VBT Toán lớp 9 Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai| Giải VBT Toán lớp 9

Daisy Ngày: 14-05-2022 Lớp 9

508

Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai trang 64,65,66,67,68,69,70 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Phần câu hỏi bài 7 trang 64, 65 Vở bài tập toán 9 tập 2

Câu 24.

Cho phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ (1)

Đặt x² = t, ta được phương trình $a t^{2} + b t + c = 0$ (2)

Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng

(A) Nếu phương trình (2) có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm

(B) Nếu phương trình (2) có hai nghiệm thì phương trình (1) có bốn nghiệm

(D) Phương trình (1) không thể có ba nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình thứ nhất từ đó suy ra các điều kiện của phương trình thứ hai.

Trả lời:

Ta thấy rằng vì đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ nên để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm không âm và mỗi nghiệm dương của phương trình (2) sẽ cho hai nghiệm đối nhau của phương trình (1). Từ đó

(A) sai vì nếu phương trình (2) chỉ có nghiệm âm thì phương trình (1) vô nghiệm.

(B) sai vì nếu phương trình (2) có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương thì phương trình (1) cũng chỉ có hai nghiệm trái dấu. Từ đó suy ra C đúng.

(D) sai vì nếu phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 25.

Phương trình $2 x^{4} - 7 x^{2} + 5 = 0$

(A) vô nghiệm

(B) Có 2 nghiệm

(D) Có 4 nghiệm

Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ rồi tìm số nghiệm của phương trình thu được, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $2 t^{2} - 7 t + 5 = 0 (*)$ $(a = 2; b = - 7; c = 5)$ có $a + b + c = 2 + (- 7) + 5 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_{1} = 1; t_{2} = \frac{c}{a} = \frac{5}{2} (T M)$

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là $x = \pm 1; x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Chọn D.

Chú ý:

Các em có thể không cần tính trực tiếp ra nghiệm $x$ , mà chỉ cần lập luận:

Nhận thấy phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 26.

Phương trình $\frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}$

(A) Có một nghệm duy nhất là x = 1

(B) Có một nghiệm duy nhất là x = 2

(D) Vô nghiệm

Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

Trả lời:

ĐK: $x \neq {- 2; 2}$

Ta có $\frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 8}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$ $\Rightarrow x^{2} + 8 = 3 x + 6$ $\Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Nhận thấy $a = 1; b = - 3; c = 2$ $\Rightarrow a + b + c = 1 + (- 3) + 2 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{c}{a} = 2.$

Kết hợp điều kiện $x \neq {- 2; 2}$ thấy chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Chọn A.

Chú ý:

Một số em không tìm điều kiện hoặc không kết hợp điều kiện dẫn đến chọn sai đáp án.

Câu 27.

Phương trình $x^{4} + 4 x^{2} = 0$

(A) Vô nghiệm

(B) Có một nghệm duy nhất là x = 0

(D) Có ba nghiệm là $x = 0, x = \pm 2$

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

Ta có $x^{4} + 4 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 0 \\ x^{2} + 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - 4 (V N) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0.$

Chọn B.

Bài 26 trang 65 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các phương trình trùng phương:

LG a

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ rồi tìm nghiệm của phương trình thu được, từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $t^{2} - 5 t + 4 = 0$

Phương trình này có $a + b + c = 1 + (- 5) + 4 = 0$ nên có hai nghiệm $t_{1} = 1; t_{2} = \frac{c}{a} = 4 (t h ỏ a m ã n)$

Với $t = t_{1} = 1$ ta có $x^{2} = 1$ . Vậy $x = \pm 1$

Với $t = t_{2} = 4$ ta có $x^{2} = 4$ . Vậy $x = \pm 2$

Phương trình đã cho có 4 nghiệm $x = 1; x = - 1; x = 2; x = - 2$ .

LG b

$2 x^{4} - 3 x^{2} - 2 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ rồi tìm nghiệm của phương trình thu được, từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ (*)

$Δ = {(- 3)}^{2} - 4.2. (- 2) = 25 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{Δ} = 5$

$t_{1} = \frac{- (- 3) + 5}{4} = 2 (n h ậ n);$ $t_{2} = \frac{- (- 3) - 5}{4} = - \frac{1}{2} (l o ạ i)$

Với $t = t_{1} = 2,$ ta có $x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \sqrt{2}; x = - \sqrt{2} .$

LG c

$3 x^{4} + 10 x^{2} + 3 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ rồi tìm nghiệm của phương trình thu được, từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $3 t^{2} + 10 t + 3 = 0$ (*)

