Với giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức trang 21 chi tiết trong Bài 2: Công thức lượng giác giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài tập

Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Lời giải:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = $\frac{\tan 45°-\tan 30°}{1+\tan 45°.\tan 30°}$ = $\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1.\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$.

+) cot 15° = $\frac{1}{\tan 15°}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$.

Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)$, biết $\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) $\tan \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$, biết $\cos a=-\frac{1}{3}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos² a = 1 suy ra

cos a = $-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ta có: $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{\pi }{6}-\sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$=\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{6}-1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$.

b) Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}>0$.

Mặt khác từ $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$

Suy ra $\tan a=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}a}-1}=\sqrt{\frac{1}{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}-1}=2\sqrt{2}$.

Ta có: $\tan \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$$=\frac{\tan a-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan a\tan \frac{\pi }{4}}$$=\frac{2\sqrt{2}-1}{1+2\sqrt{2}.1}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$.

Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) $\sin a=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos² a = 1 suy ra

cos a = $-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2.\frac{1}{3}.\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

$\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}$.

$\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$.  

b) Ta có: (sin a + cos a)² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$\iff {\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a=\frac{1}{4}$

$\iff 1+\sin 2a=\frac{1}{4}\iff \sin 2a=-\frac{3}{4}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$ nên $\pi <2a<\frac{3\pi }{2}$, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin² (2a) + cos² (2a) = 1

Suy ra $\cos 2a=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(2a\right)}=-\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó, $\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{10}+\sin \frac{\pi }{10}\cos \frac{\pi }{15}}{\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}\sin \frac{\pi }{5}}$;

b) $B=\sin \frac{\pi }{32}\cos \frac{\pi }{32}\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$A=\frac{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{10}+\sin \frac{\pi }{10}\cos \frac{\pi }{15}}{\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}\sin \frac{\pi }{5}}$$=\frac{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{10}+\cos \frac{\pi }{15}\sin \frac{\pi }{10}}{\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}\sin \frac{\pi }{5}}$

$=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{15}+\frac{\pi }{10}\right)}{\cos \left(\frac{2\pi }{15}+\frac{\pi }{5}\right)}$$=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$.

b) Ta có:

$B=\sin \frac{\pi }{32}\cos \frac{\pi }{32}\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$$=\left(\frac{1}{2}.2\sin \frac{\pi }{32}\cos \frac{\pi }{32}\right)\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{2}\sin \left(2.\frac{\pi }{32}\right)\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$$=\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{4}.2\sin \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{16}\cos \frac{\pi }{8}$$=\frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}.2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{8}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{16}$.

Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = $\frac{1}{2}$[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$[(2cos² b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos² b – cos² a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos² b – cos² a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin² b) – (1 – 2sin² a) = 2(sin² a – sin² b)

Do đó, $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$. 2(sin² a – sin² b) = sin² a – sin² b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a (đpcm).

Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75°$; $\widehat{C}=45°$ và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

$S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$.

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Từ đó suy ra $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$.

Diện tích tam giác ABC là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$$=\frac{1}{2}a.\frac{a\sin B}{\sin A}.\sin C=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$.

Vậy $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$ (đpcm).

b) Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(75°+45°\right)=60°$.

Ta có: $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}=\frac{{12}^2\sin 75°\sin 45°}{2\sin 60°}$

$=\frac{144.\frac{1}{2}\left[\cos \left(75°-45°\right)-\cos \left(75°+45°\right)\right]}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{72\left(\cos 30°-\cos 120°\right)}{\sqrt{3}}$$=\frac{72\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}{\sqrt{3}}=36+12\sqrt{3}$.

Vậy diện tích của tam giác ABC là $S=36+12\sqrt{3}$ (đvdt).

Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_1\left(t\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)$  (cm),

$x_2\left(t\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$  (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t)

Suy ra x(t) = $2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).

Ta có: $2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$

$=2\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)\right]$

$=2.2\cos \frac{\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)}{2}\cos \frac{\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)-\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)}{2}$

$=4\cos \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{\pi }{12}\right)\cos \frac{\pi }{4}$$=4\cos \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{\pi }{12}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{\pi }{12}\right)$.

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là $x\left(t\right)=2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{\pi }{12}\right)$ với biên độ $A=2\sqrt{2}$ và pha ban đầu là $\phi =-\frac{\pi }{12}$.