$\left(II\right)\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{3}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{y}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{24}}\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x}};v={\displaystyle \frac{1}{y}}$ rồi đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn $u;v$. 

Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số ta tìm được $u;v$.

Lời giải:

Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x}};v={\displaystyle \frac{1}{y}}$, hệ (II) trở thành:

$\begin{array}{rl}& \left(II\right)\{\begin{array}{c}u={\displaystyle \frac{3}{2}}.v\hfill \\ u+v={\displaystyle \frac{1}{24}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}u={\displaystyle \frac{3}{2}}v\hfill \\ {\displaystyle \frac{3}{2}}v+v={\displaystyle \frac{1}{24}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}u={\displaystyle \frac{3}{2}}v\hfill \\ {\displaystyle \frac{5}{2}}v={\displaystyle \frac{1}{24}}\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}u={\displaystyle \frac{3}{2}}v\hfill \\ v={\displaystyle \frac{1}{60}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}u={\displaystyle \frac{1}{40}}\hfill \\ v={\displaystyle \frac{1}{60}}\hfill \end{array}\end{array}$ 

Khi đó ta có: 

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{40}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{60}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=40\\ y=60\end{array}$ 

Vậy số ngày để đội A làm 1 mình xong đoạn đường đó là 40 ngày

Số ngày để đội B làm 1 mình xong đoạn đường đó là 60 ngày 

Phương pháp giải:

Ta gọi ẩn là số phần công việc làm được trong 1 ngày của đội A và đội B (tức gọi năng suất)

Từ đó lập hệ và giải hệ tìm được.

Lời giải:

Gọi x là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội A 

y là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội B (x;y>0)

Một ngày cả hai đội làm được ${\displaystyle \frac{1}{24}}$ công việc nên ta có phương trình:

$x+y={\displaystyle \frac{1}{24}}$

Mỗi ngày phần việc của đội A gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình

$x=1,5y$

Do đó, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+y={\displaystyle \frac{1}{24}}\\ x=1,5y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1,5y\\ 1,5y+y={\displaystyle \frac{1}{24}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=1,5y\\ 2,5y={\displaystyle \frac{1}{24}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{60}}\\ x=1,5.{\displaystyle \frac{1}{60}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{60}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{40}}\end{array}\left(tmđk\right)\end{array}$

Trong 1 ngày, đội A làm được ${\displaystyle \frac{1}{40}}$ công việc nên đội A làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 40 ngày

Trong 1 ngày, đội B làm được ${\displaystyle \frac{1}{60}}$ công việc nên đội B làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 60 ngày

Nhận xét: 

Ở cách giải này thì chúng ta không cần đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình

Lời giải:

Gọi $x$ (cm), $y$ (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện $x>2,y>4$.

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}xy$ $(c{m}^2)$.

Độ dài hai cạnh sau khi tăng mỗi cạnh thêm $3$ cm là:  $(x+3)$ (cm) và $(y+3)$ (cm).

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3)(y+3)$ $(c{m}^2)$

Vì diện tích lúc này tăng thêm $36$ cm² so với ban đầu, nên ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3)(y+3)={\displaystyle \frac{1}{2}}xy+36$ (1) 

+ Nếu một cạnh giảm đi $2$cm, cạnh kia giảm đi $4$ cm thì độ dài 2 cạnh sau khi giảm là: $(x-2)$ (cm) và $(y-4)$ (cm)

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)(y-4)$ $(c{m}^2)$

Lúc này diện tích tam giác giảm $26$ $c{m}^2$ so với ban đầu, nên ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)(y-4)={\displaystyle \frac{1}{2}}xy-26$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3)(y+3)={\displaystyle \frac{1}{2}}xy+36& & \\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)(y-4)={\displaystyle \frac{1}{2}}xy-26& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}(x+3)(y+3)=xy+72& & \\ (x-2)(y-4)=xy-52& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}xy+3x+3y+9=xy+72& & \\ xy-4x-2y+8=xy-52& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}xy+3x+3y-xy=72-9& & \\ xy-4x-2y-xy=-52-8& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3x+3y=63& & \\ -4x-2y=-60& & \end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x+y=21\\ 2x+y=30\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}2x+y-\left(x+y\right)=30-21\\ x+y=21\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=9\\ 9+y=21\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=9\\ y=12\end{array}\left(thỏamãn\right)\end{array}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là $9$ cm, $12$ cm.

