Hình 6

- Đồ thị nằm ở phía trên hay phía dưới trục hoành ?

- Vị trí của cặp điểm $A,A^{\prime }$ đối với trục $Oy$ ? Tương tự đối với các điểm $B,B^{\prime }$ và $C,C^{\prime }$?

- Điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị ?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 6 để trả lời câu hỏi.

Lời giải:

- Đồ thị nằm ở phía trên trục hoành

- Các cặp điểm $A$ và $A^{\prime };B$ và $B^{\prime };C$ và $C^{\prime }$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$

- Điểm $O(0;0)$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 7 (SGK trang 34) để trả lời câu hỏi

Lời giải:

- Đồ thị nằm ở phía dưới trục hoành

- Các cặp điểm $P$ và $P^{\prime };M$ và $M^{\prime };N$ và $N^{\prime }$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$

- Điểm $O(0;0)$ là điểm cao nhất của đồ thị.

a) Trên đồ thị của hàm số này, xác định điểm D có hoành độ bằng $3.$ Tìm tung độ của điểm D bằng hai cách: bằng đồ thị; bằng cách tính $y$ với $x=3$. So sánh hai kết quả.

b) Trên đồ thị làm số này, xác định điểm có tung độ bằng $-5.$ Có mấy điểm như thế ? Không làm tính, hãy ước lượng giá trị hoành độ của mỗi điểm.

Phương pháp giải:

a) Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$. Trên đồ thị đã vẽ, từ điểm có hoành độ $3$ trên trục $Ox$ ta kẻ đường vuông góc với $Ox$ cắt đồ thị hàm số tại điểm $D,$ từ  điểm $D$ đó ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục $Oy$ cắt $Oy$ tại đâu thì đó là tung độ của điểm $D.$ 

Cách 2: Thay $x=3$ vào hàm số $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ ta tìm được $y$ từ đó suy ra tung độ điểm $D$

b) Trên đồ thị đã vẽ, từ điểm có tung độ là $-5$ trên trục $Oy$ ta kẻ đường vuông góc với $Oy$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm,  từ  điểm mỗi điểm đó ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $Ox$ tại đâu thì đó là hoành độ độ cần tìm.

Lời giải:

a) Từ đồ thị, ta xác định được tung độ của điểm D là ${\displaystyle \frac{-9}{2}}$

Với $x=3$ ta có: $y={\displaystyle \frac{-1}{2}{x}^2=\frac{{\displaystyle -1}}{2}{.3}^2=\frac{-9}{2}}$ 

Hai kết quả bằng nhau. 

b) Có 2 điểm có tung độ bằng $-5$ là điểm $M$ và điểm $N$ (hình vẽ).

Giá trị của hoành độ điểm $M$ là $x_M\approx 3,2$ và hoành độ điểm $N$ là $x_N\approx -3,2$

Bài tập trang 36-39 SGK Toán 9

Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục $Ox$.

Phương pháp giải:

+) Tính giá trị của $f(x_0)$ ta thay $x=x_0$ vào hàm số $y=f(x)$.

+) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2$.

Bước 1: Xác định các điểm $(1;a)$ và $(2;4a)$ và các điểm đối xứng của chúng qua $Oy$.  

Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc $O(0;0)$ và các điểm trên.

Lời giải:

Thực hiện phép tính sau:

+) Đối với hàm số $y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$:

$x=-2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}.(-2{)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}.4=6$.

$x=-1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}.(-1{)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}.1={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}.0=0$.

$x=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}{.1}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$x=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}{.2}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}.4=6$

+) Đối với hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$:

$x=-2\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.(-2{)}^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.4=-6$.

$x=-1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.(-1{)}^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$x=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.0=0$.

$x=1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{.1}^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$x=2\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{.2}^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.4=-6$

Ta được bảng sau:

Vẽ đồ thị:

+) Vẽ đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$

Quan sát bảng trên ta thấy đồ thị đi qua các điểm: 

$A(-2;6);B\left(-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right);O(0;0);C\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right);D(2;6)$

+) Vẽ đồ thị hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$

Quan sát bảng trên ta thấy đồ thị đi qua các điểm: 

$A^{\prime }(-2;-6);B^{\prime }\left(-1;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right);O(0;0);$

$C^{\prime }\left(1;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right);D^{\prime }(2;-6)$

Nhận xét: Đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục $Ox$.

