a) Nếu a > 0 thì hàm số $y=a{x}^2$ đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?

Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không? 

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?

b) Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2$ có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất và đặc điểm của đồ thị hàm số $y=a{x}^2$

Lời giải:

Vẽ đồ thị: 

a) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

Với x = 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không có giá trị nào của hàm số để đạt giá trị lớn nhất.

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0. 

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 0 khi x = 0 . Không có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Đồ thị hàm số $y=a{x}^2$ là đường cong (đặt tên là parabol) đi qua gốc tọa độ nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, điểm O là điểm thấp nhất đồ thị (gọi là đỉnh parabol).

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm bên dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị. 

Khi nào thì phương trình vô nghiệm?

Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.

Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.

Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? 

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức về công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn

Lời giải:

* Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$ với $b^{\prime }={\displaystyle \frac{b}{2}}$ 

TH1. Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ (hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0)$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ (hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0)$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ (hoặc $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a}}$ )

TH3. Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ (hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ (hoặc $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\pm {\sqrt{\mathrm{\Delta }}}^{\prime }}{a}}$)

* Khi a và c trái dấu thì $a.c<0$ nên $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac>0$, do đó phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có hai nghiệm phân biệt.

Nêu điều kiện để phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0),$ có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình $1954x^2+21x–1975=0$

Nêu điều kiện để phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0),$ có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình $2005x^2+104x–1901=0$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hệ thức Vi-et và ứng dụng.

Lời giải:

+ Hệ thức Vi-ét:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}& & \\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}& & \end{array}$ 

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Áp dụng: Phương trình $1954x^2+21x–1975=0$ có $a=1954,b=21,c=-1975$ nên $a+b+c=1954+21+(-1975)=0$, do đó phương trình có một nghiệm $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{-1975}{1954}}.$

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$  có $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm là $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{-c}{a}}$.

Áp dụng: Phương trình $2005x^2+104x–1901=0$ có $a=2005,b=104,c=-1901$ nên $a-b+c=2005-104+(-1901)=0$, do đó phương trình có một nghiệm $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{1901}{2005}}.$

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

$\begin{array}{l}a)\{\begin{array}{l}u+v=3\\ uv=-8\end{array}\\ b)\{\begin{array}{l}u+v=5\\ uv=10\end{array}\end{array}$

Phương pháp giải:

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ và $S^2-4P\ge 0$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$.  

Lời giải:

+) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ và $S^2-4P\ge 0$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$. 

a) Đặt $u+v=S,u.v=P$ ta có 

$\{\begin{array}{l}S=3\\ P=-8\end{array}$

Ta có: $S^2-4P=41>0$

Khi đó $u,v$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-3x-8=0$

Ta có: $\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-8\right)=41>0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{3+\sqrt{41}}{2}};x_2={\displaystyle \frac{3-\sqrt{41}}{2}}$

Vậy $u={\displaystyle \frac{3+\sqrt{41}}{2}};v={\displaystyle \frac{3-\sqrt{41}}{2}}$

Hoặc $u={\displaystyle \frac{3-\sqrt{41}}{2}};v={\displaystyle \frac{3+\sqrt{41}}{2}}$ 

b) 

Đặt $u+v=S,u.v=P$ ta có  

$\{\begin{array}{l}S=-5\\ P=10\end{array}$

Ta có: $S^2-4P=25-40=-15<0$ nên không có hai số $u,v$ thỏa mãn đề bài.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t=x^2$ (1) (điều kiện $t\ge 0).$

Từ đó đưa về phương trình bậc hai ẩn t đã biết cách giải.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình $a{x}^4+b{x}^2+c=0,(a\ne 0)$

Đặt ẩn phụ $t=x^2$ (1) (điều kiện $t\ge 0).$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với một phương trình bậc 2 ẩn t là:

$a{t}^2+bt+c=0$ (2)

- Giải phương trình (2) để tìm t, so sánh với điều kiện.

