a) 4x4+x2–5=0

b) $3x^4+4x^2+1=0.$

Phương pháp giải:

+ Đặt x2=t,t≥0.

+ Giải phương trình at2+bt+c=0.

+ Với mỗi giá trị tìm được của t (thỏa mãn t≥0), lại giải phương trình x2=t. 

Lời giải:

a) 4x4+x2–5=0

Đặt x2=t(t≥0). 

Phương trình trở thành 4t2+t–5=0

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn t có a+b+c=4+1−5=0 nên phương trình có nghiệm

t1=1;t2=−54

Do t≥0  nên chỉ có t=1 thỏa mãn điều kiện

Với t=1, ta có: x2=1⇔x=±1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1=1;x2=−1 

b) $3x^4+4x^2+1=0.$

Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$.

Phương trình trở thành: $3t^2+4t+1=0$

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn $t$ có $a-b+c=3-4+1=0$ nên phương trình có nghiệm

${\displaystyle t_1=-1;t_2=\frac{-1}{3}}$

Cả 2 nghiệm của phương trình đều không thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

- Điều kiện: $x\ne ...$

- Khử mẫu và biến đổi, ta được $x^2-3x+6=...\iff x^2-4x+3=0.$

- Nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$ là $x_1=...;x_2=....$

Hỏi $x_1$ có thỏa mãn điều kiện nói trên không? Tương tự đối với $x_2?$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:…

Phương pháp giải:

Sử dụng các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận

Lời giải:

- Điều kiện: $x\ne \pm 3$ 

- Khử mẫu và biến đổi, ta được $x^2-3x+6=x+3\iff x^2-4x+3=0.$

- Nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$ là $x_1=1;x_2=3$

Nhận thấy $x_1=1$ thỏa mãn điều kiện;  $x_2=3$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=1$. 

Phương pháp giải:

+ Đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài để đưa phương trình về dạng 

$A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}$

+ Giải phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ bằng công thức nghiệm hoặc sử dụng nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm $x=-1;x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Lời giải:

Ta có $x^3+3x^2+2x=0\iff x\left(x^2+3x+2\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $x^2+3x+2=0$   (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có $a-b+c=1-3+2=0$ nên có hai nghiệm  $x=-1;x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}=-2$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm $x=0;x=-1;x=-2$ 

a) $x^4-5x^2+4=0$

b) $2x^4-3x^2-2=0$

c) $3x^4+10x^2+3=0$

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình trùng phương $a{x}^4+b{x}^2+c=0\left(a\ne 0\right)$

Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$ khi đó phương trình đã cho trở thành $a{t}^2+bt+c=0$ giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó đối chiếu với điều kiện $t\ge 0$ rồi tìm $x$

Lời giải:

a) $x^4-5x^2+4=0$

Đặt $x^2=t(t\ge 0$), phương trình trở thành: $t^2-5t+4=0;a+b+c=1+(-5)+4=0,$ nên phương trình có 2 nghiệm:

$t_1=1,t_2=4$ (thỏa mãn)

Với t = 1 ta có: $x^2=1\iff x=\pm 1$

Với t = 4 ta có: $x^2=4\iff x=\pm 2$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $x=\pm 1;x=\pm 2$

b) $2x^4-3x^2-2=0$.

Đặt $x^2=t(t\ge 0$), phương trình trở thành: $2t^2-3t-2=0$ (2) 

$\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(-2\right)=25>0\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=5$

Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là: $t_1={\displaystyle \frac{-\left(-3\right)-5}{2.2}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện); $t_2={\displaystyle \frac{-\left(-3\right)+5}{2.2}}=2\left(tm\right)$ 

Với $t=2\iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{2}$

c) $3x^4+10x^2+3=0$

Đặt $x^2=t(t\ge 0$), phương trình trở thành: $3t^2+10t+3=0$ (3)

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=5^2-3.3=16>0\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=4$

Khi đó phương trình (3) sẽ có 2 nghiệm phân biệt là:

$t{}_1={\displaystyle \frac{-5-4}{3}}=-3$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện)

$t{}_2={\displaystyle \frac{-5+4}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

a)${\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{3}}+2=x(1-x)$

b) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-5}}+3={\displaystyle \frac{6}{2-x}}$

c) ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}$ =${\displaystyle \frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}}$

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức :

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Đối chiếu kết quả với điều kiện  xác định của phương trình sau đó kết luận.