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: +) Quy ước chảy đầy bể là $1$.

          +) Một vòi chảy đầy bể trong $x$ giờ thì trong $1$ giờ chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể. 

Lời giải:

Đổi $4{\displaystyle \frac{4}{5}}$ giờ  $={\displaystyle \frac{5.4+4}{5}}$ giờ $={\displaystyle \frac{24}{5}}$ giờ

Gọi $x$ (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể $(x>{\displaystyle \frac{24}{5}})$. 

      $y$ (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể $(y>{\displaystyle \frac{24}{5}})$.

Trong $1$ giờ vòi thứ nhất chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể, vòi thứ hai chảy được ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ bể.

Suy ra trong $1$ giờ, cả hai vòi chảy được: ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$ (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau $4{\displaystyle \frac{4}{5}}$ giờ = ${\displaystyle \frac{24}{5}}$ giờ nên trong $1$ giờ cả hai vòi cùng chảy được ${\displaystyle \frac{5}{24}}$ bể.

Ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{5}{24}}$  (1)

Trong $9$ giờ, vòi thứ nhất chảy được $9.{\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể.

Trong ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ giờ cả hai vòi chảy được ${\displaystyle \frac{6}{5}}.\left({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}\right)$ bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy $9h$ sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ giờ đầy bể nên ta có phương trình:

$9.{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}.\left({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}\right)=1$

$\iff 9.{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}.{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}.{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$ $\iff \left(9+{\displaystyle \frac{6}{5}}\right){\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}.{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$

$\iff {\displaystyle \frac{51}{5}}.{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}.{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$ $\iff 51.{\displaystyle \frac{1}{x}}+6.{\displaystyle \frac{1}{y}}=5$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{5}{24}}& & \\ 51.{\displaystyle \frac{1}{x}}+6.{\displaystyle \frac{1}{y}}=5& & \end{array}$

Đặt  $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}=a& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}=b& & \end{array}$  với $a>0,b>0.$

Hệ đã cho trở thành:

$\{\begin{array}{ccc}a+b={\displaystyle \frac{5}{24}}& & \\ 51a+6b=5& & \end{array}$ 

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}6a+6b={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ 51a+6b=5\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}51a+6b-\left(6a+6b\right)=5-{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ 6a+6b={\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}45a={\displaystyle \frac{15}{4}}\\ a+b={\displaystyle \frac{5}{24}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ {\displaystyle \frac{1}{12}}+b={\displaystyle \frac{5}{24}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ b={\displaystyle \frac{5}{24}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ b={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\left(thỏamãn\right)\end{array}$

Do đó $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{12}}& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{8}}& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}x=12& & \\ y=8& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau $8$ giờ bể sẽ đầy.

Cách khác:

Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể).

Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong $4{\displaystyle \frac{4}{5}}=4,8$ giờ đầy 1 bể nên ta có phương trình: $4,8x+4,8y=1.$

+ Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể)

Sau ${\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$ giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: $1,2(x+y)$ (bể)

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: $9x+1,2(x+y)=1.$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}4,8x+4,8y=1\\ 9x+1,2\left(x+y\right)=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4,8x+4,8y=1\\ 10,2x+1,2y=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4,8x+4,8y=1\\ 40,8x+4,8y=4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4,8x+4,8y=1\\ 40,8x+4,8y-\left(4,8x+4,8y\right)=4-1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4,8x+4,8y=1\\ 36x=3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ 4,8.{\displaystyle \frac{1}{12}}+4,8y=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ y={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\end{array}$

⇒ một giờ vòi hai chảy một mình được ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ bể

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. 

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: +) Quy ước làm xong công việc là $1$.

          +) Một người làm xong trong $x$ giờ thì trong $1$ giờ làm được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ công việc. 