$Δ^{'} = 5^{2} - 3.3 = 16 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ^{'}} = 4.$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} t = \frac{- 5 + 4}{3} = - \frac{1}{3} (l o ạ i) \\ t = \frac{- 5 - 4}{3} = - 3 (l o ạ i) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 27 trang 66 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

LG a

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{3} + 2 = x (1 - x)$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận

Trả lời:

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{3} + 2 = x (1 - x)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{3} + \frac{6}{3}$ $= \frac{3 x (1 - x)}{3}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 9 + 6 = 3 x - 3 x^{2}$ $\Leftrightarrow 4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

$Δ = {(- 3)}^{2} - 4.4 (- 3) = 57 > 0$

Phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \\ x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \end{array}$

LG b

$\frac{x + 2}{x - 5} + 3 = \frac{6}{2 - x}$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận

Trả lời:

Điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq 5$

Khử mẫu và biến đổi:

$(x + 2) (2 - x) + 3 (x - 5) (2 - x) = 6 (x - 5)$

$\Leftrightarrow 4 - x^{2} + 3 (2 x - x^{2} - 10 + 5 x) = 6 x - 30$

$\Leftrightarrow 4 - x^{2} - 3 x^{2} + 21 x - 30 = 6 x - 30$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 15 x - 4 = 0$

$Δ = {(- 15)}^{2} - 4.4. (- 4) = 289 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{Δ} = 17$

Phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{15 + 17}{8} = 4;$ $x_{2} = \frac{15 - 17}{8} = - \frac{1}{4}$

Hai giái trị $x_{1}; x_{2}$ đều thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy phương trình có nghiệm $x = 4; x = - \frac{1}{4} .$

LG c

$\frac{4}{x + 1} = \frac{- x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận

Trả lời:

Điều kiện $x \neq - 2$ và $x \neq - 1$

Khử mẫu và biến đổi:

$4 (x + 2) = - x^{2} - x + 2$

$\Leftrightarrow - x^{2} - x + 2 = 4 x + 8$ $\Leftrightarrow x^{2} + 5 x + 6 = 0$

$Δ = 5^{2} - 4.1.6 = 1 > 0$

Phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \\ x = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

Vì $x = - 2$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm $x = - 3.$

Bài 28 trang 67 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

LG a

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (x^{2} - 4) = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (x^{2} - 4) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ hoặc $x^{2} - 4 = 0$

Giải phương trình $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Ta có $Δ = {(- 5)}^{2} - 4.3.1 = 13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6} \\ x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \end{array}$

Giải phương trình $x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 4$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm $x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6};$ $x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6};$ $x = 2; x = - 2.$

LG b

${(2 x^{2} + x - 4)}^{2} - {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$\begin{array}{l} {(2 x^{2} + x - 4)}^{2} - {(2 x - 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (2 x^{2} + x - 4 + 2 x - 1) (2 x^{2} + x - 4 - 2 x + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (2 x^{2} + 3 x - 5) (2 x^{2} - x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0 \\ 2 x^{2} - x - 3 = 0 \end{array} \end{array}$

Phương trình $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ có $a + b + c = 2 + 3 + (- 5) = 0$ nên có hai nghiệm $x = 1; x = \frac{- 5}{2}$

Phương trình $2 x^{2} - x - 3 = 0$ có $a - b + c = 2 - (- 1) + (- 3) = 0$ nên có hai nghiệm $x = - 1; x = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm $x = 1; x = \frac{- 5}{2}; x = - 1; x = \frac{3}{2} .$

Bài 29 trang 67 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

LG a

$9 x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t = x^{2} (t \geq 0)$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn $t .$

Giải phương trình ẩn $t$ ta tìm được $t$ từ đó so sánh điều kiện để tìm ra $x .$

Trả lời:

Đặt $x^{2} = t, t \geq 0$ ta có $9 t^{2} - 10 t + 1 = 0$

Phương trình này có $a + b + c = 9 + (- 10) + 1 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} t = 1 (t h ỏ a m ã n) \\ t = \frac{1}{9} (t h ỏ a m ã n) \end{array}$

+ Với $t = t_{1} = 1$ ta có $x^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

+ Với $t = t_{2} = \frac{1}{9}$ ta có $x^{2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = - \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt $x = 1; x = - 1; x = \frac{1}{3}; x = - \frac{1}{3}$ .

