Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình | Giải Toán lớp 9

Mẫn Thị Ngọc Tuyết Ngày: 20-05-2022 Lớp 9

471

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Căn bậc hai lớp 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Trả lời câu hỏi Bài 8 Toán 9 Tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng 320m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m) (x > 4)

Chiều rộng của mảnh vườn là x – 4 (m)

Diện tích của mảnh vườn là 320m² nên ta có phương trình:

$\begin{aligned} x (x - 4) = 320 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 320 = 0 \\ Δ^{'} = 2^{2} + 320 = 324; \sqrt{Δ^{'}} = 18 \\ x_{1} = 2 + 18 = 20; x_{2} = 2 - 18 = - 16 \end{aligned}$

$x_{2} = - 16$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 20m

Chiều rộng của mảnh vườn là 16 m

Bài tập trang 58-60 SGK Toán 9

Bài 41 trang 58 sgk Toán 9 tập 2: Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi số mà một bạn đã chọn là: $x$ và số bạn kia chọn là: $x + 5$ .

Tích của hai số là: $x (x + 5)$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$x (x + 5) = 150$ hay $x^{2} + 5 x - 150 = 0$

Giải phương trình ta được: $Δ = 5^{2} - 4.1. (- 150) = 625 > 0$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm là: $x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{625}}{2} = 10,$ $x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{625}}{2} = - 15$

Vậy:+) nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.

+) nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại.

Bài 42 trang 58 sgk Toán 9 tập 2: Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ?

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi lãi suất cho vay là $x$ (%), $(x > 0)$ .

Tiền lãi sau một năm là: $2000000 . \frac{x}{100}$ hay $20000 x$ (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: $2000000 + 20000 x$ (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

$(2000000 + 20000 x) \frac{x}{100}$ hay $20000 x + 200 x^{2}$ (đồng)

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

$2000000 + 20000 x + 20000 x + 200 x^{2}$ $= 2000000 + 40000 x + 200 x^{2}$ (đồng)

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

$2000000 + 40000 x + 200 x^{2} = 2420000$

$\Leftrightarrow 200 x^{2} + 40000 x + 2000000 - 2420000 = 0$

$\Leftrightarrow 200 x^{2} + 40000 x - 420000 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 200 x - 2100 = 0$

Giải phương trình:

$Δ^{'} = 100^{2} - 1 . (- 2100)$

$= 10000 + 2100 = 12100 > 0$

$=> \sqrt{Δ^{'}} = 110$

nên $x_{1} = \frac{- 100 - 110}{1} = - 210$ , $x_{2} = \frac{- 100 + 110}{1} = 10$

Vì $x > 0$ nên $x_{1}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy lãi suất là 10% một năm

Bài 43 trang 58 sgk Toán 9 tập 2: Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là $x$ (km/h), thì vận tốc lúc về là $x - 5$ (km/h), $x > 5$ .

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: $\frac{120}{x} + 1$ (giờ)

Đường về dài: $120 + 5 = 125$ (km)

Thời gian về là: $\frac{125}{x - 5}$ (giờ)

Theo đầu bài có phương trình: $\frac{120}{x} + 1 = \frac{125}{x - 5}$

Giải phương trình:

$x^{2} - 5 x + 120 x - 600 = 125 x \Leftrightarrow x^{2} - 10 x - 600 = 0$

$Δ^{'} = {(- 5)}^{2} - 1. (- 600) = 625 > 0, \sqrt{Δ^{'}} = 25$

$x_{1} = 5 - 25 = - 20, x_{2} = 5 + 25 = 30$

Vì $x > 0$ nên $x_{1} = - 20$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h

Bài 44 trang 58 sgk Toán 9 tập 2: Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi số phải tìm là $x$ .

Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Theo đầu bài ta có phương trình: $(\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ $\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow (x - 1) x = 2$

hay $x^{2} - x - 2 = 0$ , có $a - b + c = 1 - (- 1) - 2 = 0$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$

Vậy số phải tìm bằng $- 1$ hoặc $2.$

Bài 45 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi số bé là $x$ , $x \in N, x > 0$ , số tự nhiên liền sau của $x$ là $x + 1$ .