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2;y=x^2;y=2x^2$.

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm ba điểm $A,B,C$ có cùng hoành độ $x=-1,5$ theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.

c) Tìm ba điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ có cùng hoành độ $x=1,5$ theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của $A$ và $A^{\prime }$, $B$ và $B^{\prime }$, $C$ và $C^{\prime }$.

d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của $x$ để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

+)  Cách vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2$.

Bước 1: Xác định các điểm $(1;a)$ và $(2;4a)$ và các điểm đối xứng của chúng qua $Oy$.  

Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc $O(0;0)$ và các điểm trên.

+) Thay hoành độ $x=x_0$ vào hàm số $y=a{x}^2$ ta tìm được tung độ $y$ tương ứng.

+) Áp dụng tính chất: Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Lời giải:

a) +) Vẽ đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$

Cho $x=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Đồ thị đi qua $\left(1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

Cho $x=-1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Đồ thị đi qua $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

Cho $x=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}.2^2=2$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;2)$.

Cho $x=-2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}.(-2{)}^2=2$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;2)$.

Đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.

+) Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2$.

Cho $x=1\Rightarrow y=1$. Đồ thị đi qua $(1;1)$.

Cho $x=-1\Rightarrow y=(-1{)}^2$. Đồ thị đi qua $(-1;1)$.

Cho $x=2\Rightarrow y=2^2=4$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;4)$.

Cho $x=-2\Rightarrow y=(-2{)}^2=4$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;4)$.

Đồ thị hàm số $y=x^2$ là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.

+) Vẽ đồ thị hàm số $y=2x^2$.

Cho $x=1\Rightarrow y={2.1}^2=2$. Đồ thị đi qua $(1;2)$.

Cho $x=-1\Rightarrow y=2.(-1{)}^2$. Đồ thị đi qua $(-1;2)$.

Cho $x=2\Rightarrow y={2.2}^2=8$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;8)$.

Cho $x=-2\Rightarrow y=2.(-2{)}^2=8$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;8)$.

Đồ thị hàm số $y=2x^2$ là parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm trên.

b) 

Xác định điểm P trên trục Ox có hoành độ $x=-1,5$. Qua P kẻ đường thẳng song song với trục Oy, nó cắt các đồ thị $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2;y=x^2;y=2x^2$ lần lượt tại $A;B;C$

Gọi $y_A,y_B,y_C$ lần lượt là tung độ các điểm $A,B,C$. Ta có:

$\begin{array}{rl}& y_A=\frac{1}{2}(-1,5{)}^2=\frac{1}{2}.2,25=1,125\\ & y_B=(-1,5{)}^2=2,25\\ & y_C=2(-1.5{)}^2=2.2,25=4,5\end{array}$

c) Xác định điểm $P^{\prime }$  trên trục Ox có hoành độ $x=1,5$. Qua $P^{\prime }$  kẻ đường thẳng song song với trục Oy, nó cắt các đồ thị $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2;y=x^2;y=2x^2$ lần lượt tại $A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime }$

Gọi $y_{A^{\prime }},y_{B^{\prime }},y_{C^{\prime }}$  lần lượt là tung độ các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ . Ta có:

$\begin{array}{rl}& y_{A^{\prime }}=\frac{1}{2}(1,5{)}^2=\frac{1}{2}.2,25=1,125\\ & y_{B^{\prime }}=(1,5{)}^2=2,25\\ & y_{C^{\prime }}=2(1.5{)}^2=2.2,25=4,5\end{array}$

Kiểm tra tính đối xứng: $A$ và $A^{\prime }$, $B$ và $B^{\prime }$, $C$ và $C^{\prime }$ đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.

d) Với mỗi hàm số đã cho ta đều có hệ số $a>0$ nên O là điểm thấp nhất của đồ thị.

Vậy với  $x=0$ thì các hàm số trên đều có giá trị nhỏ nhất $y=0.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

b) Tính các giá trị $f(-8);f(-1,3);f(-0,75);f(1,5)$.

c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị $(0,5{)}^2;(-1,5{)}^2;(2,5{)}^2$.

d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số $\sqrt{3};\sqrt{7}$.

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2$.

 +) Xác định các điểm $(1;a)$ và $(2;4a)$ và các điểm đối xứng của chúng qua $Oy$.  

