Câu 17

Đối với phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$, khoanh tròn vào chữ cái trước câu sai:

(A) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có  nghiệm là: 

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$ ; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

(B) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm là:

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{2a}}$  ; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{2a}}$

 (C) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$  ; $x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

 (D) Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm là

$x_1=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$  ; $x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

Trả lời:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{{}^{\prime }2}-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Nên A, C, D đúng.

B sai vì nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Chọn B.

Chú ý:

Ở đây khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ ta vẫn có hai nghiệm là $x_{1,2}=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$ nhưng khi thay ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ vào công thức nghiệm thì ta rút gọn được $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$.

Câu 18

Khoanh tròn vào trước khẳng định đúng.

(A) Đối với phương trình $3x^2-6x=0$ , không thể tính được ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ vì thiếu c

(B) Đối với phương trình $3x^2-12=0$ , không thể tính được ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ vì thiếu b

(C) Đối với phương trình $3x^2+2\pi x-{\pi }^2=0$ , không thể tính được ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ vì $2\pi$ không phải là số chẵn 

(D) Đối với mọi phương trình bậc hai đều có thể tính được ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$, ta luôn có biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Trả lời:

+ Đáp án A: Phương trình $3x^2-6x=0$ có $a=3;b^{\prime }=-3;c=0$ nên ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac=9-3.0=9$ . Do đó A sai.

+ Đáp án B: Phương trình $3x^2-12=0$ có $a=3;b^{\prime }=0;c=-12$ nên ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac=0-3.\left(-12\right)=36$ . Do đó B sai.

+ Đáp án C: Phương trình $3x^2+2\pi x-{\pi }^2=0$ có $a=3;b^{\prime }=\pi ;c=-{\pi }^2$ nên ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac={\pi }^2-3.\left(-{\pi }^2\right)=4{\pi }^2$ . Do đó C sai.

+ Đáp án D đúng vì với mọi phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$, ta luôn có biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Chọn D.

Câu 19

Cho phương trình $x^2-0,5x-0,25=0$. Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng:

LG a

$4x^2+4x+1=0$

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$ 

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Trả lời:

$a=4;b^{\prime }=2;c=1$;${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac=2^2-4.1=0$

Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

LG b

$13852x^2-14x+1=0$ 

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Trả lời:

$a=13852;b^{\prime }=-7;c=1$;${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(-7\right)}^2-13852.1=-13803<0$ 

Phương trình vô nghiệm. 

LG c

$5x^2-6x+1=0$

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$ 

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$ 

Trả lời:

$a=5;b^{\prime }=-3;c=1$; ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac={\left(-3\right)}^2-5.1=4>0;$$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-3\right)+\sqrt{4}}{5}}=1;$$x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-3\right)-\sqrt{4}}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$

LG d

$-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0$

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Trả lời:

$a=-3;b^{\prime }=2\sqrt{6};c=4$;${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(2\sqrt{6}\right)}^2-\left(-3\right).4=36>0;$$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=6$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}+\sqrt{36}}{-3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}-6}{3}};$

$x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}-\sqrt{36}}{-3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}+6}{3}}$

LG a

$3x^2-2x=x^2+3$ 

Phương pháp giải:

Chuyển vế đưa phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ rồi sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình.

Trả lời:

$3x^2-2x=x^2+3$$\iff 2x^2-2x-3=0$

 $a=2;b^{\prime }=-1;c=-3$; ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(-1\right)}^2-2.\left(-3\right)=7>0$  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$$\begin{gathered} ={\displaystyle \frac{-\left(-1\right)+\sqrt{7}}{2}}\approx 1,82; \\ {x}_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}} \end{gathered}$$$={\displaystyle \frac{-\left(-1\right)-\sqrt{7}}{2}}\approx 0,82$

LG b

${\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Phương pháp giải:

Chuyển vế đưa phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ rồi sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình.

Trả lời:

${\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)$$\iff 4x^2-4\sqrt{2}x+2-1=x^2-1$$\iff 3x^2-4\sqrt{2}x+2=0$

$a=3;b^{\prime }=-2\sqrt{2};c=2$; ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-3.2=2>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}}{3}}\approx 1,41;$

$x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-2\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}}{3}}\approx 0,47$

LG c

$3x^2+3=2\left(x+1\right)$ 

Phương pháp giải:

Chuyển vế đưa phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ rồi sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình.