- Thay giá trị t thỏa mãn vào (1) để tìm x

a) Giải phương trình

b) Vẽ hai đồ thị $y=x^2$ và $y=x+2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm hoặc

+) Xét phương trình bậc hai: 

 Nếu phương trình có  thì phương trình có một nghiệm là  nghiệm kia là 

b) Lập bảng giá trị rồi vẽ hai đồ thị hàm số $y=x^2;y=x+2$ c) Thay hai nghiệm tìm được ở câu a) vào mỗi hàm số để so sánh các giá trị của $y.$

Lời giải:

a) Giải phương trình: $x^2–x–2=0$

$\mathrm{\Delta }=(-1{)}^2–\mathrm{4.1.}(-2)=1+8>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{9}=3$ 

$\Rightarrow x_1=-1;x_2=2$ 

b) Vẽ đồ thị hàm số

- Hàm số $y=x^2$

+ Bảng giá trị:

- Hàm số $y=x+2$

+ Cho $x=0\Rightarrow y=2$ được điểm $A(0;2)$

+ Cho $x=-2\Rightarrow y=0$ được điểm $B(-2;0)$

Đồ thị hàm số:

c) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 

$x^2=x+2\iff x^2-x-2=0$ có $a-b+c=1-\left(-1\right)+\left(-2\right)=0$ nên có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=2.$

Điều này chứng tỏ rằng đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x=-1;x=2$. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình $x^2-x-2=0$ ở câu a).

a) $3{\mathrm{x}}^4-12{\mathrm{x}}^2+9=0$        ;b) $2{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2=0$           ;c) $x^4+5{\mathrm{x}}^2+1=0$ 

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình trùng phương: Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$. Sau đó giải phương trình ẩn t theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2. Tìm t đối chiếu điều kiện, từ đó thay vào cách đặt để tìm ra x.

Lời giải:

a) $3{\mathrm{x}}^4-12{\mathrm{x}}^2+9=0$   

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$ 

Ta có phương trình: 

$\begin{array}{rl}& 3t^2-12t+9=0\\ & \iff t^2-4t+3=0\end{array}$ 

Phương trình có $a+b+c=0$ nên có hai nghiệm $t_1=1;t_2=3$ (đều thỏa mãn)

Với $t_1=1\Rightarrow x^2=1\iff x=\pm 1$

Với $t_2=3\Rightarrow x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$ 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biêt.

b) $2{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2=0$

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$  

Ta có phương trình :

$\begin{array}{rl}& 2t^2+3t-2=0\\ & \mathrm{\Delta }=9+16=25\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=5\\ & \Rightarrow t_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}(TM);t_2=-2(loại)\end{array}$

Với$$\begin{gathered} {\displaystyle t=\frac{1}{2}\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}} \\ {\displaystyle \iff x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c) $x^4+5{\mathrm{x}}^2+1=0$    

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$ 

Ta có phương trình :

$t^2+5t+1=0$

$\mathrm{\Delta }=25–4=21$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow t_1=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}<0(loại)\\ & t_2=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}<0(loại)\end{array}$ 

Vậy phương trình vô nghiệm

a) $5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1=2\mathrm{x}+11$

b) ${\displaystyle \frac{x^2}{5}-\frac{2\mathrm{x}}{3}=\frac{x+5}{6}}$

c) ${\displaystyle \frac{x}{x-2}=\frac{10-2\mathrm{x}}{x^2-2\mathrm{x}}}$

d) ${\displaystyle \frac{x+0,5}{3\mathrm{x}+1}=\frac{7\mathrm{x}+2}{9{\mathrm{x}}^2-1}}$ 

e) $2\sqrt{3}{x}^2+x+1=\sqrt{3}\left(x+1\right)$

f) $x^2+2\sqrt{2}x+4=3\left(x+\sqrt{2}\right)$ 

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đã cho về dạng: $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$. Sau đó sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để tìm nghiệm.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& 5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1=2\mathrm{x}+11\\ & \iff 5{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-10=0\\ & \iff x^2-x-2=0\end{array}$

Phương trình có $a–b+c=1+1–2=0$ nên có 2 nghiệm $x_1=-1;x_2=2$

b) 

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{5}-\frac{2\mathrm{x}}{3}=\frac{x+5}{6}\\ & \iff 6{\mathrm{x}}^2-20\mathrm{x}=5\mathrm{x}+25\\ & \iff 6{\mathrm{x}}^2-25\mathrm{x}-25=0\\ & \mathrm{\Delta }={25}^2+\mathrm{4.6.25}=1225\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=35\Rightarrow x_1=5;x_2=-\frac{5}{6}\end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1=5;x_2=-\frac{5}{6}$

c) 

Điều kiện: $x\ne \left\{0;2\right\}$

Ta có ${\displaystyle \frac{x}{x-2}}={\displaystyle \frac{10-2x}{x^2-2x}}$

$\iff {\displaystyle \frac{x}{x-2}}={\displaystyle \frac{10-2x}{x\left(x-2\right)}}$

