Câu 20

Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$. Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả sai: 

(A) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{b}{-a}};x_1.x_2={\displaystyle \frac{-c}{-a}}$

(B) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{-a}};x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$

(C) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}};x_1.x_2=-{\displaystyle \frac{c}{-a}}$

(D) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{b}{-a}};x_1.x_2=-{\displaystyle \frac{-c}{a}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết về Hệ thức Vi-ét

Trả lời:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Nên A, C, D đúng. B sai vì $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\ne {\displaystyle \frac{-b}{-a}}$

Chọn B.

Câu 21

Cho phương trình $-5x^2-4x+10=0$. Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng:

(A) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{4}{5}};x_1.x_2=-2$

(B) $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{4}{5}};x_1.x_2=2$

(C) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{-5}{4}};x_1.x_2=-2$

(D) $x_1+x_2={\displaystyle \frac{-4}{5}};x_1.x_2=-2$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-et

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Trả lời:

Phương trình $-5x^2-4x+10=0$ có $a=-5;b=-4;c=10$ nên $a.c=-5.10<0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2.$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{-4}{-5}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{10}{-5}}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x_1.x_2=-2\end{array}$

Chọn D.

Câu 22

Nếu $x_1,x_2$ là hai số đã cho thì chúng là hai nghiệm của phương trình nào sau đây:

(A) $x^2+\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2=0$

(B) $x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2=0$

(C) $x^2+\left(x_1+x_2\right)x-x_1.x_2=0$

(D) $x^2-\left(x_1.x_2\right)x+\left(x_1+x_2\right)=0$

Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$ (ĐK: $S^2\ge 4P$)

Trả lời:

Ta gọi $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=S\\ x_1.x_2=P\end{array}\left(S^2\ge 4P\right)$  

thì $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ hay $x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1{x}_2=0$

Chọn B.

Câu 23

Đối với phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$. Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng.

(A) Nếu –a – b – c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 còn nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{-c}{a}}$  

(B) Nếu –a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 còn nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{-a}}$

(C) Nếu a + b - c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 còn nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

(D) Nếu b + c – a = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 còn nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{a}{c}}$

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

 Nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Nếu phương trình có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Trả lời:

Ta có : nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$ .

Có thể thấy điều kiện $a+b+c=0\iff -\left(a+b+c\right)=0$$\iff -a-b-c=0$ và $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{-c}{a}}$

Nên ta có thể viết lại nếu phương trình có $-a-b-c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{-c}{a}}$ nên A đúng.

Chọn A.

LG a

$2x^2-17x+1=0;$  $\mathrm{\Delta }=...,x_1+x_2=...,x_1.x_2=...$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý: Ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$ trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-17\right)}^2-\mathrm{4.2.1}=281>0$ 

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2.$

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}={\displaystyle \frac{-\left(-17\right)}{2}}={\displaystyle \frac{17}{2}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

LG b

$5x^2-x-35=0;$ $\mathrm{\Delta }=...,x_1+x_2=...,x_1.x_2=...$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý: Ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$ trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.5.}\left(-35\right)=701>0$

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2.$

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}={\displaystyle \frac{-\left(-1\right)}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{-35}{5}}=-7\end{array}$

LG c

$8x^2-x+1=0;$ $\mathrm{\Delta }=...,x_1+x_2=...,x_1.x_2=...$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý: Ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$ trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.8.1}=-31<0$

Phương trình vô nghiệm.

LG d

${25}^2+10x+1=0;$  $\mathrm{\Delta }=...,x_1+x_2=...,x_1.x_2=...$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý: Ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình $\left(\mathrm{\Delta }\ge 0\right)$ trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={10}^2-\mathrm{4.25.1}=0$

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2.$

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}={\displaystyle \frac{-10}{25}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{1}{25}}\end{array}$

LG a

$35x^2-37x+2=0$

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

 Nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Nếu phương trình có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}.$ 

Trả lời:

Phương trình $35x^2-37x+2=0$ có $a=35;b=-37;c=2$$\Rightarrow a+b+c=35+\left(-37\right)+2=0$ 

nên phương trình có hai nghiệm $x_1=1;x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{2}{35}}.$