Trả lời:

$3x^2+3=2\left(x+1\right)$$\iff 3x^2+3=2x+2$$\iff 3x^2-2x+1=0$

$a=3;b^{\prime }=-1;c=1$;  ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(-1\right)}^2-3.1$$=-2<0$

Phương trình vô nghiệm.

LG a

$25x^2-16=0$

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa phương trình về dạng $x^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}x=a\\ x=-a\end{array}$

Hoặc đưa về phương trình tích hoặc sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình.

Trả lời:

$25x^2-16=0\iff 25x^2=16$$\iff x^2={\displaystyle \frac{16}{25}}$$\iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x={\displaystyle \frac{4}{5}};x=-{\displaystyle \frac{4}{5}}.$

LG b

$2x^2+3=0$ 

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa phương trình về dạng $x^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}x=a\\ x=-a\end{array}$

Hoặc đưa về phương trình tích hoặc sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình.

Trả lời:

$2x^2+3=0\iff 2x^2=-3$ 

Vì vế trái không âm, còn vế phải luôn âm  nên phương trình vô nghiệm.

LG c

$4,2x^2+5,46x=0$

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa phương trình về dạng $x^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}x=a\\ x=-a\end{array}$

Hoặc đưa về phương trình tích hoặc sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình.

Trả lời:

$4,2x^2+5,46x=0$$\iff x\left(4,2x+5,46\right)=0$$\iff$ $x=0$ hoặc $4,2x+5,46=0$ $\iff x=0$ hoặc $x=-1,3$  

Phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-1,3.$

LG a

$x^2=12x+288$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm. 

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Để ý rằng nếu hệ số $b^{\prime }$ không là số nguyên thì ta nên dùng công thức nghiệm (không thu gọn) để giải phương trình.

Trả lời:

$x^2=12x+288\iff x^2-12x-288=0$$\left(a=1;b^{\prime }=-6;c=-288\right)$

Suy ra ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$$={\left(-6\right)}^2-1.\left(-288\right)=324>0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 

$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-6\right)+\sqrt{324}}{1}}=24;x_2$$={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{-\left(-6\right)-\sqrt{324}}{1}}=-12$

Hay phương trình có hai nghiệm $x=24;x=-12.$

LG b

${\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{12}}x=19$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$ và biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac.$

Trường hợp 1. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm. 

Trường hợp 2. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$

Trường hợp 3. Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$

Để ý rằng nếu hệ số $b^{\prime }$ không là số nguyên thì ta nên dùng công thức nghiệm (không thu gọn) để giải phương trình.

Trả lời:

${\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{12}}x=19$$\iff x^2+7x-228=0$$\left(a=1;b=7;c=-228\right)$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$=7^2-\mathrm{4.1.}\left(-228\right)=961>0;$$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=31$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$$={\displaystyle \frac{-7+\sqrt{961}}{2}}=12;$

$x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$$={\displaystyle \frac{-7-\sqrt{961}}{2}}=-19$

Hay phương trình có hai nghiệm $x=12;x=-19.$

LG a

Tính vận tốc của ô tô khi t = 5 (phút)

Phương pháp giải:

Thay $t=5$ vào hàm số $v\left(t\right)=3t^2-30t+135$ để tính vận tốc.

Trả lời:

Khi $t=5$ (phút) thì $v={3.5}^2-30.5+135=60\left(km/h\right)$

LG b

Tính (làm tròn đến hai chữ số thập phân) giá trị của t khi vận tốc ô tô bằng 120 km/h 

Phương pháp giải:

Dùng công thức nghiệm thu gọn để tính $t.$

Trả lời:

Khi $v=120\left(km/h\right)$ để tìm t, ta thay $v=120$ vào đẳng thức $v=3t^2-30t+135$, ta được phương trình

$120=3t^2-30t+135$ hay $t^2-10t+5=0$, với ẩn t

Giải phương trình

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac={\left(-5\right)}^2-1.5=20>0;$$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=2\sqrt{5}$

$t_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{5+\sqrt{20}}{1}}\approx 9,47;$

$t_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$={\displaystyle \frac{5-\sqrt{20}}{1}}\approx 0,53$

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên $0\le t\le 10$. Do đó cả hai giá trị của $t$ đều thích hợp

Vậy ô tô có vận tốc $120\left(km/h\right)$ khi $t_1\approx 9,47$ (phút) hoặc khi $t_2\approx 0,53$(phút).