${\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

Phương pháp giải:

+ Thay ${\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ vào để tính tổng và tích.

+ Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ và $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}\\ & x_1.x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right).\left(\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)=\frac{(-b{)}^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$

a) Xác định các hệ số $a,b,c$ rồi tính $a+b+c.$

b) Chứng tỏ rằng $x_1=1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm $x_2.$

Phương pháp giải:

a) Phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có các hệ số $a;b;c$, từ đó tính tổng $a+b+c.$

b) Thay $x=1$ vào phương trình đã cho, nếu ta được một đẳng thức đúng thì $x_1=1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Sử dụng hệ thức Vi-et: $x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$ để tính $x_2.$

Lời giải:

a) Phương trình $2x^2–5x+3=0$ có các hệ số $a=2;b=-5;c=3$

$\Rightarrow a+b+c=2-5+3=0$

b) Thay $x=1$ vào phương trình ta được:

${2.1}^2-5.1+3=0\iff 0=0$ (luôn đúng)

Vậy $x_1=1$ là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

${\displaystyle x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\Rightarrow 1.x_2=\frac{3}{2}\Rightarrow x_2=\frac{3}{2}}$

a) Xác định các hệ số $a,b,c$ rồi tính $a-b+c.$

b) Chứng tỏ rằng $x_1=-1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm $x_2.$

Phương pháp giải:

a) Phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có các hệ số $a;b;c$, từ đó tính $a-b+c.$

b) Thay $x=-1$ vào phương trình đã cho, nếu ta được một đẳng thức đúng thì $x_1=-1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Sử dụng hệ thức Vi-et: $x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$ để tính $x_2.$

Lời giải:

a) Phương trình $3x^2+7x+4=0$ có các hệ số $a=3;b=7;c=4$

$\Rightarrow a-b+c=3-7+4=0$

b) Thay $x=-1$ vào phương trình ta được:

$3.(-1{)}^2+7.(-1)+4=0\iff 0=0$ (luôn đúng)

Vậy $x_1=-1$ là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

${\displaystyle x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}\Rightarrow (-1).x_2=\frac{4}{3}\Rightarrow x_2=\frac{-4}{3}}$

a) $-5x^2+3x+2=0$

b) $2004x^2+2005x+1=0$

Phương pháp giải:

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

+) Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$  có $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm là $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2={\displaystyle \frac{-c}{a}}$.  

Lời giải:

a) Xét phương trình $-5x^2+3x+2=0$ có $a=-5;b=3;c=2$

Nên $a+b+c=-5+3+2=0$, do đó phương trình có hai nghiệm $x_1=1;x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$

b) Xét phương trình $2004x^2+2005x+1=0$ có $a=2004;b=2005;c=1$

Nên $a-b+c=2004-2005+1=0$, do đó phương trình có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{1}{2004}}$ 

a) $35x^2-37x+2=0$            ;b) $7x^2+500x-507=0$

c) $x^2-49x-50=0$                ;d) $4321x^2+21x-4300=0$

Phương pháp giải:

+) TH1: Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1$, nghiệm còn lại là $x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$

+) TH2: Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1$, nghiệm còn lại là $x_2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$

Lời giải:

a) $35x^2-37x+2=0$ có $a=35,b=-37,c=2$

Do đó: $a+b+c=35+(-37)+2=0$

nên ${\displaystyle x_1=1;x_2=\frac{2}{35}}$

b)  $7x^2+500x-507=0$ có $a=7,b=500,c=-507$

Do đó: $a+b+c=7+500+(-507)=0$

nên ${\displaystyle x_1=1;x_2=-\frac{507}{7}}$ 

c) $x^2-49x-50=0$ có $a=1,b=-49,c=-50$   

Do đó $a-b+c=1-(-49)+(-50)=0$

nên ${\displaystyle x_1=-1;x_2=-\frac{-50}{1}=50}$

d) $4321x^2+21x-4300=0$ có $a=4321,b=21,c=-4300$

Do đó $a-b+c=4321-21+(-4300)=0$ 

nên ${\displaystyle x_1=-1;x_2=-\frac{-4300}{4321}=\frac{4300}{4321}}$.

a) $x^2-7x+12=0$

b) $x^2+7x+12=0$

Phương pháp giải:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Lời giải:

a) $x^2-7x+12=0$ có $a=1,b=-7,c=12$

Suy ra $\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.1.12}=1>0$

Nên phương trình có 2 nghiệm $x_1;x_2$, theo hệ thức Vi-et ta có:

${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7=3+4}$ 

${\displaystyle x_1{x}_2=\frac{12}{1}=12=3.4}$

Vậy $x_1=3,x_2=4$. 

b) $x^2+7x+12=0$ có $a=1,b=7,c=12$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=7^2-\mathrm{4.1.12}=1>0$

Nên phương trình có 2 nghiệm $x_1;x_2$ , theo hệ thức Vi-et ta có:

${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{7}{1}=-7=-3+(-4)}$

${\displaystyle x_1{x}_2=\frac{12}{1}=12=(-3).(-4)}$

Vậy $x_1=-3,x_2=-4$.

a) $u+v=32,uv=231$          ;b) $u+v=-8,uv=-105$          ;c) $u+v=2,uv=9$

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện $S^2-4P\ge 0$ ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$.