LG b

$7x^2+500x-507=0$

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

 Nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Nếu phương trình có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}.$ 

Trả lời:

Phương trình $7x^2+500x-507=0$ có $a=7;b=500;c=-507$$\Rightarrow a+b+c=7+500+\left(-507\right)=0$

nên phương trình có hai nghiệm $x_1=1;x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{-507}{7}}.$

LG c

$x^2-49x-50=0$

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

 Nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Nếu phương trình có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}.$ 

Trả lời:

Phương trình $x^2-49x-50=0$ có $a=1;b=-49;c=-50$$\Rightarrow a-b+c=1-\left(-49\right)+\left(-50\right)=0$

nên phương trình có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}=50.$

LG d

$4321x^2+21x-4300=0$

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

Nếu phương trình có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1,$ nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Nếu phương trình có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1,$ nghiệm kia là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}.$ 

Trả lời:

Phương trình $4321x^2+21x-4300=0$ có $a=4321;b=21;c=-4300$$\Rightarrow a-b+c$$=4321-21+\left(-4300\right)=0$

nên phương trình có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{4300}{4321}}.$

LG a

$u+v=32,uv=231$

Phương pháp giải:

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Sử dụng: Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$ (ĐK: $S^2\ge 4P$) từ đó giải phương trình ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu.

Trả lời:

$u$ và $v$ là nghiệm của phương trình $x^2-32x+231=0$

Giải phương trình

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-16\right)}^2-1.231=25$$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=5$

$x_1={\displaystyle \frac{-\left(-16\right)+5}{1}}=21;$$x_2={\displaystyle \frac{-\left(-16\right)-5}{1}}=11$

Vậy $u=21;v=11$ hoặc $u=11;v=21.$

LG b

$u+v=-8,uv=-105$

Phương pháp giải:

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Sử dụng: Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$ (ĐK: $S^2\ge 4P$) từ đó giải phương trình ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu.

Trả lời:

$u$ và $v$ là nghiệm của phương trình $x^2+8x-105=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4^2-1.\left(-105\right)=121$$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=11$

$x_1={\displaystyle \frac{-4+11}{1}}=7;$$x_2={\displaystyle \frac{-4-11}{1}}=-15$

Vậy $u=7;v=-15$ hoặc $u=-15;v=7.$

LG c

$u+v=2,uv=9$

Phương pháp giải:

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Sử dụng: Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$ (ĐK: $S^2\ge 4P$) từ đó giải phương trình ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu.

Trả lời:

$u$ và $v$ là nghiệm của phương trình $x^2-2x+9=0$

Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-1\right)}^2-1.9=-8<0$

Suy ra phương trình vô nghiệm hay không có $u$ và $v$ thỏa mãn đề bài. 

LG a

$4x^2+2x-5=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình ( $\mathrm{\Delta }\ge 0$ hoặc $a.c<0$ ) trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

Vì a và c trái dấu nên theo chú ý ở §4 SGK, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ theo định lí Vi-ét: 

$x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}};$$x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{-5}{4}}$ .

$9x^2-12x+4=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình ( $\mathrm{\Delta }\ge 0$ hoặc $a.c<0$ ) trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={\left(-6\right)}^2-4.9=0$, phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$

$x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}={\displaystyle \frac{12}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}};$$x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$ .

LG c

$5x^2+x+2=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình ( $\mathrm{\Delta }\ge 0$ hoặc $a.c<0$ ) trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.5.2}=-39<0$ hay phương trình vô nghiệm.

LG d

$159x^2-2x-1=0$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$ 
Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}.$

Lưu ý ta phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của mỗi phương trình ( $\mathrm{\Delta }\ge 0$ hoặc $a.c<0$ ) trước khi dùng hệ thức Vi-ét.

Trả lời:

Phương trình ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-1{)}^2+159=160>0$ hay phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}=-{\displaystyle \frac{-2}{159}}={\displaystyle \frac{2}{159}}\\ x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{-1}{159}}\end{array}$

Vậy $x_1+x_2={\displaystyle \frac{2}{159}};x_1.x_2={\displaystyle \frac{-1}{159}}$ .

Bài 24 trang 62 Vở bài tập toán 9 tập 2