Lời giải:

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: $x$ giờ, người thứ hai hoàn thành công việc một mình là $y$ giờ. Điều kiện $x>16,y>16$. 

Trong $1$ giờ người thứ nhất làm được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ công việc, người thứ hai làm được ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ công việc.

Do đó cả hai người cùng làm chung thì trong 1 giờ làm được: ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$ công việc.

Theo đề bài, hai người làm chung trong $16$ giờ thì xong nên trong $1$ giờ hai người làm được: ${\displaystyle \frac{1}{16}}$ công việc.

Nên ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$  (1).

Trong $3$ giờ, người thứ nhất làm được: $3.{\displaystyle \frac{1}{x}}$ công việc.

Trong $6$ giờ người thứ hai làm được: $6.{\displaystyle \frac{1}{y}}$ công việc.

Theo đề bài, nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được $25$ %$={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ công việc.

Nên ta có phương trình: $3.{\displaystyle \frac{1}{x}}+6.{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$  (2)

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{16}}& & \\ 3.{\displaystyle \frac{1}{x}}+6.{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}& & \end{array}$.

Đặt  $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}=a& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}=b& & \end{array}$  với $a>0,b>0.$

Hệ đã cho trở thành:

$\{\begin{array}{ccc}a+b={\displaystyle \frac{1}{16}}& & \\ 3a+6b={\displaystyle \frac{1}{4}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-b& & \\ 3a+6b={\displaystyle \frac{1}{4}}& & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-b& & \\ 3\left({\displaystyle \frac{1}{16}}-b\right)+6b={\displaystyle \frac{1}{4}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-b& & \\ 3.{\displaystyle \frac{1}{16}}-3b+6b={\displaystyle \frac{1}{4}}& & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-b& & \\ 3b={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{16}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-b& & \\ 3b={\displaystyle \frac{1}{16}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{48}}& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{48}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{24}}& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{48}}& & \end{array}(thỏamãn)$

Do đó $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{24}}& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{48}}& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}x=24& & \\ y=48& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong $24$ giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong $48$ giờ.  

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Lời giải:

Gọi $x$ là số luống rau ban đầu, $y$ là số cây của mỗi luống ban đầu. Điều kiện $x>4,y>3,x,y\in N$.

Do đó số cây toàn vườn là: $xy$ (cây) 

* Nếu tăng $8$ luống thì số luống rau là: $x+8$ (luống)

Vì mỗi luống ít hơn $3$ cây nên số cây ở một luống là: $y-3$ (cây)

Suy ra số cây toàn vườn lúc này là: $(x+8)(y-3)$ (cây)

Theo đề bài, số cây toàn vườn ít đi $54$ cây, ta có phương trình:

$(x+8)(y-3)=xy-54$

$\iff xy+8y-3x-24=xy-54$

$\iff xy+8y-3x-xy=-54+24$

$\iff -3x+8y=-30$

$\iff 3x-8y=30$  (1)

* Nếu giảm đi $4$ luống thì số luống là: $x-4$ (luống)

Vì mỗi luống tăng thêm $2$ cây nên số cây ở một luống là: $y+2$ (cây)

Suy ra số cây toàn vườn lúc này là: $(x-4)(y+2)$ (cây)

Theo đề bài, số cây toàn vườn tăng $32$ cây, nên ta có phương trình:

$(x-4)(y+2)=xy+32$

$\iff xy-4y+2x-8=xy+32$

$\iff xy-4y+2x-xy=8+32$

$\iff 2x-4y=40$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}3x-8y=30& & \\ 2x-4y=40& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}3x-8y=30& & \\ 4x-8y=80& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3x-8y=30& & \\ -x=-50& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}3x-8y=30& & \\ x=50& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}8y=3x-30& & \\ x=50& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}8y=3.50-30& & \\ x=50& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}8y=120& & \\ x=50& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}y=15& & \\ x=50& & \end{array}(thỏamãn)$

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: $50.15=750$ (cây)

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Lời giải:

Gọi $x$ (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên,  $y$ (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm. (Điều kiện $x>0,y>0$ ). 

