a) $x^2–4=0$

b) $x^3+4x^2–2=0$

c) $2x^2+5x=5$

d) $4x–5=0$

e) $-3x^2=0$

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình dạng $a{x}^2+bx+c=0$, trong đó $x$ là biến số và $a;b;c$ là các hệ số.

Lời giải:

a) $x^2–4=0$ đây là phương trình bậc hai có $a=1;b=0;c=-4$

b) $x^3+4x^2–2=0$ đây không là phương trình bậc hai

c) $2x^2+5x=5$ đây là phương trình bậc hai có $a=2;b=5;c=-5$

d) $4x–5=0$  đây không là phương trình bậc hai

e) $-3x^2=0$ đây là phương trình bậc hai có $a=-3;b=0;c=0$

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung là $x$ ra ngoài để đưa phương trình về dạng 

$A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}$

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{rl}& 2x^2+5x=0\iff x\left(2x+5\right)=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ 2x+5=0\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ x={\displaystyle \frac{-5}{2}}\hfill \end{array}\end{array}$ 

Vậy phương trình có hai nghiệm

$x_1=0;x_2={\displaystyle \frac{-5}{2}}$ 

Phương pháp giải:

Chuyển vế đổi dấu đưa về dạng $x^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}x=\sqrt{a}\\ x=-\sqrt{a}\end{array}$

Lời giải:

$$\begin{gathered} 3x^2-2=0\iff 3x^2=2\iff x^2={\displaystyle \frac{2}{3}} \\ \iff [\begin{array}{l}x=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ x=-\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\\ x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}};x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}.$ 

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=...;x_2=...$

Phương pháp giải:

Giải phương trình về dạng 

${\left(f\left(x\right)\right)}^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{a}\\ f\left(x\right)=-\sqrt{a}\end{array}$ 

Lời giải:

Ta có$$\begin{gathered} {\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{7}{2}}\iff x-2=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}} \\ \iff x=2\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}};x_2=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$ 

Phương pháp giải:

Đưa vế trái về hằng đẳng thức $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$

Từ đó đưa phương trình về dạng 

${\left(f\left(x\right)\right)}^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{a}\\ f\left(x\right)=-\sqrt{a}\end{array}$ 

Lời giải:

Ta có $x^2-4x+4={\displaystyle \frac{7}{2}}$$$\begin{gathered} \iff {\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{7}{2}} \\ \iff [\begin{array}{l}x-2=\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\\ x-2=-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\\ x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}};x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$

Phương pháp giải:

Cộng thêm mỗi vế của phương trình với $4$ để đưa vế trái về hằng đẳng thức $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$

Từ đó đưa phương trình về dạng 

${\left(f\left(x\right)\right)}^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{a}\\ f\left(x\right)=-\sqrt{a}\end{array}$

Lời giải:

Cộng hai vế của phương trình đã cho với $4$ ta được $x^2-4x+4=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+4$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{7}{2}}\iff [\begin{array}{l}x-2=\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\\ x-2=-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\\ x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}};x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$

Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$ rồi cộng thêm mỗi vế của phương trình với $4$ để đưa vế trái về hằng đẳng thức $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$

Từ đó đưa phương trình về dạng 

${\left(f\left(x\right)\right)}^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{a}\\ f\left(x\right)=-\sqrt{a}\end{array}$  

Lời giải:

Chia cả hai vế của phương trình $2x^2-8x=-1$ cho $2$ ta được phương trình

$x^2-4x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\iff x^2-4x+4=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+4$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x-2\right)}^2={\displaystyle \frac{7}{2}} \\ \iff [\begin{array}{l}x-2=\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\\ x-2=-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\\ x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}};x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$

a) $x^2-8=0$     ;b) $5x^2-20=0$        ;c) $0,4x^2+1=0$

d) $2x^2+\sqrt{2}x=0$                              ;e) $-0.4x^2+1,2x=0$

Phương pháp giải:

Biến đồi phương trình để sử dụng: Với mọi $a\ge 0$, ta có: $x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2-8=0\iff x^2=8\iff x=\pm \sqrt{8}\iff x=\pm 2\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\pm 2\sqrt{2}$.

b) Ta có:

$5x^2-20=0\iff 5x^2=20\iff x^2={\displaystyle \frac{20}{5}}$

$\iff x^2=4\iff x=\pm \sqrt{4}\iff x=\pm 2$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\pm 2$.

c)Ta có:

$$\begin{gathered} 0,4x^2+1=0\iff 0,4x^2=-1 \\ \iff x^2=-{\displaystyle \frac{1}{0,4}}\iff x^2=-2,5 \end{gathered}$$(vô lý vì $x^2\ge 0$ với mọi $x$)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Ta có: 

$2x^2+\sqrt{2}x=0\iff x(2x+\sqrt{2})=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ 2x+\sqrt{2}=0\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ 2x=-\sqrt{2}\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\hfill \end{array}$

Phương trình có hai nghiệm là: $x=0;x={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}.$

e) Ta có:

$-0,4x^2+1,2x=0\iff -4x^2+12x=0$

$\iff -4x(x-3)=0$

$\iff [\begin{array}{c}-4x=0\hfill \\ x-3=0\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ x=3\hfill \end{array}$

Vậy phương trình có hai  nghiệm là: $x=0,x=3$ 

a) $x^2+8x=-2$;                         b)$x^2+2x={\displaystyle \frac{1}{3}}.$

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức số $1$ là: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2+8x=-2\iff x^2+2.x.4=-2$  (1)

Cộng cả hai vế của phương trình (1) với $4^2$ để vế trái trở thành hằng đẳng thức số $1$, ta được:

$x^2+2.x.4+4^2=-2+4^2$

$\iff (x+4{)}^2=14$

b) Ta có:

$x^2+2x={\displaystyle \frac{1}{3}}\iff x^2+2.x.1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (2)

Cộng cả hai vế của phương trình (2) với $1^2$ để vế trái trở thành hằng đẳng thức số $1$, ta được:

$x^2+2.x.1+1^2={\displaystyle \frac{1}{3}}+1^2$

$\iff x^2+2.x.1+1^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\iff (x+1{)}^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$.   

$2x^2+5x+2=0$

Theo các bước như ví dụ $3$ trong bài học.

Phương pháp giải:

Giải phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ $(a\ne 0$):

+) Chuyển hệ số tự do $c$ sang vế phải.

+) Chia cả hai vế cho hệ số $a$.

+) Tách số hạng $bx$ và cộng vào hai vế cùng một số để vế trái thành một bình phương.

+) Áp dụng hằng đẳng thức số $(1)$: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

+) Áp dụng: $x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}$.

Lời giải:

Ta có:

$2x^2+5x+2=0$

$\iff 2x^2+5x=-2$   (chuyển $2$ sang vế phải)

$\iff x^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x=-1$   (chia cả hai vế cho $2$)

$\iff x^2+2.x.{\displaystyle \frac{5}{4}}=-1$   (tách  ${\displaystyle \frac{5}{2}}x=2.x.{\displaystyle \frac{5}{4}}$)

$\iff x^2+2.x.{\displaystyle \frac{5}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2=-1+{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2$  (cộng cả hai vế với ${\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2$)

$\iff {\left(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2=-1+{\displaystyle \frac{25}{16}}$

$\iff {\left(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$

$\iff [\begin{array}{c}x+{\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\hfill \\ x+{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ x=-2\hfill \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $x=-2$.