} > \sqrt{47} \Leftrightarrow 7 > \sqrt{47}$ .

Vậy $7 > \sqrt{47}$ .

Bài 3 trang 6 sgk Toán 9 Tập 1 Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ

3

a) $x^{2} = 2$

x^{2} = 3

x^{2} = 3, 5

d) x= 4.12

Phương pháp giải:

+) $x^{2} = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a}$ , ( $a \geq 0$ ).

+) Sử dụng quy tắc làm tròn số:

Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn $5$ thì ta giữ nguyên các chữ số còn lại.

Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng $5$ thì ta cộng thêm $1$ vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.

Lời giải:

a) Ta có: $x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Bấm máy tính ta được:

$x \approx \pm 1, 414$

b) Ta có: $x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x \approx \pm 1, 732$

c) Ta có: $x^{2} = 3, 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3, 5}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x \approx \pm 1, 871$

d) Ta có: $x^{2} = 4, 12 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{4, 12}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x \approx \pm 2, 030$

Bài 4 trang 7 sgk Toán 9 Tập 1 Tìm số x không âm, biết:

a) $\sqrt{x} = 15$

b) $2 \sqrt{x} = 14$

c) $\sqrt{x} < \sqrt{2}$

\sqrt{2 x} < 4

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức

a = (\sqrt{a})^{2}

với

a \geq 0

- Sử dụng phương pháp bình phương hai vế:

\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2}

, với

A

B \geq 0

Lời giải:

a) Vì

x \geq 0

nên

\sqrt{x} = 15 \Rightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = {(15)}^{2}

\Leftrightarrow x = 225

Vậy

x = 225.

b) Vì $x \geq 0$ nên

$2 \sqrt{x} = 14 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 7$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = 7^{2}$ $\Leftrightarrow x = 49$

Vậy $x = 49$

c) $\sqrt{x} < \sqrt{2} \Leftrightarrow x < 2$

Kết hợp với $x \geq 0$ ta có $0 \leq x < 2$

Vậy $0 \leq x < 2$

d) Với $x \geq 0$ ta có $\sqrt{2 x} < 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 x} < \sqrt{16}$

$\Leftrightarrow 2 x < 16$ $\Leftrightarrow x < 8$

Kết hợp điều kiện $x \geq 0$ ta có: $0 \leq x < 8$

Bài 5 trang 7 sgk Toán 9 Tập 1 Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.

Phương pháp giải:

- Công thức tính diện tích hình vuông cạnh $a$ là $S = a^{2}$ .

- Công thức tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $a; b$ là $S = a . b$

Lời giải:

Gọi $x$ (m) là độ dài hình vuông, $x > 0$ .

Diện tích của hình vuông là: $x^{2} (m^{2})$

Diện tích của hình chữ nhật là: $3, 5.14 = 49$ $m^{2}$ .

Theo đề bài, diện tích của hình vuông bằng diện tích của hình chữ nhật, nên ta có:

$x^{2} = 49 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{49} \Leftrightarrow x = \pm 7$ .

Vì $x > 0$ nên $x = 7$ .

Vậy độ dài cạnh hình vuông là $7 m$ .

Lý thuyết Bài 1: Căn bậc hai

1. Căn thức bậc hai

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$

Với số dương $a$ , số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ .

Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$ .

+) $\sqrt{a} = x \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = a \end{cases}$

+) So sánh hai căn bậc hai số học:

Với hai số $a, b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$ . Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

Chú ý.:

Với $a \geq 0,$ ta có:

+ Nếu $x = \sqrt{a}$ thì ${\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = a \end{cases}$

+ Nếu ${\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = a \end{cases}$ thì $x = \sqrt{a} .$

Ta viết $x = \sqrt{a} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = a \end{cases}$

2. So sánh các căn bậc hai số học

ĐỊNH LÍ:

Với hai số $a; b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Ví dụ: So sánh 3 và $\sqrt{7}$

Ta có: $3 = \sqrt{9}$ mà $9 > 7$ suy ra $\sqrt{9} > \sqrt{7}$ hay $3 > \sqrt{7}$

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với mọi số $a$ , ta có $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

$\sqrt{A^{2}} = | A |$ nghĩa là

$\sqrt{A^{2}} = A$ nếu $A \geq 0$ và $\sqrt{A^{2}} = - A$ nếu $A < 0$ .

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a, b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A | = {\begin{cases} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{cases}$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ )

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A | = {\begin{cases} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{cases}$

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt{A}$ có nghĩa khi và chỉ khi $A \geq 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

$\sqrt{A} = B \Leftrightarrow {\begin{cases} B \geq 0 \\ A = B^{2} \end{cases}$ ; $\sqrt{A^{2}} = B \Leftrightarrow | A | = B$

$\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow {\begin{cases} A \geq 0 (B \geq 0) \\ A = B \end{cases}$ ; $\sqrt{A^{2}} = \sqrt{B^{2}} \Leftrightarrow | A | = | B | \Leftrightarrow A = \pm B$