Số tiền mua $9$ quả thanh yên là: $9x$ (rupi)

Số tiền mua $8$ quả táo rừng thơm là: $8y$ (rupi)

Tổng số tiền là $107$ rupi nên ta có: 

$9x+8y=107$

Số tiền mua $7$ quả thanh yên là $7x$ (rupi)

Số tiền mua $7$ quả táo rừng thơm là: $7y$ (rupi)

Tổng số tiền là $91$ rupi nên ta có:

$7x+7y=91$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}9x+8y=107& & \\ 7x+7y=91& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}63x+56y=749& & \\ 56x+56y=728& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}63x+56y=749& & \\ 7x=21& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}56y=749-63x& & \\ x=3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}56y=749-63.3& & \\ x=3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}56y=560& & \\ x=3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=10& & \\ x=3& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy, giá 1 quả thanh yên là $3$ rupi; giá 1 quả táo rừng thơm là $10$ rupi

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Lời giải:

Theo thứ tự từ trái qua phải, ta gọi số thứ nhất bị mờ là $x$, số thứ hai bị mờ là $y$. Điều kiện $x>0,y>0$.

Số lần bắn là $100$ nên ta có: $25+42+x+15+y=100$

 $\iff x+y=18$   (1)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau $100$ lần bắn là $8,69$ điểm nên ta có:

${\displaystyle \frac{10.25+9.42+8.x+7.15+6.y}{100}}=8,69$ 

$\iff 10.25+9.42+8.x+7.15+6.y=100.8,69$ 

$\iff 8x+6y=136$  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}x+y=18& & \\ 8.x+6.y=136& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}6x+6y=108& & \\ 8x+6y=136& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6x+6y=108& & \\ -2x=-28& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6y=108-6x& & \\ x=14& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6y=108-6.14& & \\ x=14& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6y=24& & \\ x=14& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=4& & \\ x=14& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy theo thứ tự từ trái qua phải, số thứ nhất bị mờ là $14$, số thứ hai bị mờ là $4$. 

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: +) Đường tròn có đường kính $d$ có chu vi là: $C=d.\pi$

          +) $S=v.t$ trong đó: $S$ là quãng đường đi được, $v$ vận tốc, $t$ là thời gian. 

Lời giải:

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là $x$ (cm/s) và $y$ (cm/s) (điều kiện $x>y>0$).

Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau $20$ giây là: $20x$ (cm) 

Quãng đường đi được của vật thứ hai sau $20$ giây là: $20y$ (cm)

Khi chuyển động cùng chiều, cứ $20$ giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là sau 20 giây, vật thứ nhất (tức vật đi nhanh hơn) đi được nhiều hơn vật thứ hai đúng một vòng tròn.

Độ dài (chu vi) đường tròn đường kính $20$ cm là: $20\pi$ (cm).  

Ta có phương trình: $20x-20y=20\pi$   (1)

Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau $4$ giây là: $4x$ (cm)

Quãng đường đi được của vật thứ hai sau $4$ giây là: $4y$ (cm)

Khi chuyển động ngược chiều cứ $4$ giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong $4$ giây của hai vật là đúng $1$ vòng.

Ta có phương trình: $4x+4y=20\pi$.   (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}20x-20y=20\pi & & \\ 4x+4y=20\pi & & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}x-y=1\pi & & \\ x+y=5\pi & & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}x-y=1\pi & & \\ 2x=6\pi & & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}y=x-1\pi & & \\ x=3\pi & & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}y=3\pi -1\pi & & \\ x=3\pi & & \end{array}$

$\{\begin{array}{ccc}y=2\pi & & \\ x=3\pi & & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy vận tốc của hai vật là $3\pi$ cm/s, $2\pi$ cm/s.

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Lời giải:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: $x$ phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: $y$ phút. (Điều kiện $x>80,y>80$ ). 

Trong $1$ phút vòi thứ nhất chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể, vòi thứ hai chảy được ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ bể.

Nên trong $1$ phút cả hai vòi chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$ (bể).

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau $1$ giờ $20$ phút = $80$ phút thì đầy bể nên trong $1$ phút cả hai vòi chảy được: ${\displaystyle \frac{1}{80}}$  (bể).