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{x^2}{x\left(x-2\right)}}={\displaystyle \frac{10-2x}{x\left(x-2\right)}}\\ \Rightarrow x^2=10-2x\\ \iff x^2+2x-10=0\end{array}$

Phương trình trên có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.\left(-10\right)=11>0$  nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{11}\\ x=-1-\sqrt{11}\end{array}$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=-1+\sqrt{11};x=-1-\sqrt{11}$ .

d) 

${\displaystyle \frac{x+0,5}{3\mathrm{x}+1}=\frac{7\mathrm{x}+2}{9{\mathrm{x}}^2-1}}$ ĐKXĐ: $x\ne \pm \frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{2\mathrm{x}+1}{3\mathrm{x}+1}=\frac{14\mathrm{x}+4}{9{\mathrm{x}}^2-1}\\ & \iff \left(2\mathrm{x}+1\right)\left(3\mathrm{x}-1\right)=14\mathrm{x}+4\\ & \iff 6{\mathrm{x}}^2+x-1=14\mathrm{x}+4\\ & \iff 6{\mathrm{x}}^2-13\mathrm{x}-5=0\\ & \mathrm{\Delta }=(-13{)}^2-\mathrm{4.6.}(-5)=289\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{289}=17\\ & \Rightarrow x_1=\frac{5}{2}(TM)\\ & x_2=-\frac{1}{3}(loại)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: ${\displaystyle x=\frac{5}{2}}$

e) 

$\begin{array}{l}2\sqrt{3}{x}^2+x+1=\sqrt{3}\left(x+1\right)\\ \iff 2\sqrt{3}{x}^2-\left(\sqrt{3}-1\right)x+1-\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2-8\sqrt{3}\left(1-\sqrt{3}\right)\\ \mathrm{\Delta }=3-2\sqrt{3}+1-8\sqrt{3}+24\\ =28-10\sqrt{3}\\ =5^2-\mathrm{2.5.}\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2\\ ={\left(5-\sqrt{3}\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1-5+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\ x_2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1+5-\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

f) 

$\begin{array}{rl}& x^2+2\sqrt{2}x+4=3\left(x+\sqrt{2}\right)\\ & \iff x^2+\left(2\sqrt{2}-3\right)x+4-3\sqrt{2}=0\\ & \mathrm{\Delta }=8-12\sqrt{2}+9-16+12\sqrt{2}=1\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=1\\ & \Rightarrow x_1=\frac{3-2\sqrt{2}+1}{2}=2-\sqrt{2}\\ & x_2=\frac{3-2\sqrt{2}-1}{2}=1-\sqrt{2}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

a) $1,2{\mathrm{x}}^3-x^2-0,2\mathrm{x}=0$          ;b) $5{\mathrm{x}}^3-x^2-5\mathrm{x}+1=0$

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử sau đó đưa phương trình về dạng phương trình tích để giải: $A.B=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}$

Lời giải:

a) $1,2{\mathrm{x}}^3-x^2-0,2\mathrm{x}=0$

$\iff x\left(1,2{\mathrm{x}}^2-x-0,2\right)=0$ 

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ 1,2{\mathrm{x}}^2-x-0,2=0(\ast )\hfill \end{array}$

Giải (*): $1,2x^2–x–0,2=0$

Ta có: $a+b+c=1,2+(-1)+(-0,2)=0$  

Vậy (*) có 2 nghiệm: ${\displaystyle x_1=1}$; ${\displaystyle x_2=\frac{-0,2}{1,2}=-\frac{1}{6}}$ 

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ${\displaystyle x_1=0;x_2=1;x_3=-\frac{1}{6}}$

b) $5{\mathrm{x}}^3-x^2-5\mathrm{x}+1=0$

$\iff x^2(5x–1)–(5x–1)=0$

$\iff (5x–1)(x^2–1)=0$ 

${\displaystyle \iff [\begin{array}{c}5\mathrm{x}-1=0\hfill \\ x^2-1=0\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{1}{5}}\hfill \\ x=\pm 1\hfill \end{array}}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ${\displaystyle x_1=\frac{1}{5};x_2=-1;x_3=1}$  

a) $2{\left(x^2-2\mathrm{x}\right)}^2+3\left(x^2-2\mathrm{x}\right)+1=0$

b) ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0$

Phương pháp giải:

a) Đặt $x^2-2x=t$ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn 

b) Đặt $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=t$ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t.$$t.$

Lời giải:

a) Đặt $x^2-2x=t$, ta thu được phương trình $2t^2+3t+1=0$

Phương trình trên có $a-b+c=2-3+1=0$ nên có hai nghiệm $t=-1;t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