 +) Vẽ parabol đi qua gốc $O(0;0)$ và các điểm trên.

b) Để tính $f(x_0)$ ta thay $x=x_0$ vào công thức hàm số $y=f(x)$.

c) Muốn tìm các giá trị $x^2$, ta tìm vị trí các điểm $A$ nằm trên đồ thị có hoành độ là $x$. Khi đó tung độ của $A$ là $x^2$.

d) Muốn tìm vị trí điểm trên trục hoành biểu diễn số $\sqrt{a}$, ta tìm điểm $B$ thuộc đồ thị có tung độ là $a$. Khi đó, hoành độ của $B$ là vị trí biểu diễn của $\sqrt{a}$.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x². 

b) Ta có $y=f(x)=x^2$ nên

$f(-8)=(-8{)}^2=64.$

$f(-1,3)=(-1,3{)}^2=1,69$.

$f(-0,75)=(-0,75{)}^2=0,5625$.

$f(1,5)=1,5^2=2,25$.

c) Theo đồ thị ta có:

+) Để ước lượng giá trị $(0,5{)}^2$ ta tìm điểm $A$ thuộc đồ thị và có hoành độ là $0,5$. Khi đó tung độ điểm $A$ chính là giá trị của $(0,5{)}^2$.

+) Để ước lượng giá trị $(-1,5{)}^2$ ta tìm điểm $B$ thuộc đồ thị và có hoành độ là $-1,5$. Khi đó tung độ điểm $B$ chính là giá trị của $(-1,5{)}^2$.

+) Để ước lượng giá trị $(2,5{)}^2$ ta tìm điểm $C$ thuộc đồ thị và có hoành độ là $2,5$. Khi đó tung độ điểm $C$ chính là giá trị của $(2,5{)}^2$.

d) Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{3}$ trên trục hoành ta tìm điểm $D$ thuộc đồ thị và có tung độ là $(\sqrt{3}{)}^2=3$. Khi đó hoành độ điểm $D$ chính là vị trí biểu diễn của $\sqrt{3}$.

Để ước lượng vị trí điểm biểu diễn $\sqrt{7}$ trên trục hoành ta tìm điểm $E$ thuộc đồ thị và có tung độ là $(\sqrt{7}{)}^2=7$. Khi đó hoành độ điểm $E$ chính là vị trí biểu diễn của $\sqrt{7}$.

              Hình 10

a) Tìm hệ số $a$

b) Điểm $A(4;4)$ có thuộc đồ thị không ?

c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm O) để vẽ đồ thị.

Phương pháp giải:

a) Điểm $A(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số. Thay $x=x_0,y=y_0$ vào công thức hàm số $y=a{x}^2$ ta tìm được $a$.

b) Thay tọa độ điểm $B(x_B;y_B)$ vào công thức hàm số $y=a{x}^2$. Nếu ta được một đẳng thức đúng thì $B$ thuộc đồ thị hàm số $y=a{x}^2$.

c) Điểm $A(x_0;y_0)$ có điểm đối xứng qua trục $Oy$ là: $A^{\prime }(-x_0;y_0)$. 

Lời giải:

a) Vì $M(2;1)$ thuộc hàm số $y=a{x}^2$, thay $x=2,y=1$ vào công thức hàm số, ta có:

$1=a{.2}^2\iff 1=a.4\iff a={\displaystyle \frac{1}{4}}$ 

Khi đó , hàm số đã cho có dạng là: $y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$  (1).

b) Thay $x=4,y=4$ vào công thức hàm số (1), ta được:

$4={\displaystyle \frac{1}{4}}{.4}^2$ $\iff 4=4$ (luôn đúng) 

Vậy điểm $A(4;4)$ thuộc đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$.

c)  Ta có điểm $A^{\prime }(-4;4)$ đối xứng với điểm $A(4;4)$ qua trục tung

Điểm $M^{\prime }(-2;1)$ đối xứng với điểm $M(2;1)$ qua trục tung 

Vì đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ là đường cong đi qua gốc tọa độ, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên $A^{\prime },M^{\prime }$ cũng thuộc đồ thị. 

Vẽ đồ thị: 

a) Tìm hệ số $a$.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x=-3$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y=8$.