Sau đó tính $\mathrm{\Delta }$ hoặc ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn)  để tìm ra nghiệm của phương trình

Lời giải:

a) Vì ${32}^2-4.231=100>0$

Nên $u$ và $v$ là nghiệm của phương trình: $x^2-32x+231=0$

$a=1;b^{\prime }=-16;c=231.$  

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-16{)}^2-231.1=256-231=25,\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=5$

$\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-\left(-16\right)-5}{1}}=11\\ x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-\left(-16\right)+5}{1}}=21\end{array}$

Vậy $u=21,v=11$ hoặc $u=11,v=21$

b) Vì ${\left(-8\right)}^2-4.\left(-105\right)=484>0$

Nên $u$, $v$ là nghiệm của phương trình:

$x^2+8x-105=0$

$a=1;b^{\prime }=4;c=-105$

 Ta có: ${\Delta }^{\prime }=16–1.(-105)=121>0$

$\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-4-11}{1}}=-15\\ x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}={\displaystyle \frac{-4+11}{1}}=7\end{array}$

Vậy $u=7,v=-15$ hoặc $u=-15,v=7$.

c)  Vì $2^2-4.9<0$ nên không có giá trị nào của $u$ và $v$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

a) $4x^2+2x-5=0$           ;b) $9x^2-12x+4=0$

c) $5x^2+x+2=0$             ;d) $159x^2-2x-1=0$

Phương pháp giải:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Chú ý: Trước tiên cần kiểm tra điều kiện là phương trình đã cho có nghiệm hay không, nếu không có nghiệm thì không tính được tổng và tích 2 nghiệm đó.

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình $4x^2+2x-5=0$ có nghiệm vì $a=4,c=-5$ trái dấu nhau nên phương trình luôn có 2 nghiệm. Nên theo hệ thức Vi-ét ta có

${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{1}{2};x_1{x}_2=-\frac{5}{4}}$

b) Phương trình $9x^2-12x+4=0$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=36-36=0$. Phương trình có nghiệm kép. Nên theo hệ thức Vi-ét ta có

${\displaystyle x_1+x_2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3};x_1{x}_2=\frac{4}{9}}$

c) Phương trình $5x^2+x+2=0$ có  

$\mathrm{\Delta }=$ $1^2-4.5.2=-39<0$

Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.

d) Phương trình $159x^2-2x-1=0$ có hai nghiệm phân biệt vì $a$ và $c$ trái dấu nên theo hệ thức Vi-ét ta có

${\displaystyle x_1+x_2=\frac{2}{159};x_1{x}_2=-\frac{1}{159}}$

a) $x^2-2x+m=0$          ;b) $x^2+2\left(m-1\right)x+m^2=0$ 

Phương pháp giải:

+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$, điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\mathrm{\Delta }\ge 0\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\right)$

Trong đó $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac;{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac;b^{\prime }={\displaystyle \frac{b}{2}}$

+) Tính tổng và tích các nghiệm:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$

Lời giải:

a) Phương trình $x^2-2x+m=0$ $(a=1;b^{\prime }=-1,c=m)$ có nghiệm khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=1-m\ge 0$ suy ra $m\le 1$

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có $x_1+x_2=2$, $x_1.x_2=m$ 

b) Phương trình $x^2+2\left(m-1\right)x+m^2=0$ $(a=1;b^{\prime }=m-1;c=m^2)$ có nghiệm khi

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=(m-1{)}^2-m^2$$=m^2-2m+1-m^2=1-2m\ge 0$ 

Suy ra $m\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có  $x_1+x_2=-2\left(m-1\right)$, $x_1.x_2=m^2$ 

a) 1,5x2−1,6x+0,1=0

b) $\sqrt{3}{x}^2-\left(1-\sqrt{3}\right)x-1=0$

c) $\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+2\sqrt{3}x-\left(2+\sqrt{3}\right)=0$

d)$\left(m-1\right)x^2-\left(2m+3\right)x+m+4=0$ với $m\ne 1$

Phương pháp giải:

+) TH1: Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=1, nghiệm còn lại là x2=ca

+) TH2: Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a−b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=−1, nghiệm còn lại là x2=−ca 

