Phương pháp giải:

Thay $b=2b^{\prime },\Delta =4{\Delta }^{\prime }$ vào các kết luận sau để thu được công thức nghiệm thu gọn

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Với $b=2b^{\prime },$ $\mathrm{\Delta }$ = 4${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ ta có:

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì $\mathrm{\Delta }>0$  phương trình có hai nghiệm

$\begin{array}{rl}& x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2b^{\prime }+\sqrt{4{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{2a}\\ & =\frac{2\left(-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)}{2a}=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}\\ & x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2b^{\prime }-\sqrt{4{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{2a}\\ & =\frac{2\left(-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)}{2a}=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}\end{array}$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$  thì $\mathrm{\Delta }=0$ phương trình có nghiệm kép.

${\displaystyle x=\frac{-b}{2a}=\frac{-2b^{\prime }}{2a}=\frac{-b^{\prime }}{a}}$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì $\mathrm{\Delta }<0$ do đó phương trình vô nghiệm.

$a=...;b^{\prime }=...;c=...$; ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=...;\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=...$

Nghiệm của phương trình $x_1=...;x_2=...$

Phương pháp giải:

Đối với phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

Lời giải:

$a=5;b^{\prime }=2;c=-1$;

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(b^{\prime }{)}^2-ac=2^2-5.\left(-1\right)=9;\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=3$

Nghiệm của phương trình$$\begin{gathered} x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-2+3}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}; \\ {x}_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-2-3}{5}}=-1. \end{gathered}$$

a) $3x^2+8x+4=0$  ;b) $7x^2-6\sqrt{2}x+2=0$

Phương pháp giải:

Đối với phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2$= ${\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm. 

Lời giải:

a) Xét phương trình $3x^2+8x+4=0$ có $a=3;b^{\prime }=4;c=4$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac=4^2-3.4=4>0$$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1=\frac{-4+2}{3}=\frac{-2}{3};x_2=\frac{-4-2}{3}=-2}$

b) Xét phương trình $7x^2-6\sqrt{2}x+2=0$ có $a=7;b^{\prime }=-3\sqrt{2};c=2$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac={\left(-3\sqrt{2}\right)}^2-7.2=4$

Suy ra $\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+2}{7}};x_2={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-2}{7}}$

Bài tập trang 49-50 SGK Toán 9

a) $4x^2+4x+1=0$   ;b) $13852x^2-14x+1=0$

c) $5x^2-6x+1=0$   ;d) $-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0$

Phương pháp giải:

Xét phương trình: $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(b^{\prime }{)}^2-ac.$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}};x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có hai nghiệm kép: $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

Lời giải:

a) $4x^2+4x+1=0$

Ta có: $a=4,b^{\prime }=2,c=1$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-4.1=0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

b) $13852x^2-14x+1=0$

Ta có: $a=13852,b^{\prime }=-7,c=1$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-7{)}^2-13852.1=-13803<0$ 

Do đó phương trình vô nghiệm.

c) $5x^2-6x+1=0$

Ta có: $a=5,b^{\prime }=-3,c=1$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-3{)}^2-5.1=4>0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{3+\sqrt{4}}{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$

$x_2={\displaystyle \frac{3-\sqrt{4}}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}.$

d) $-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0$

Ta có: $a=-3,b^{\prime }=2\sqrt{6},c=4$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(2\sqrt{6}{)}^2-(-3).4=36>0$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}+6}{-3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}-6}{3}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}-6}{-3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}+6}{3}}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương trình vô nghiệm khi $\mathrm{\Delta }<0$.

+) Biến đổi $a{x}^2+bx+c=a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}$ rồi đánh giá từng hạng tử.

Lời giải:

Khi $a>0$ và phương trình vô nghiệm thì $\mathrm{\Delta }=b{}^2-4ac<0$.

Do đó: $-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}>0$ 

Lại có: 

$\begin{array}{l}a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x\right)+c\\ =a\left(x^2+2.{\displaystyle \frac{b}{2a}}.x+{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}\right)-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}}+c\\ =a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\end{array}$

$=a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2+\left(-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\right)$

Vì $a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2\ge 0$  với mọi $x\in R$, mọi $a>0$.

Lại có $-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}>0$  (cmt)

Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó

$a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2+\left({\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\right)>0$  với mọi $x$.

Hay $a{x}^2+bx+c>0$ với mọi $x$

a) $25x^2-16=0$

b) $2x^2+3=0$

c) $4,2x^2+5,46x=0$

d) $4x^2-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}$

Phương pháp giải:

a) Với mọi $x\ge 0$, ta có: $x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}$.

b)Với mọi $x$ luôn có $x^2\ge 0$.

c) Đưa về phương trình tích: $a.b=0\iff a=0$ hoặc $b=0$. 

d) Sử dụng công thức nghiệm thu gọn. 

Lời giải:

a) Ta có:

$25x^2-16=0\iff 25x^2=16\iff x^2={\displaystyle \frac{16}{25}}$

$\iff x=\pm$$\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{25}}}$ = ±${\displaystyle \frac{4}{5}}$

b) $2x^2+3=0$. 

Ta có: $x^2\ge 0$ với mọi $x$ suy ra $VT=2x^2+3\ge 3>0$ với mọi $x$.