Lời giải:

a) ${\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{3}}+2=x(1-x)$

Quy đồng và khử mẫu ta được:

$\iff x^2-9+6=3x-3x^2$

$\iff 4x^2-3x-3=0;\mathrm{\Delta }=57>0$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

${\displaystyle x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{8},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{8}}$

b) ${\displaystyle \frac{x+2}{x-5}}+3={\displaystyle \frac{6}{2-x}}$. Điều kiện $x\ne 2,x\ne 5$.

Quy đồng và khử mẫu ta được: 

$(x+2)(2–x)+3(x–5)(2–x)=6(x–5)$ 

$\iff 4-x^2+3\left(2x-x^2-10+5x\right)=6x-30$

$\iff 4-x^2-3x^2+21x-30=6x-30$

$\iff 4x^2-15x-4=0,$

$\mathrm{\Delta }=225+64=289>0,\sqrt{\mathrm{\Delta }}=17$

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là ${\displaystyle x_1=-\frac{1}{4},x_2=4}$ (thỏa mãn điều kiện)

c) ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}={\displaystyle \frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}}$. Điều kiện: $x\ne -1;x\ne -2$

Quy đồng và khử mẫu ta được:

$4\left(x+2\right)=-x^2-x+2$

$\iff 4x+8=2-x^2-x$

$\iff x^2+5x+6=0$

Ta có: $\mathrm{\Delta }=5^2-4.6=1>0\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=1$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $x_1={\displaystyle \frac{-5-1}{2}}=-3$ ; $x_2={\displaystyle \frac{-5+1}{2}}=-2$

Đối chiếu với điều kiện ta loại nghiệm $x=-2$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x=-3$ 

a) $(3x^2-5x+1)(x^2-4)=0$

b) $(2x^2+x-4{)}^2-{\left(2x-1\right)}^2=0$

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình dạng tích: $A.B=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}$

Lời giải:

a) $(3x^2-5x+1)(x^2-4)=0$

$\iff [\begin{array}{c}3x^2-5x+1=0(1)\hfill \\ x^2-4=0(2)\hfill \end{array}$

+) Giải phương trình (1) ta được:

$\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.3.1}=13>0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $x_1={\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{6}};x_2={\displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{6}}$

+) Giải phương trình (2) ta được: $x^2=4\iff x=\pm 2$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $x_1={\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{6}};x_2={\displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{6}};x_3=-2;x_4=2$

b) $(2x^2+x-4{)}^2-{\left(2x-1\right)}^2=0$

$\iff (2x^2+x-4+2x-1)(2x^2+x-4-2x+1)$$=0$

$\iff (2x^2+3x-5)(2x^2-x-3)=0$

$\iff [\begin{array}{c}2x^2+3x-5=0(3)\hfill \\ 2x^2-x-3=0(4)\end{array}$

giải phương trình (3) ta có: $a+b+c=2+3+(-5)=0$ nên có hai nghiệm $x_1=1;x_2=-2,5;$

giải phương trình (4) ta có: $a-b+c=2-(-1)+(-3)=0$ nên có hai nghiệm  $x_3=-1;x_4=1,5$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{1;-2,5;-1;1,5\}$ 

a)$9x^4-10x^2+1=0$                    ;b) $5x^4+2x^2-16=10-x^2$

c) $0,3x^4+1,8x^2+1,5=0$              ;d) ${\displaystyle 2x^2+1=\frac{1}{x^2}-4}$

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình trùng phương $a{x}^4+b{x}^2+c=0\left(a\ne 0\right)$

Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$ khi đó phương trình đã cho trở thành $a{t}^2+bt+c=0$ giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó đối chiếu với điều kiện $t\ge 0$ rồi tìm $x$

Lời giải:

a) $9x^4-10x^2+1=0$. Đặt $t=x^2\ge 0$, ta có: $9t^2-10t+1=0$. 