LG b

$5 x^{4} + 2 x^{2} - 16 = 10 - x^{2}$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t = x^{2} (t \geq 0)$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn $t .$

Giải phương trình ẩn $t$ ta tìm được $t$ từ đó so sánh điều kiện để tìm ra $x .$

Trả lời:

Ta có $5 x^{4} + 2 x^{2} - 16 = 10 - x^{2}$ $\Leftrightarrow 5 x^{4} + 3 x^{2} - 26 = 0$

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $5 t^{2} + 3 t - 26 = 0$

Ta có $Δ = 3^{2} - 4.5. (- 26) = 529 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{Δ} = 23$

Phương trình có hai nghiệm $t_{1} = \frac{- 3 + 23}{2.5} = 2 (t h ỏ a m ã n);$ $t_{2} = \frac{- 3 - 23}{2.5} = - \frac{13}{5} (l o ạ i)$

Với $t = 2 \Rightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \sqrt{2}; x = - \sqrt{2} .$

LG c

$0, 3 x^{4} + 1, 8 x^{2} + 1, 5 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t = x^{2} (t \geq 0)$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn $t .$

Giải phương trình ẩn $t$ ta tìm được $t$ từ đó so sánh điều kiện để tìm ra $x .$

Trả lời:

$0, 3 x^{4} + 1, 8 x^{2} + 1, 5 = 0 \Leftrightarrow x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0$

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có phương trình $t^{4} + 6 t^{2} + 5 = 0$

Nhận thấy phương trình này có $a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0$ nên nó có hai nghiệm $[\begin{array}{l} t = - 1 (l o ạ i) \\ t = - 5 (l o ạ i) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chú ý:

Ta cũng có thể nhận xét rằng vế trái bằng $x^{4} + 6 x^{2} + 5 \geq 5$ còn vế phải bằng 0 nên phương trình vô nghiệm.

LG d

$2 x^{2} + 1 = \frac{1}{x^{2}} - 4$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t = x^{2} (t \geq 0)$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn $t .$

Giải phương trình ẩn $t$ ta tìm được $t$ từ đó so sánh điều kiện để tìm ra $x .$

Trả lời:

Điều kiện : $x \neq 0.$

Khử mẫu và biến đổi ta được

$\begin{array}{l} 2 x^{4} + x^{2} = 1 - 4 x^{2} \\ \Leftrightarrow 2 x^{4} + 5 x^{2} - 1 = 0 \end{array}$

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0)$ ta có $2 t^{2} + 5 t - 1 = 0$

$Δ = {(- 5)}^{2} - 4.2 (- 1) = 33 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} t = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{4} (n h ậ n) \\ t = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{4} (l o ạ i) \end{array}$

Với $t = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{\sqrt{33} - 5}{4}$ $\Rightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{\frac{\sqrt{33} - 5}{4}} \\ x = - \sqrt{\frac{\sqrt{33} - 5}{4}} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{33} - 5}{4}}$

Bài 30 trang 68 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

LG a

${(x - 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2} = 23 - 3 x$

Phương pháp giải:

Thực hiện phá ngoặc và chuyển vế để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn. Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai thu được.

Trả lời:

Ta có

$\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2} = 23 - 3 x \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} + 8 x + 16 + 3 x - 23 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 5 x + 2 = 0 \end{array}$

Ta thấy $Δ = 5^{2} - 4.2.2 = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 3$ nên phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{- 5 + 3}{4} = - \frac{1}{2} \\ x = \frac{- 5 - 3}{4} = - 2 \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - \frac{1}{2}; x = - 2.$

LG b

$x^{3} + 2 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = (x - 1) (x^{2} - 2)$

Phương pháp giải:

Trả lời:

Ta có

$\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = (x - 1) (x^{2} - 2) \\ \Leftrightarrow x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + 6 x - 9 = x^{3} - 2 x - x^{2} + 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 9 = - x^{2} - 2 x + 2 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 8 x - 11 = 0 \end{array}$

Ta có $Δ^{'} = 4^{2} - 2. (- 11) = 38 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{- 4 + \sqrt{38}}{2} \\ x = \frac{- 4 - \sqrt{38}}{2} \end{array}$

LG c

${(x - 1)}^{3} + 0, 5 x^{2} = x (x^{2} + 1, 5)$

Phương pháp giải:

Trả lời:

$\begin{array}{l} {(x - 1)}^{3} + 0, 5 x^{2} = x (x^{2} + 1, 5) \\ \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 + 0, 5 x^{2} = x^{3} + 1, 5 x \\ \Leftrightarrow - 2, 5 x^{2} + 3 x - 1 - 1, 5 x = 0 \\ \Leftrightarrow - 2, 5 x^{2} + 1, 5 x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 25 x^{2} - 15 x + 10 = 0 \end{array}$

$Δ = {(- 15)}^{2} - 4.25.10 = - 775 < 0$

Phương trình vô nghiệm.