Tích của hai số này là $x (x + 1) = x^{2} + x$

Tổng của hai số này là: $x + x + 1 = 2 x + 1$

Theo đầu bài, tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:

$x^{2} + x - (2 x + 1) = 109$ hay $x^{2} - x - 110 = 0$

Giải phương trình: $Δ = (- 1)^{2} - 4. (- 110) = 1 + 440 = 441$ , $\sqrt{Δ} = 21$

$x_{1} = \frac{- (- 1) + 21}{2} = 11,$ $x_{2} = \frac{- (- 1) - 21}{2} = - 10$

Vì $x > 0$ nên $x_{2} = - 10$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Do đó, số bé là 11 nên số liền sau nó là 11+1 = 12

Vậy hai số phải tìm là: 11 và 12.

Bài 46 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là $x$ (m), $x > 0$ .

Vì diện tích của mảnh đất bằng $240$ m² nên chiều dài là: $\frac{240}{x}$ (m)

Nếu tăng chiều rộng $3$ m và giảm chiều dài $4$ m thì mảnh đất mới có chiều rộng là $x + 3$ (m), chiều dài là ( $\frac{240}{x} - 4)$ (m) và diện tích là: $(x + 3) (\frac{240}{x} - 4) = 240 - 4 x + \frac{720}{x} - 12$ $(m^{2})$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 240 - 4 x + \frac{720}{x} - 12 = 240 \\ \Rightarrow - 4 x^{2} + 720 - 12 x = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 180 = 0 \end{array}$

Giải phương trình: $Δ = 3^{2} + 720 = 729$ , $\sqrt{Δ} = 27$

Suy ra $x_{1} = \frac{- 3 + 27}{2} = 12,$ $x_{2} = \frac{- 3 - 27}{2} = - 15$

Vì $x > 0$ nên $x_{2} = - 15$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là $12$ m, chiều dài là: $240 : 12 = 20$ (m)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là $12$ m, chiều dài là $20$ m.

Bài 47 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài

30

km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là

3

km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc của bác Hiệp là $x$ (km/h), khi đó vận tốc của cô Liên là $x - 3$ (km/h), $x > 3$ .

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là $\frac{30}{x}$ (giờ).

Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: $\frac{30}{x - 3}$ (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

$\frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x}$ = $\frac{1}{2}$

Giải phương trình:

$\begin{array}{l} 30.2 x - 30.2 (x - 3) = x (x - 3) \\ \Leftrightarrow 60 x - 60 x + 180 = x^{2} - 3 x \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 180 = 0 \\ Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 180) = 729 > 0, \sqrt{Δ} = 27 \end{array}$

$x_{1} = \frac{3 + 27}{2} = 15,$ $x_{2} = \frac{3 - 27}{2} = - 12$

Vì $x > 3$ nên $x_{2} = - 12$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Bài 48 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích dm³ (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích của chiều dài, chiều rộng và chiều cao.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của miếng tôn là $x$ (dm), $x > 10$ .

Chiều dài của nó là $2 x$ (dm)

Khi làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp thì chiều dài của thùng là $2 x - 10$ (dm), chiều rộng là $x - 10$ (dm), chiều cao là $5$ (dm).

Dung tích của thùng là $5 (2 x - 10) (x - 10)$ $(d m^{3})$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l} 5 (2 x - 10) (x - 10) = 1500 \\ \Leftrightarrow 5 (2 x^{2} - 20 x - 10 x + 100) = 1500 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 30 x + 100 = 300 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 15 x - 100 = 0 \end{array}$

Giải phương trình: $Δ = 225 + 400 = 625 > 0$ , $\sqrt{Δ} = 25$

Suy ra $x_{1} = 20, x_{2} = - 5$ (loại)

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

Bài 49 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ?

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Lời giải:

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là $x$ (ngày), $x > 0$ .

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là $x + 6$ (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Mỗi ngày đội II làm được $\frac{1}{x + 6}$ (công việc)

Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{4}$ công việc ta có phương trình:

$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 6}$ = $\frac{1}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 (x + 6) + 4. x = x (x + 6) \\ \Leftrightarrow 4 x + 24 + 4 x = x^{2} + 6 x \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 24 = 0 \end{array}$

$Δ^{'} = 1 + 24 = 25 = 5^{2}$

$x_{1} = 1 + 5 = 6, x_{2} = 1 - 5 = - 4$

Vì $x > 0$ nên $x_{2} = - 4$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội I làm trong $6$ ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong $6 + 6 = 12$ ngày thì xong việc.