Vì $a+b+c=9–10+1=0$ nên ${\displaystyle t_1=1,t_2=\frac{1}{9}}$ (thỏa mãn) 

+ Với t = 1$\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-1.$  

+ Với $t={\displaystyle \frac{1}{9}}\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\iff x=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}$

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: ${\displaystyle x_1=-1,x_2=1,x_3=-\frac{1}{3},x_4=\frac{1}{3}}$ 

b) $5x^4+2x^2-16=10-x^2$

$\iff 5x^4+3x^2-26=0$.

Đặt $t=x^2\ge 0$, ta có: $5t^2+3t-26=0$ 

$\mathrm{\Delta }=9+4.5.26=529={23}^2$;

$t_1=2,t_2=-2,6$ (loại).

Do đó: $x^2=2$ suy ra $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$ 

c) $0,3x^4+1,8x^2+1,5=0$  

$\iff x^4+6x^2+5=0$

 Đặt $t=x^2\ge 0$, ta có:

$t^2+6t+5=0$

Phương trình này có $a-b+c=1-6+5=0$ nên có hai nghiệm:

$t_1=-1$ (loại), $t_2=-5$ (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.   

Chú ý:  Cũng có thể nhận xét rằng vế trái $x^4+6x^2+5\ge 5$, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

d) ${\displaystyle 2x^2+1=\frac{1}{x^2}-4}$ ${\displaystyle \iff 2x^2+5-\frac{1}{x^2}=0}$.

Điều kiện $x\ne 0$

$2x^4+5x^2-1=0$. Đặt $t=x^2\ge 0$, ta có:

$2t^2+5t-1=0;\mathrm{\Delta }=25+8=33$, 

${\displaystyle t_1=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}(tm),t_2=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}}$ (loại)

Do đó ${\displaystyle x^2=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}}$ suy ra ${\displaystyle x_1=\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}}$ 

a) ${\left(x-3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2=23-3x$

b) $x^3+2x^2-{\left(x-3\right)}^2=\left(x-1\right)(x^2-2)$

c) ${\left(x-1\right)}^3+0,5x^2=x(x^2+1,5)$

d) ${\displaystyle \frac{x(x-7)}{3}}–1$ = ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ - ${\displaystyle \frac{x-4}{3}}$

e) ${\displaystyle \frac{14}{x^2-9}}$ = $1-{\displaystyle \frac{1}{3-x}}$

f) ${\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$ = ${\displaystyle \frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}}$

Phương pháp giải:

Thực hiện phá ngoặc và chuyển vế để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn. Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai thu được.

Lời giải:

a) ${\left(x-3\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2=23-3x$

$\iff x^2-6x+9+x^2+8x+16=23-3x$

$\iff 2x^2+5x+2=0$

$\mathrm{\Delta }=25-16=9>0$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $x_1={\displaystyle \frac{-5-3}{2.2}}=-2;x_2={\displaystyle \frac{-5+3}{2.2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

b) $x^3+2x^2-{\left(x-3\right)}^2=\left(x-1\right)(x^2-2)$

$\iff x^3+2x^2-x^2+6x-9=x^3-x^2-2x+2$

$\iff 2x^2+8x-11=0$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=16+22=38,x_1=\frac{-4+\sqrt{38}}{2},x_2=\frac{-4-\sqrt{38}}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c) ${\left(x-1\right)}^3+0,5x^2=x(x^2+1,5)$

$\iff x^3-3x^2+3x-1+0,5x^2=x^3+1,5x$

$\iff 2,5x^2-1,5x+1=0\iff 5x^2-3x+2=0$;