LG d

$\frac{x (x - 7)}{3} - 1 = \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Qui đồng và khử mẫu

Bước 3: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai, giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm

Bước 4: So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Trả lời:

$\begin{array}{l} \frac{x (x - 7)}{3} - 1 = \frac{x}{2} - \frac{x - 4}{3} \\ \Leftrightarrow 2 x (x - 7) - 6 = 3 x - 2 (x - 4) \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 14 x - 6 = 3 x - 2 x + 8 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 15 x - 14 = 0 \end{array}$

Ta có $Δ = {(- 15)}^{2} - 4.2. (- 14) = 337 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x = \frac{15 + \sqrt{337}}{4} \\ x = \frac{15 - \sqrt{337}}{4} \end{array}$

LG e

$\frac{14}{x^{2} - 9} = 1 - \frac{1}{3 - x}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Qui đồng và khử mẫu

Bước 3: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai, giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm

Bước 4: So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Trả lời:

Điều kiện: $x \neq {- 3; 3}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \frac{14}{x^{2} - 9} = 1 - \frac{1}{3 - x} \\ \Leftrightarrow \frac{14}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x^{2} - 9}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x + 3}{(x - 3) (x + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 14 = x^{2} - 9 + x + 3 \\ \Leftrightarrow x^{2} + x - 20 = 0 \end{array}$

Phương trình trên có $Δ = 1^{2} - 4.1. (- 20) = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 9$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{- 1 + 9}{2} = 4 (T M) \\ x = \frac{- 1 - 9}{2} = - 5 (T M) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x = 4; x = - 5.$

LG f

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x^{2} - x + 8}{(x - 1) (x - 4)}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Qui đồng và khử mẫu

Bước 3: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai, giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm

Bước 4: So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Trả lời:

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x^{2} - x + 8}{(x - 1) (x - 4)}$

Điều kiện: $x \neq - 1$ và $x \neq 4$

Khử mẫu ta được

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 8 x = x^{2} - x + 8 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 7 x - 8 = 0 \end{array}$

Vì $a - b + c = 1 - (- 7) + (- 8) = 0$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 8 \end{array} .$

Vì $x = - 1$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình đã cho có nghiệm $x = 8.$

Bài 31 trang 69 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

LG a

$(3 x^{2} - 7 x - 10) [2 x^{2} + (1 - \sqrt{5}) x + \sqrt{5} - 3] = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$(3 x^{2} - 7 x - 10) [2 x^{2} + (1 - \sqrt{5}) x + \sqrt{5} - 3] = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x^{2} - 7 x - 10 = 0 \\ 2 x^{2} + (1 - \sqrt{5}) x + \sqrt{5} - 3 = 0 \end{array}$

Giải phương trình $3 x^{2} - 7 x - 10 = 0$ (1).

Ta có $a - b + c = 3 - (- 7) + (- 10) = 0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x = - 1; x = 10.$

Giải phương trình $2 x^{2} + (1 - \sqrt{5}) x + \sqrt{5} - 3 = 0$ (2)

Ta thấy $a + b + c = 2 + 1 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 3 = 0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x = 1; x = \frac{\sqrt{5} - 3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghệm $x = - 1; x = 10; x = 1; x = \frac{\sqrt{5} - 3}{2} .$

LG b

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$\begin{array}{l} x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 6 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} (x + 3) - 2 (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{2} - 2) (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 = 0 \\ x + 3 = 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 2 \\ x = - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ x = - 3 \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = \sqrt{2}; x = - \sqrt{2}; x = - 3$

LG c

$(x^{2} - 1) (0, 6 x + 1) = 0, 6 x^{2} + x$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$\begin{array}{l} (x^{2} - 1) (0, 6 x + 1) = 0, 6 x^{2} + x \\ \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (0, 6 x + 1) = x (0, 6 x + 1) \\ \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (0, 6 x + 1) - x (0, 6 x + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (0, 6 x + 1) (x^{2} - x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0, 6 x + 1 = 0 \\ x^{2} - x - 1 = 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 5}{3} \\ x^{2} - x - 1 = 0 (*) \end{array} \end{array}$

Phương trình (*) có $Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1 (- 1) = 5 > 0$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x = - \frac{5}{3}; x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