                    Hình 11

Phương pháp giải:

a) Tìm tọa độ của một điểm bất kỳ thuộc hàm số $y=a{x}^2$. Thay tọa độ điểm đó vào công thức hàm số, ta tìm được $a$.

b) Thay $x=x_0$ vào công thức hàm số $y=a{x}^2$ ta tìm được $y$.

c) Thay $y=y_0$ vào công thức hàm số $y=a{x}^2$. Giải phương trình này ta tìm được $x$.

Lời giải:

a) Theo hình vẽ, ta lấy điểm $A(-2;2)$ thuộc đồ thị. Thay $x=-2,y=2$ vào công thức hàm số $y=a{x}^2$, ta được:

 $2=a.(-2{)}^2\iff a={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Vậy hàm số có dạng: $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$.

b) Thay $x=-3$ vào công thức hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$, ta được:

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}.(-3{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}.9={\displaystyle \frac{9}{2}}.$

Vậy tung độ cần tìm là ${\displaystyle \frac{9}{2}}$.

c) Thay $y=8$ vào công thức đồ thị hàm số, ta được:

$8={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\iff x^2=16\iff x=\pm 4$

Ta được hai điểm và tọa độ của hai điểm đó là $M(4;8)$ và $M^{\prime }(-4;8)$.

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2$:

Bước 1: Xác định 2 điểm thuộc đồ thị và các điểm đối xứng của chúng qua $Oy$.  

Bước 2: Vẽ parabol đi qua gốc $O(0;0)$ và các điểm trên.

+) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b$:

Cho $x=0\Rightarrow y=b$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0;b)$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-b}{a}}$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left({\displaystyle \frac{-b}{a}};0\right)$

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }{x}^2$. Ta xét phương trình hoành độ giao điểm: $ax+b=a^{\prime }{x}^2$. Giải phương trình này tìm được hoành độ giao điểm. Thay giá trị đó vào công thức hàm số tìm được tung độ giao điểm.

Lời giải:

a) *Vẽ đồ thị: $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$.

Bảng giá trị:

Vẽ parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm có tọa độ $\left(-6;12\right),\left(-3;3\right),\left(3;3\right),\left(6;12\right)$ ta được đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$.

*Vẽ đồ thị: $y=-x+6$

- Cho $x=0\Rightarrow y=0+6=6$. Đồ thị đi qua $B(0;6)$.

- Cho $y=0\Rightarrow 0=-x+6\Rightarrow x=6$. Đồ thị hàm số đi qua $A(6;0)$.

Đồ thị hàm số $y=-x+6$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

Vẽ đồ thị: xem hình bên dưới.

b)  Xét phương trình hoành độ giao điểm:

${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2=-x+6$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+x-6=0$

$\iff x^2+3x-18=0$

$\begin{array}{l}\iff x^2-3x+6x-18=0\\ \iff x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)=0\\ \iff \left(x+6\right)\left(x-3\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x+6=0\\ x-3=0\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=-6\hfill \\ x=3\hfill \end{array}$

Với $x=3\Rightarrow y=-3+6=3$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $N(3;3)$.

Với $x=-6\Rightarrow y=-(-6)+6=12$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $M(-6;12)$.

Vậy giao điểm của hai đồ thị là  $N(3;3)$ và $M(-6;12)$.

Phương pháp giải:

+) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2$:

 1) Xác định 2 điểm thuộc đồ thị hàm số và các điểm đối xứng của chúng qua $Oy$.  

 2) Vẽ parabol đi qua gốc $O(0;0)$ và các điểm trên.

+) Điểm thấp nhất trên đồ thị là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điểm cao nhất trên đồ thị là giá trị cao nhất của hàm số.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị hàm số $y=-0,75x^2$ 

Vẽ parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm có tọa độ $\left(-4;-12\right);\left(-2;-3\right);\left(2;-3\right);\left(4;-12\right)$ ta được đồ thị hàm số $y=-0,75x^2$

Vẽ đồ thị: $y=-0,75x^2$

Đồ thị hàm số $y=-0,75x^2$ với $x$ từ $-2$ đến $4$ là đường cong nét liền trên hình vẽ. 

Ta thấy: Điểm thấp nhất của phần đồ thị nét liền trên hình là điểm $M(4;-12)$ và điểm cao nhất là gốc tọa độ $O(0;0)$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $0$. Giá trị thấp nhất của hàm số là $-12$. 

1. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2$ ($a\ne 0$) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.

- Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Cách vẽ đồ thị

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ $5$ đến $7$ giá trị) tương ứng giữa $x$ và $y.$

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.