Bài 50 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Miếng kim loại thứ nhất nặng g, miếng kim loại thứ hai nặng g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là g/cm³ . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích của 1 vật đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau:

$V = \frac{m}{D}$

Trong đó:

m là khối lượng của vật.

D là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.

Lời giải:

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: $x$ (g/cm³ )

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: $x - 1$ (g/cm³ ) điều kiện $x > 1$

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\frac{880}{x}$ (cm³ )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\frac{858}{x - 1}$ (cm³ )

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là $10$ cm³ nên ta có phương trình: $\frac{858}{x - 1} - \frac{880}{x} = 10$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 858 x - 880 (x - 1) = 10 x (x - 1) \\ \Leftrightarrow 858 x - 880 x + 880 = 10 x^{2} - 10 x \\ \Leftrightarrow 10 x^{2} + 12 x - 880 = 0 \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} + 6 x - 440 = 0 \end{array}$

Ta có: $Δ^{'} = 9 + 2200 = 2209$ , $\sqrt{Δ^{'}} = 47$

Suy ra $x_{1} = \frac{- 3 + 47}{5} = 8, 8;$ $x_{2} = \frac{- 3 - 47}{5} = - 10$

Vì $x > 1$ nên $x_{2} = - 10$ (loại)

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: $8, 8$ g/cm³

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: $7, 8$ g/cm³

Bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2: Người ta đổ thêm g nước vào một dung dịch chứa g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?
Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích của 1 vật đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau:

$V = \frac{m}{D}$

Trong đó:

m là khối lượng của vật.

D là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.

Lời giải:

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: $x$ (g), $x > 0$

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: $\frac{40}{x + 40}$

Nếu đổ thêm $200$ g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là: $x + 40 + 200$ (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: $\frac{40}{x + 240}$

Vì nồng độ muối giảm $10$ % nên ta có phương trình:

$\frac{40}{x + 40} - \frac{40}{x + 240}$ = $10$ %

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{40}{x + 40} - \frac{40}{x + 240} = \frac{1}{10} \\ \Leftrightarrow \frac{40. (x + 240)}{(x + 40) . (x + 240)} - \frac{40. (x + 40)}{(x + 240) . (x + 40)} = \frac{1}{10} \\ \Leftrightarrow \frac{40. (x + 240) - 40. (x + 40)}{(x + 40) . (x + 240)} = \frac{1}{10} \\ \Rightarrow 1. (x + 40) . (x + 240) = 10. [40. (x + 240) - 40. (x + 40)] \end{array}$

$\Leftrightarrow (x + 40) (x + 240) = 400 (x + 240 - x - 40)$

hay $x^{2} + 280 x - 70400 = 0$

$Δ^{'} = 19600 + 70400 = 90000$ , $\sqrt{Δ^{'}} = 300$

$\Rightarrow$ $x_{1} = 160, x_{2} = - 440$

Vì $x > 0$ nên $x_{2} = - 440$ (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có $160$ g nước.

Bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2: Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích của 1 vật đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau:

$V = \frac{m}{D}$

Trong đó:

m là khối lượng của vật.

D là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.

Lời giải:

Gọi vận tốc thực của canô (khi nước yên lặng) là $x$ (km/h) , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: $x + 3$ (km/h) và vận tốc khi ngược dòng là: $x - 3$ (km/h), $x > 3$ .

Thời gian xuôi dòng là: $\frac{30}{x + 3}$ (giờ)

Thời gian ngược dòng là: $\frac{30}{x - 3}$ (giờ)

Nghỉ lại $40$ phút hay $\frac{2}{3}$ giờ ở B.

Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả $6$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} + \frac{2}{3} = 6$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} = \frac{16}{3} \\ \Rightarrow 30.3 (x - 3) + 30.3. (x + 3) = 16. (x - 3) (x + 3) \\ \Leftrightarrow 90 x - 270 + 90 x + 270 = 16 (x^{2} - 9) \\ \Leftrightarrow 16 x^{2} - 180 x - 144 = 0 \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 45 x - 36 = 0 \end{array}$

$Δ = 2025 + 576 = 2601 > 0, \sqrt{Δ} = 51$

Suy ra $x_{1} = 12, x_{2} = - \frac{3}{4}$ (loại)

Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là $12$ km/h.

Bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2: Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là .

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích của 1 vật đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau:

$V = \frac{m}{D}$

Trong đó:

m là khối lượng của vật.

D là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.

Lời giải:

Giả sử $M$ là điểm chia đoạn $A B$ sao cho $A M > M B$ và $A B$ có độ dài bằng $a$ .

Gọi độ dài của $A M = x; 0 < x < a$ . Khi đó $M B = a - x$ .

Theo đầu bài: $\frac{A M}{A B} = \frac{M B}{A M}$ hay $\frac{x}{a} = \frac{a - x}{x}$

Giải phương trình: $x^{2} = a (a - x)$ hay $x^{2} + a x - a^{2} = 0$

$Δ = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2}, \sqrt{Δ} = a \sqrt{5}$

Suy ra $x_{1} = \frac{- a + a \sqrt{5}}{2} = \frac{a (\sqrt{5} - 1)}{2}, x_{2} = \frac{- a (\sqrt{5} + 1)}{2}$

Vì $x > 0$ nên $x_{2}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy $A M = \frac{a (\sqrt{5} - 1)}{2}$

Tỉ số cần tìm là: $\frac{A M}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Lý thuyết Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Các kiến thức cần nhớ

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương tình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kiểm tra nghiệm của phương tình (nếu có) với điều kiện ẩn số và đề bài để đưa ra kết luận.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Toán về quan hệ các số

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau:

+) Biểu diễn số có hai chữ số : $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó

$a$ là chữ số hàng chục và $0 < a \leq 9$ , $a \in N$ ,

$b$ là chữ số hàng đơn vị và $0 \leq b \leq 9, b \in N$ .

+) Biểu diễn số có ba chữ số: $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ trong đó

$a$ là chữ số hàng trăm và $0 < a \leq 9$ , $a \in N$ ,

$b$ là chữ số hàng chục và $0 \leq b \leq 9, b \in N$ ,

$c$ là chữ số hàng đơn vị và $0 \leq c \leq 9, c \in N$ .

Dạng 2: Toán chuyển động

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các công thức $S = v . t$ , $v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v}$

Với $S :$ là quãng đường, $v :$ là vận tốc, $t$ : thời gian

Đối với bài toán chuyển động của cano hoặc tàu trên dòng nước thì

$V_{x d} = V_{t} + V_{n}; V_{n d} = V_{t} - V_{n}$

với $V_{x d}$ là vận tốc cano (tàu ) khi xuôi dòng;

$V_{n d}$ là vận tốc cano (tàu ) khi ngược dòng;

$V_{t}$ là vận tốc thực của cano (tàu ) (khi nước yên lặng);

$V_{n}$ là vận tốc của dòng nước.

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Phương pháp:

Một số lưu ý khi giải bài toán làm chung công việc

- Có ba đại lượng tham gia là: Toàn bộ công việc , phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian (năng suất) và thời gian.

- Nếu một đội làm xong công việc trong $x$ ngày thì một ngày đội dó làm được $\frac{1}{x}$ công việc.

- Xem toàn bộ công việc là $1$ (công việc).

Dạng 4: Toán phần trăm

Phương pháp:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a %$ là $(100 + a) % . x$ (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a %$ là $(100 - a) % . x$ (sản phẩm)

Dạng 5: Toán có nội dung hình học

Phương pháp:

Một số công thức cần nhớ

Với tam giác:

Diện tích = (Đường cao . Cạnh đáy) $: 2$

Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

Với tam giác vuông: Diện tích = Tích hai cạnh góc vuông $: 2$

Với hình chữ nhật:

Diện tích = Chiều dài. Chiều rộng

Chu vi = 2. (Chiều dài + chiều rộng)

Với hình vuông cạnh $a$ :

Diện tích = $a^{2}$

Chu vi = Cạnh . $4$

Dạng 6: Toán về năng suất lao động

Phương pháp:

Năng suất bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

227

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

263

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

286

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

236