a) Nếu $\mathrm{\Delta }$ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra $x+{\displaystyle \frac{b}{2a}=\pm ...}$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x₁ = …, x₂ = …

b) Nếu $\mathrm{\Delta }$ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2=...$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x = …

Phương pháp giải:

Ta sử dụng 

${\left(f\left(x\right)\right)}^2=a\left(a\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{a}\\ f\left(x\right)=-\sqrt{a}\end{array}$  

Lời giải:

a) Nếu $\mathrm{\Delta }$ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra $x+{\displaystyle \frac{b}{2a}={\displaystyle \pm \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}}$

Do đó,phương trình (1) có hai nghiệm $x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

b) Nếu $\mathrm{\Delta }$ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2=0$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép $x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 44 Toán 9 Tập 2: Hãy giải thích vì sao khi $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Sử dụng $x^2=a$ mà $a<0$ thì phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Xét phương trình $\left(2\right)$

${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$  (Trang 44 SGK)

Hay ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}$ (vì $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$)

Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}<0$ mà ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên phương trình ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}$vô nghiệm

Suy ra phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ đã cho vô nghiệm.

a) $5x^2–x+2=0$

b) $4x^2-4x+1=0$

c) $-3x^2+x+5=0$

Phương pháp giải:

Đối với phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}$  và $x_2$= ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) Xét phương trình $5x^2–x+2=0$ có $a=5;b=-1;c=2$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.5.2}=1-40=-39<0$

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

b) Xét phương trình $4x^2-4x+1=0$ có $a=4;b=-4;c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.4.1}=16-16=0$

$\Rightarrow$  phương trình có nghiệm kép

${\displaystyle x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-4\right)}{2.4}=\frac{1}{2}}$

Vậy phương trình có nghiệm ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$

c) Xét phương trình $-3x^2+x+5=0$ có  $a=-3;b=1;c=5$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=1^2-4.\left(-3\right).5=1+60=61>0$

Do đó $\mathrm{\Delta }$  > 0 nên áp dụng công thức nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

${\displaystyle x_1=\frac{1-\sqrt{61}}{6};x_2=\frac{1+\sqrt{61}}{6}}$

Bài tập trang 45 SGK Toán 9

c) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+7x+{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$

d) $1,7x^2-1,2x-2,1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$  ( với $a\ne 0$) và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt,

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép.

Lời giải:

a) $7x^2-2x+3=0$ 

Ta có: $a=7,b=-2,c=3$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-\mathrm{4.7.3}=-80<0$.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $5x^2+2\sqrt{10}x+2=0$

Ta có: $a=5,b=2\sqrt{10},c=2$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(2\sqrt{10}{)}^2-\mathrm{4.5.2}=0$.

Do đó phương trình có nghiệm kép.

c) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+7x+{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$

Ta có: $a={\displaystyle \frac{1}{2}},b=7,c={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=7^2-4.{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{143}{3}}>0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) $1,7x^2-1,2x-2,1=0$

Ta có: $a=1,7;b=-1,2;c=-2,1$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

$=(-1,2{)}^2-4.1,7.(-2,1)=15,72>0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a) $2x^2-7x+3=0$

b) $6x^2+x+5=0$

c) $6x^2+x-5=0$

d) $3x^2+5x+2=0$

e) $y^2-8y+16=0$

f) $16z^2+24z+9=0$

Phương pháp giải:

Xét phương trình: $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) và biệt thức: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac.$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}};x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có hai nghiệm kép: $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

Lời giải:

a) $2x^2-7x+3=0$

Ta có:  $a=2,b=-7,c=3.$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-\mathrm{4.2.3}=25>0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2.2}}={\displaystyle \frac{7-5}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2.2}}={\displaystyle \frac{7+5}{4}}=3$

b) $6x^2+x+5=0$

Ta có: $a=6,b=1,c=5$

Suy ra  $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(1{)}^2-\mathrm{4.6.5}=-119<0$.

Do đó phương trình vô nghiệm

c) $6x^2+x-5=0$

Ta có: $a=6,b=1,c=-5$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.6.}(-5)=121>0$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{121}}{2.6}}={\displaystyle \frac{-1+11}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{121}}{2.6}}={\displaystyle \frac{-1-11}{12}}=-1$.

d) $3x^2+5x+2=0$

Ta có: $a=3,b=5,c=2$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=5^2-\mathrm{4.3.2}=1>0$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{1}}{2.3}}={\displaystyle \frac{-4}{6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$x_2={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{1}}{2.3}}={\displaystyle \frac{-6}{6}}=-1$.

e) $y^2-8y+16=0$

Ta có: $a=1,b=-8,c=16$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-8{)}^2-\mathrm{4.1.16}=0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

$y_1=y_2={\displaystyle \frac{-(-8)}{2.1}}=4$

f) $16z^2+24z+9=0$

Ta có: $a=16,b=24,c=9$

Suy ra $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(24{)}^2-\mathrm{4.16.9}=0$

Do đó phương trình có hai nghiệm kép:

$z_1=z_2=-{\displaystyle \frac{24}{2.16}}={\displaystyle \frac{-3}{4}}$.

Lý thuyết Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1.Công thức nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng  1: Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn không dùng công thức nghiệm

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các cách sau:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng vế trái là một bình phương, vế còn lại là một số hoặc một bình phương.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Dạng 3: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

-  Nếu  $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$

- Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}};x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

1. PT có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

2. PT có hai nghiệm phân biệt $\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0\end{array}$

3. PT vô nghiệm $\iff a\ne 0;\mathrm{\Delta }<0$.