$\mathrm{\Delta }=9-40=-31<0$

Phương trình vô nghiệm

d) ${\displaystyle \frac{x(x-7)}{3}}–1={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x-4}{3}}$

$\iff 2x\left(x-7\right)-6=3x-2\left(x-4\right)$

$\iff 2x^2-14x-6=3x-2x+8$

$\iff 2x^2-15x-14=0;$

$\mathrm{\Delta }=225+112=337>0$

${\displaystyle x_1=\frac{15+\sqrt{337}}{4},x_2=\frac{15-\sqrt{337}}{4}}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

e) ${\displaystyle \frac{14}{x^2-9}}=1-{\displaystyle \frac{1}{3-x}}$. Điều kiện: $x\ne \pm 3$

Khi đó

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{14}{x^2-9}}=1-{\displaystyle \frac{1}{3-x}}\\ \iff {\displaystyle \frac{14}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}={\displaystyle \frac{x^2-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}+{\displaystyle \frac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 14=x^2-9+x+3\\ \iff x^2+x-20=0\end{array}$

$\mathrm{\Delta }=1+4.20=81>0$

Nên ${\displaystyle x_1=\frac{-1-9}{2}=-5;x_2=\frac{-1+9}{2}=4}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-5,x_2=4$.

f) ${\displaystyle \frac{2x}{x+1}}$ = ${\displaystyle \frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}}$. Điều kiện: $x\ne -1,x\ne 4$

Qui đồng và khử mẫu ta được:  

$2x\left(x-4\right)=x^2-x+8$

$\iff 2x^2-8x-x^2+x-8=0$

$\iff x^2-7x-8=0$

Có $a–b+c=1–(-7)–8=0$ nên $x_1=-1,x_2=8$

Vì $x_1=-1$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là $x=8$. 

a)$(3x^2-7x-10)[2x^2+\left(1-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}-3]=0$

b) $x^3+3x^2-2x-6=0$

c)$(x^2-1)\left(0,6x+1\right)=0,6x^2+x$

d)$(x^2+2x-5{)}^2=(x^2-x+5{)}^2$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}$

Hoặc $A\left(x\right).B\left(x\right).C\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\\ C\left(x\right)=0\end{array}$ 

Lời giải:

a) $\left(3x^2-7x-10\right)\left[2x^2+\left(1-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}-3\right]=0$

$\iff [\begin{array}{l}3x^2-7x-10=0\left(1\right)\\ 2x^2+\left(1-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}-3=0\left(2\right)\end{array}$

+ Giải phương trình (1).

Ta có $a-b+c=3-\left(-7\right)+\left(-10\right)=0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x=-1;x={\displaystyle \frac{10}{3}}$

+ Giải phương trình (2)

Ta thấy $a+b+c=2+1-\sqrt{5}+\sqrt{5}-3=0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x=1;x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-3}{2}}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm $x=-1;x={\displaystyle \frac{10}{3}};x=1;x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-3}{2}}.$

b) 

$\begin{array}{l}{x}^3+3x^2-2x-6=0\\ \iff x^2\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)=0\\ \iff \left(x^2-2\right)\left(x+3\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}{x}^2-2=0\\ x+3=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}{x}^2=2\\ x=-3\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\\ x=-3\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x=\sqrt{2};x=-\sqrt{2};x=-3$ 

c) 

 $\begin{array}{l}\left(x^2-1\right)\left(0,6x+1\right)=0,6x^2+x\\ \iff \left(x^2-1\right)\left(0,6x+1\right)=x\left(0,6x+1\right)\\ \iff \left(x^2-1\right)\left(0,6x+1\right)-x\left(0,6x+1\right)=0\\ \iff \left(0,6x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}0,6x+1=0\\ x^2-x-1=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{-5}{3}}\\ x^2-x-1=0(\ast )\end{array}\end{array}$

Phương trình (*) có $\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4.1\left(-1\right)=5>0$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x=-{\displaystyle \frac{5}{3}};x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}};x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$

d) 