+ Với$$\begin{gathered} t=-1\Rightarrow x^2-2x=-1 \\ \iff x^2-2x+1=0 \\ \iff {\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1 \end{gathered}$$

+ Với $$\begin{gathered} t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x^2-2x=-{\displaystyle \frac{1}{2}} \\ \iff x^2-2x+1={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {\left(x-1\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff [\begin{array}{l}x-1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ x-1=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x=1;x={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}};x={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}$

b) ĐK: $x\ne 0.$

Đặt $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=t$, ta thu được phương trình $t^2-4t+3=0$

Phương trình trên có $a+b+c=1+\left(-4\right)+3=0$ nên có hai nghiệm $t=1;t=3.$

+ Với $t=1\Rightarrow x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=1\Rightarrow x^2-x+1=0$ .

Xét $\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=-3<0$ nên phương trình vô nghiệm.

+ Với$$\begin{gathered} t=3\Rightarrow x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=3 \\ \Rightarrow x^2-3x+1=0(\ast ) \end{gathered}$$ 

Phương trình (*) có $\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=5>0$ nên có hai nghiệm $[\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}};x={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ .

a) ${\displaystyle 12{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+1=0;x_1=\frac{1}{2}}$ 

b) $2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-39=0;x_1=-3$ 

c) $x^2+x-2+\sqrt{2}=0;x_1=-\sqrt{2}$

d) $x^2-2m\mathrm{x}+m-1=0;x_1=2$ 

Phương pháp giải:

Phương pháp: Sử dụng hệ thức Viet để tìm nghiệm còn lại của phương trình:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Lời giải:

a) ${\displaystyle 12{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+1=0;x_1=\frac{1}{2}}$               

Ta có: ${\displaystyle x_1{x}_2=\frac{1}{12}\iff \frac{1}{2}{x}_2=\frac{1}{12}\iff x_2=\frac{1}{6}}$

b) $2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-39=0;x_1=-3$ 

Ta có:$$\begin{gathered} {\displaystyle x_1.x_2=\frac{-39}{2}\iff -3{\mathrm{x}}_2=\frac{-39}{2}} \\ \iff {\displaystyle x_2=\frac{13}{2}} \end{gathered}$$

c) $x^2+x-2+\sqrt{2}=0;x_1=-\sqrt{2}$

Ta có:  

$\begin{array}{rl}& x_1.x_2=\sqrt{2}-2\\ & \iff -\sqrt{2}.x_2=\sqrt{2}-2\\ & \iff x_2=\frac{\sqrt{2}-2}{-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{2}\right)}{-\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\end{array}$

d) $x^2-2m\mathrm{x}+m-1=0(1);x_1=2$

Vì $x_1=2$ là một nghiệm của pt (1) nên

$2^2-2m.2+m-1=0$

$\iff m=1$

Khi $m=1$ ta có: $x_1{x}_2=m-1$ (hệ thức Vi-ét)

$\iff 2.x_2=0$ (vì $x_1=2$ và $m=1$)

$\iff x_2=0$

a) $u+v=12$; $uv=28$ và $u>v$

b) $u+v=3;uv=6$

Phương pháp giải:

Nếu S là tổng 2 số u, v; P là tích 2 số u, v thỏa mãn điều kiện $S^2-4P\ge 0$ thi u, v sẽ là nghiệm của phương trình sau: $x^2-Sx+P=0$

Lời giải:

a) $u+v=12;uv=28$ và $u>v$      

Ta có:    ${12}^2-4.28=32>0$

Nên $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình:

$x^2–12x+28=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=36–28=8$

$\Rightarrow x_1=6+2\sqrt{2};x_2=6-2\sqrt{2}$

Vì $6+2\sqrt{2}>6-2\sqrt{2}$ nên suy ra $u=6+2\sqrt{2};v=6-2\sqrt{2}$

b) $u+v=3;uv=6$

Ta có: $3^2-4.6=-15<0$

Nên $u$ và $v$ không có giá trị nào thỏa mãn đầu bài.

a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có nghiệm?

Phương pháp giải:

a)Phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$ (hoặc 

b) Hệ thức Vi-et: Với $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0)$

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Biến đổi $x_1^2+x_2^2$ để sử dụng được hệ thức Vi-ét.