Mà $VP=0$. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta có:

$4,2x^2+5,46x=0\iff 2x\left(2,1x+2,73\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ 2,1x+2,73=0\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ x=-1,3\hfill \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0;x=-1,3$

d) Ta có:

$4x^2-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}$

$\iff 4x^2-2\sqrt{3}x-1+\sqrt{3}=0$

Có $a=4,b^{\prime }=-\sqrt{3},c=-1+\sqrt{3}$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-4.\left(-1+\sqrt{3}\right)$

$=3+4-4\sqrt{3}={\left(2-\sqrt{3}\right)}^2>0$

$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2-\sqrt{3}$

Do đó phương trình có hai  nghiệm phân biệt:

$x_1$ $={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{4}}$  $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$ ,

$x_2$$={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{4}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$

a) $x^2=12x+288$       ;b) ${\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{12}}x=19$

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện chuyển các số hạng sang vế trái, vế phải bằng $0$.

Bước 2: Áp dụng công thức tính nghiệm thu gọn: $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac.$

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}};x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2=12x+288\iff x^2-12x-288=0$

$\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-6\right)}^2-1.\left(-288\right)=36+288=324>0$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{6-\sqrt{324}}{1}}=6-18=-12$.

$x_2={\displaystyle \frac{6+\sqrt{324}}{1}}=6+18=24$.

b) Ta có:

${\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{12}}x=19$

$\iff x^2+7x-228=0$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }=49-4.\left(-228\right)=49+912$

           $=961={31}^2>0$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-7+31}{2}}=12,$

$x_2={\displaystyle \frac{-7-31}{2}}=-19$

a) $15x^2+4x-2005=0$

b)${\displaystyle -\frac{19}{5}{x}^2-\sqrt{7}x+1890=0}$

Phương pháp giải:

Xét phương trình: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$     $(\ast )$

Cách 1: Phương trình $(\ast )$ có $\mathrm{\Delta }=b{}^2-4ac>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2: Phương trình $(\ast )$ có $ac<0$ thì phương trình có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu.

Lời giải:

Ta có: $a=15;b=4;c=-2005$

Cách 1:

Ta có: $\mathrm{\Delta }=4{}^2-\mathrm{4.15.}(-2005)=120316>0$ 

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2:

$\Rightarrow a.c=15.(-2005)<0$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Ta có: $a=-{\displaystyle \frac{19}{5}};b=-\sqrt{7};c=1890$

Cách 1:

$\mathrm{\Delta }=(-\sqrt{7}){}^2-4.(-{\displaystyle \frac{19}{5}}).1890=28735>0$ 

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2:

$\Rightarrow a.c=(-{\displaystyle \frac{19}{5}}).1890<0.$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Phương pháp giải:

a) Thay $t=5$ vào biểu thức của vận tốc $v$ để tính vận tốc.

b) Cho vận tốc  và giải phương trình bậc hai ẩn  để tìm thời gian 

+) Dựa vào công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình: 

Có  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Cho vận tốc $v=f(t)=120$ và giải phương trình bậc hai ẩn $t$ để tìm thời gian $t.$

+) Dựa vào công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình: $a{x}^2+2b^{\prime }x+c=0(a\ne 0).$

Có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(b^{\prime }{)}^2-ac>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

$[\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}\\ x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}\end{array}.$

Lời giải:

a) Khi $t=5$ (phút) thì $v=3.5^2-30.5+135=60$ $(km/h).$

b) Khi $v=120$ $(km/h)$, để tìm $t$ ta giải phương trình 

$120=3t^2-30t+135$

 $\iff t^2-10t+5=0.$.

Có $a=1,b=-10,b^{\prime }=-5,c=5$.

Khi đó: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=(-5{)}^2-5=25-5=20>0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Có: $\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$ 

$\Rightarrow t_1=5+2\sqrt{5}\approx 9,47;t_2=5-2\sqrt{5}\approx 0,53.$

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên $0<t<10$ nên cả hai giá trị của $t$ đều thích hợp. Vậy $t_1\approx 9,47$ (phút), $t_2\approx 0,53$ (phút).

a) Tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

b) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?

Phương pháp giải:

Xét phương trình: $a{x}^2+2b^{\prime }x+c=0(a\ne 0).$

Có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac.$ 

+) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:  
$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}};x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$
+) Nếu  ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}.$

+) Nếu  ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2=0$ có $a=1,b=-2(m-1),b^{\prime }=-(m-1),c=m^2.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-m^2 \\ =m^2-2m+1-m^2=1-2m. \end{gathered}$$

b) Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1–2m$ và $a=1\ne 0$

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 1-2m>0\iff m<{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

+) Phương trình có nghiệm kép $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff 1-2m=0\iff m={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

+) Phương trình vô nghiệm $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff 1-2m<0\iff m>{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Lý thuyết Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

1. Các kiến thức cần nhớ

Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$

và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$

Trường hợp 3. Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, $x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$, $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x}^2+bx+c=0$ với $b=2b^{\prime }$

+) Phương trình có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\end{array}$

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt$\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\end{array}$

+) Phương trình vô nghiệm $\iff [\begin{array}{l}a=0,b^{\prime }=0,c\ne 0\\ a\ne 0,{\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\end{array}$

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số $m$ là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của $m$.

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ với $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ ( hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$ )

Trường hợp 1. Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ hoặc $\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\right)$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ hoặc $\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\right)$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

Trường hợp 3. Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ hoặc $\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\right)$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$, $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$.