LG d

${(x^{2} + 2 x - 5)}^{2} = {(x^{2} - x + 5)}^{2}$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Trả lời:

$\begin{array}{l} {(x^{2} + 2 x - 5)}^{2} = {(x^{2} - x + 5)}^{2} \\ \Leftrightarrow {(x^{2} + 2 x - 5)}^{2} - {(x^{2} - x + 5)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{2} + 2 x - 5 + x^{2} - x + 5) (x^{2} + 2 x - 5 - x^{2} + x - 5) = 0 \\ \Leftrightarrow (2 x^{2} + x) (3 x - 10) = 0 \\ \Leftrightarrow x (2 x + 1) (3 x - 10) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x + 1 = 0 \\ 3 x - 10 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \frac{1}{2} \\ x = \frac{10}{3} \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 0; x = - \frac{1}{2}; x = \frac{10}{3}$

Bài 32 trang 70 Vở bài tập toán 9 tập 2

LG a

$3 {(x^{2} + x)}^{2} - 2 (x^{2} + x) - 1 = 0$

Phương pháp giải:

Chọn ra phần biểu thức chứa biến giống nhau để đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc hai.

Giải phương trình bậc hai và thay lại cách đặt để tìm nghiệm phương trình đã cho.

Đặt $t = x^{2} + x$ , ta có phương trình $3 t^{2} - 2 t - 1 = 0$ . Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$ . Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t = x^{2} + x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$ . Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$ .

Trả lời:

Đặt $t = x^{2} + x$ ta có $3 t^{2} - 2 t - 1 = 0$

Vì phương trình $3 t^{2} - 2 t - 1 = 0$ có $a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0$ nên có hai nghiệm $t_{1} = 1; t_{2} = - \frac{1}{3}$

+ Với $t_{1} = 1$ ta có $x^{2} + x = 1$ hay $x^{2} + x - 1 = 0$ có $Δ = 1^{2} + 4.1.1 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

+ Với $t_{2} = - \frac{1}{3}$ ta có $x^{2} + x = - \frac{1}{3}$ hay $3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

$Δ = 3^{2} - 4.3.1 = - 3 < 0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ .

LG b

${(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} - 4 x + 2 = t$

Trả lời:

$\begin{array}{l} {(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow {(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x + 2 - 6 = 0 \end{array}$

Đặt $t = x^{2} - 4 x + 2$ ta có $t^{2} + t - 6 = 0$ có $Δ = 1^{2} - 4.1. (- 6) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 5$ nên có hai nghiệm $t_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2;$ $t_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3$

+ Với $t_{1} = 2$ ta có $x^{2} - 4 x + 2 = 2$ $\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0$ $\Leftrightarrow x (x - 4) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x - 4 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$

+ Với $t_{2} = - 3$ ta có $x^{2} - 4 x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 5 = 0$ có $Δ = {(- 4)}^{2} - 4.1.5 = - 4 < 0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 0; x = 4.$

LG c

$x - \sqrt{x} = 5 \sqrt{x} + 7$

Phương pháp giải:

Đặt $\sqrt{x} = t (t \geq 0)$

Trả lời:

Điều kiện : $x \geq 0$

$x - \sqrt{x} = 5 \sqrt{x} + 7$ $\Leftrightarrow x - 6 \sqrt{x} - 7 = 0$

Đặt $\sqrt{x} = t, t \geq 0$ ta có $t^{2} - 6 t - 7 = 0$ có $a - b + c = 1 - (- 6) + (- 7) = 0$ nên có hai nghiệm $t_{1} = - 1;$ $t_{2} = 7$

Vì $t \geq 0$ nên $t_{1} = - 1$ bị loại

Với $t_{2} = 7$ ta có $\sqrt{x} = 7 \Leftrightarrow x = 49 (T M)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 49.$

LG d

$\frac{x}{x + 1} - 10. \frac{x + 1}{x} = 3$

Phương pháp giải:

Đặt $\frac{x + 1}{x} = t$ hoặc $\frac{x}{x + 1} = t$

Trả lời:

Điều kiện $x \neq 1$ và $x \neq - 1$

Đặt $\frac{x}{x + 1} = t \Rightarrow \frac{x + 1}{x} = \frac{1}{t}$ , ta có $t - 10. \frac{1}{t} = 3 \Rightarrow t^{2} - 3 t - 10 = 0$

Phương trình trên có $Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 10) = 49 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{Δ} = 7$ nên có hai nghiệm $t_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5;$ $t_{2} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$