Do đó ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{80}}$  (1)

Trong $10$ phút vòi thứ nhất chảy được $10.{\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể, trong $12$ phút vòi thứ hai chảy được $12.{\displaystyle \frac{1}{y}}$ bể thì được ${\displaystyle \frac{2}{15}}$ bể, ta có phương trình:

$10.{\displaystyle \frac{1}{x}}+12.{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{80}}& & \\ 10.{\displaystyle \frac{1}{x}}+12.{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{15}}& & \end{array}$

Đặt $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}=a& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}=b& & \end{array}$ ; ($a,b\ne 0$ )

Hệ đã cho trở thành: 

$\{\begin{array}{ccc}a+b={\displaystyle \frac{1}{80}}& & \\ 10.a+12.b={\displaystyle \frac{2}{15}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}10a+10b={\displaystyle \frac{10}{80}}& & \\ 10a+12b={\displaystyle \frac{2}{15}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}10a+10b={\displaystyle \frac{1}{8}}& & \\ 10a+12b={\displaystyle \frac{2}{15}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}2b={\displaystyle \frac{1}{120}}& & \\ 10a+12b={\displaystyle \frac{2}{15}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}b={\displaystyle \frac{1}{240}}& & \\ 10a={\displaystyle \frac{2}{15}}-12b& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}b={\displaystyle \frac{1}{240}}& & \\ 10a={\displaystyle \frac{2}{15}}-12.{\displaystyle \frac{1}{240}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}b={\displaystyle \frac{1}{240}}& & \\ a={\displaystyle \frac{1}{120}}& & \end{array}(thỏamãn)$

Suy ra  $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{120}}& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{240}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=120& & \\ y=240& & \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong $120$ phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong $240$ phút (4 giờ) thì đầy bể.

Phương pháp giải:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: 

Số tiền phải trả khi đã có thuế=số tiền khi chưa có thuế + số tiền thuế.

Lời giải:

Giả sử không kể thuế VAT người đó phải trả $x$ triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, $y$ triệu đồng cho loại hàng thứ hai. (Điều kiện: $x,y>0$ ) 

*Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ nhất là:

$10$%. $x={\displaystyle \frac{10}{100}}.x={\displaystyle \frac{1}{10}}x$ (triệu đồng)

Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế) là:

$x+{\displaystyle \frac{1}{10}}x={\displaystyle \frac{11}{10}}x$ (triệu đồng)

Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là:

$8$%. $y={\displaystyle \frac{8}{100}}.y={\displaystyle \frac{2}{25}}y$ (triệu đồng)

Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế) là:

$y+{\displaystyle \frac{2}{25}}y={\displaystyle \frac{27}{25}}y$ (triệu đồng)

Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là $2,17$ triệu đồng, nên ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{11}{10}}x$ + ${\displaystyle \frac{27}{25}}y$ $=2,17\iff 1,1x+1,08y=2,17$  (1)

* Số tiền mua cả hai loại hàng khi chưa có thuế là: $x+y$ (triệu đồng)

Số tiền thuế phải trả cho cả hai loại hàng với mức thuế $9$% là:

$9$%. $(x+y)={\displaystyle \frac{9}{100}}.(x+y)$

Tổng số tiền phải trả (kể cả thuế), là:

$(x+y)+{\displaystyle \frac{9}{100}}.(x+y)={\displaystyle \frac{109}{100}}(x+y)$ 

Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là: $2,18$ triệu đồng, nên ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{109}{100}}(x+y)=2,18\iff x+y=2$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{ccc}1,1x+1,08y=2,17& & \\ x+y=2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=2-y& & \\ 1,1(2-y)+1,08y=2,17& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}2,2-1,1y+1,08y=2,17& & \\ x=2-y& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}0,02y=2,2-2,17& & \\ x=2-y& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}0,02y=0,03& & \\ x=2-y& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}y=1,5& & \\ x=2-y(3)& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=1,5& & \\ x=2-1,5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=1,5& & \\ x=0,5& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là $0,5$ triệu đồng khi không có thuế, loại thứ hai là $1,5$ triều đồng khi không có thuế.