Lời giải:

a) Xét phương trình $7x^2+2(m–1)x–m^2=0$ (1) có $a=7\ne 0$

Phương trình (1) có nghiệm khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m–1{)}^2–7(-m^2)=(m–1{)}^2+7m^2\ge 0$ với mọi $m$

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$

Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo $m$.

b) Xét phương trình $7x^2+2(m–1)x–m^2=0$ (1) có $a=7\ne 0$

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo hệ thức Viet ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{2(m-1)}{7}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{-m^2}{7}}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2\\ ={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\\ ={\left[{\displaystyle \frac{-2\left(m-1\right)}{7}}\right]}^2-2.{\displaystyle \frac{-m^2}{7}}\\ ={\displaystyle \frac{4\left(m^2-2m+1\right)}{49}}+{\displaystyle \frac{2m^2}{7}}\\ ={\displaystyle \frac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}}\\ ={\displaystyle \frac{18m^2-8m+4}{49}}\end{array}$

Vậy ${\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{18m^2-8m+4}{49}}$ .

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là $x$ % $(x>0)$.

Sau một năm dân số của thành phố là:

${\displaystyle 2000000+2000000.\frac{x}{100}=2000000+20000x}$ (người)

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

${\displaystyle 2000000+20000x+(2000000+20000x).\frac{x}{100}}$

$=2000000+40000x+200x^2$ (người)

Ta có phương trình:

$2000000+40000x+200x^2=2020050$

$\iff 4x^2+800x–401=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={400}^2–4(-401)=160000+1604$

$=161604>0$

${\sqrt{\mathrm{\Delta }}}^{\prime }=\sqrt{161604}=402$

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

${\displaystyle x_1=\frac{-400+402}{4}=0,5(TM)}$

${\displaystyle x_2=\frac{-400-402}{4}=-200,5<0}$ (loại)

Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là $0,5$ %

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi $x$ là số dương mà đầu bài cho, $x>0$

Bạn Quân đã chọn số $(x–2)$ để nhân với $x$.

Theo đề bài, ta có: $x(x–2)=120$ hay $x^2–2x–120=0$ 

Phương trình trên có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-1{)}^2-1.(-120)=121>0$

Suy ra $x=1+\sqrt{121}=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=1-\sqrt{121}=-10$ (loại)

Nên số đầu bài cho là $12$

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của $x$ với $x+2$

Vậy kết quả đúng phải là: $12.14=168$

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất. Điều kiện $x>0$.

Khi đó vận tốc của xe lửa  thứ hai là $x+5$ (km/h).

Đến khi gặp nhau tại chính giữa quang đường thì mỗi xe đều đi được $900:2=450$ km.

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: ${\displaystyle \frac{450}{x}}$ (giờ)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: ${\displaystyle \frac{450}{x+5}}$ (giờ)

Vì xe lửa thứ hai đi sau $1$ giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất $1$ giờ. Ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{450}{x}}-{\displaystyle \frac{450}{x+5}}=1$

$\begin{array}{l}\iff 450\left(x+5\right)-450x=x\left(x+5\right)\\ \iff 450x+2250-450x=x^2+5x\\ \iff x^2+5x-2250=0\\ \mathrm{\Delta }=5^2-4.\left(-2250\right)=9025>0,\sqrt{\mathrm{\Delta }}=95\end{array}$

Từ đó ta có: $x_1=45$ (nhận); $x_2=-50$ (loại)

Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là $45$ km/h

Vận tốc của xe lửa thứ hai là $50$ km/h.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Dựa vào tỉ lệ cạnh của tam giác đồng dạng để tính các cạnh cần thiết.

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích của chiều dài với chiều rộng. 

Lời giải:

Gọi $x$ (cm) là độ dài của đoạn $AK$. Điều kiện $0<x<12$

Vì $∆ABC$ đồng dạng $∆AMN$ nên

$\begin{array}{rl}& \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{x}{12}\\ & \Rightarrow MN=\frac{16x}{12}=\frac{4\mathrm{x}}{3}\end{array}$  

Ta có: $MQ=KH=12–x$

Do đó diện tich hình chữ nhật $MNPQ$ là: ${\displaystyle \left(12-x\right)\frac{4\mathrm{x}}{3}}$ 

Ta có phương trình:

${\displaystyle \left(12-x\right)\frac{4\mathrm{x}}{3}=36\iff x^2-12\mathrm{x}+27=0}$

Phương tình trên có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-6{)}^2-1.27=9>0$

Suy ra $x=9$ (nhận) hoặc $x=3$ (nhận)

Vậy độ dài của đoạn $AK=3cm$ hoặc $AK=9cm$. Suy ra ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ hoặc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Khi đó $M$ sẽ có hai vị trí trên $AB$ nhưng diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ luôn bằng $36$ cm²