$\begin{array}{l}{\left(x^2+2x-5\right)}^2={\left(x^2-x+5\right)}^2\\ \iff {\left(x^2+2x-5\right)}^2-{\left(x^2-x+5\right)}^2=0\\ \iff \left(x^2+2x-5+x^2-x+5\right)\left(x^2+2x-5-x^2+x-5\right)=0\\ \iff \left(2x^2+x\right)\left(3x-10\right)=0\\ \iff x\left(2x+1\right)\left(3x-10\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ 2x+1=0\\ 3x-10=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x=0;x=-{\displaystyle \frac{1}{2}};x={\displaystyle \frac{10}{3}}$ 

a) $3(x^2+x{)}^2-2(x^2+x)-1=0$           

b) $(x^2-4x+2{)}^2+x^2-4x-4=0$

 c) $x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7$ 

d) ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}–10.{\displaystyle \frac{x+1}{x}}=3$

Phương pháp giải:

Đặt $t=x^2+x$, ta có phương trình $3t^2-2t-1=0$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$. Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t=x^2+x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$.

Lời giải:

Đặt $x^2+x=t$ ta được phương trình $3t^2-2t-1=0$

Phương trình này có $a+b+c=3+\left(-2\right)+\left(-1\right)=0$ nên có hai nghiệm $t=1;t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

+ Với $t_1=1$ ta có $x^2+x=1$ hay $x^2+x-1=0$ có $\mathrm{\Delta }=1^2+\mathrm{4.1.1}=5>0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}};x_2={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$

+ Với $t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow x^2+x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\iff 3x^2+3x+1=0$ có $\mathrm{\Delta }=3^2-\mathrm{4.3.1}=-3<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}};x_2={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}.$

b) Ta có

$\begin{array}{l}{\left(x^2-4x+2\right)}^2+x^2-4x-4=0\\ \iff {\left(x^2-4x+2\right)}^2+x^2-4x+2-6=0\end{array}$

Đặt $t=x^2-4x+2$ ta được phương trình $t^2+t-6=0$ có $\mathrm{\Delta }=1^2-\mathrm{4.1.}\left(-6\right)=25>0$$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=5$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{-1+5}{2}}=2\\ t={\displaystyle \frac{-1-5}{2}}=-3\end{array}$

+ Với $t=2\Rightarrow x^2-4x+2=2$$\iff x^2-4x=0$$\iff x\left(x-4\right)=0$$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x-4=0\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$ 

+ Với $t=-3\iff x^2-4x+2=-3$$\iff x^2-4x+5=0$ có $\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.1.5}=-4<0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0;x=4.$

c) $x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7$$\iff x-6\sqrt{x}-7=0$

ĐK: $x\ge 0$ 

Đặt $\sqrt{x}=t\left(t\ge 0\right)$ ta được phương trình $t^2-6t-7=0$ có $a-b+c=1-\left(-6\right)+\left(-7\right)=0$  nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}t=-1\left(L\right)\\ t=7\left(N\right)\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x}=7\iff x=49\left(TM\right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x=49.$

d) ĐK:$x\ne \left\{-1;0\right\}$ 

Đặt ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}=t\Rightarrow {\displaystyle \frac{x+1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{t}}$ , ta có phương trình $t-10.{\displaystyle \frac{1}{t}}=3\Rightarrow t^2-3t-10=0$

Phương trình trên có $\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-10\right)=49>0\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=7$  nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{3+7}{2}}=5\\ t={\displaystyle \frac{3-7}{2}}=-2\end{array}$

+ Với$$\begin{gathered} t=5\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{x+1}}=5 \\ \Rightarrow 5x+5=x\iff x=-{\displaystyle \frac{5}{4}}\left(TM\right) \end{gathered}$$

+ Với$$\begin{gathered} t=-2\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{x+1}}=-2 \\ \Rightarrow x=-2x-2\iff x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(TM\right) \end{gathered}$$ 

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-{\displaystyle \frac{5}{4}};x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}.$