Lời giải:

a) Phương trình 1,5x2−1,6x+0,1=0

Có a=1,5;b=−1,6;c=0,1

Suy ra a+b+c=1,5–1,6+0,1=0 nên x1=1;x2=0,11,5=115

b) Phương trình $\sqrt{3}{x}^2-\left(1-\sqrt{3}\right)x-1=0$

Có $a=\sqrt{3};b=-(1-\sqrt{3});c=-1$

Suy ra $a–b+c=\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})+(-1)=0$ nên ${\displaystyle x_1=-1,x_2=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 

c)$\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+2\sqrt{3}x-\left(2+\sqrt{3}\right)=0$

Có $a=2-\sqrt{3};b=2\sqrt{3};c=-(2+\sqrt{3})$

Suy ra $a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}–(2+\sqrt{3})=0$

Khi đó $x_1=1;x_2={\displaystyle \frac{-\left(2+\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}}}$$={\displaystyle \frac{-{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}=-7-4\sqrt{3}$

d)$\left(m-1\right)x^2-\left(2m+3\right)x+m+4=0$

Có $a=m-1;b=-(2m+3),c=m+4$ 

Suy ra $a+b+c=m–1–(2m+3)+m+4=0$

Nên ${\displaystyle x_1=1,x_2=\frac{m+4}{m-1}}$ 

a) u+v=42, uv=441

b) $u+v=-42$, $uv=-400$   

c) $u–v=5$, $uv=24$

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện S2−4P≥0 ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2−Sx+P=0.

Sau đó tính Δ hoặc Δ′ để tìm ra nghiệm của phương trình

Lời giải:

a) $u+v=42$, $uv=441$  thỏa mãn điều kiện ${42}^2-4.441\ge 0$ suy ra $u,v$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-42x+441=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={21}^2-441=441-441=0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=0;x_1=x_2=21$

Vậy $u=v=21$

b) $u+v=-42,uv=-400$, thỏa mãn điều kiện ${\left(-42\right)}^2+4.440\ge 0$ nên $u,v$ là nghiệm của phương trình:

$x^2+42x-400=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=441+400=841$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=29$ 

Suy ra $x_1={\displaystyle \frac{-21+29}{1}}=8;x_2={\displaystyle \frac{-21-29}{1}}=-50$

Do đó: $u=8,v=-50$ hoặc $u=-50,v=8$

c) $u–v=5,uv=24$. Đặt $–v=t$, ta có $u+t=5,ut=-24$, thỏa mãn điều kiện $5^2+4.24\ge 0$

nên $u,t$ là nghiệm của phương trình: $x^2-5x-24=0$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-24\right)=121\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=11$

Từ đó$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}={\displaystyle \frac{-\left(-5\right)+11}{2}}=8;x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}={\displaystyle \frac{-\left(-5\right)-11}{2}}=-3$ 

Vậy $u=8,t=-3$ hoặc $u=-3,t=8$.

Do đó: $u=8,v=3$ hoặc $u=-3,v=-8$.

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)$2x^2-5x+3$

b) $3x^2+8x+2$

Phương pháp giải:

+ Biến đổi vế phải $a(x-x_1)(x-x_2)$ và sử dụng hệ thức Vi-ét để đưa về bằng với vế trái $a{x}^2+bx+c$.

+ Áp dụng: Tìm nghiệm của mỗi phương trình bằng công thức nghiệm rồi thay vào công thức $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Lời giải:

Vì $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$ 

Xét $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Biến đổi vế phải: 

$a(x-x_1)(x-x_2)$

$=a\left(x^2-x{x}_2-x{x}_1+x_1{x}_2\right)$

$=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$

${\displaystyle =a{x}^2-a\left(-\frac{b}{a}\right)x+a\frac{c}{a}=a{x}^2+bx+c}$

Vậy phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm là $x_1,x_2$ thì:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.      

Áp dụng:

a) Phương trình $2x^2-5x+3=0$ có $a+b+c=2–5+3=0$ nên có hai nghiệm là ${\displaystyle x_1=1,x_2=\frac{3}{2}}$ nên:

${\displaystyle 2x^2+5x+3=2(x-1)(x-\frac{3}{2})=(x-1)(2x-3)}$

b) Phương trình  $3x^2+8x+2=0$ có $a=3,b=8,b^{\prime }=4,c=2$.

Nên ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4^2-3.2=10$ suy ra phương trình có hai nghiệm là:

$x_1$ = ${\displaystyle \frac{-4-\sqrt{10}}{3}}$, $x_2$= ${\displaystyle \frac{-4+\sqrt{10}}{3}}$

nên: ${\displaystyle 3x^2+8x+2=3(x-\frac{-4-\sqrt{10}}{3})(x-\frac{-4+\sqrt{10}}{3})}$

${\displaystyle =3(x+\frac{4+\sqrt{10}}{3})(x+\frac{4-\sqrt{10}}{3})}$