Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận

Phương pháp giải:

Chú ý rằng đi nhanh hơn nghĩa là vận tốc xe khách lớn hơn xe tải.

Lời giải:

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là 13 km nghĩa là vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe tải là 13 km/h, nên ta có phương trình: $y-x=13\iff y=13+x$

$\left(I\right)\{\begin{array}{c}-x+2y=1\hfill \\ x-y=3\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lời giải chi tiết

$\left(I\right)\{\begin{array}{c}-x+2y=1\hfill \\ x-y=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=4\hfill \\ x-y=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=4\hfill \\ x=7\hfill \end{array}$

Vậy số cần tìm là $74$

Trả lời câu hỏi 4 trang 21 SGK Toán 9 tập 2: Viết các biểu thức chứa ẩn biểu thị quãng đường mỗi xe đi được, tính đến khi hai xe gặp lại nhau. Từ đó suy ra phương trình biểu thị giả thiết quãng đường từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ dài 189 km.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $S=v.t$ với S là quãng đường, v là vận tốc và t là thời gian. 2 xe đi ngược chiều từ A đến B thì tổng quãng đường đi được cho đến khi gặp nhau là quãng đường AB.

Lời giải:

Quãng đường xe khách đi được đến khi gặp nhau là: ${\displaystyle \frac{9}{5}}y$ (km)

Quãng đường xe tải đi được đến khi gặp nhau là: ${\displaystyle \frac{14}{5}}x$ (km)

Theo giả thiết quãng đường từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ dài 189 km nên tổng quãng đường đi được cho đến khi gặp nhau là 189 km, ta có phương trình

${\displaystyle \frac{14}{5}}x+{\displaystyle \frac{9}{5}}y=189$ 

Giải hệ phương trình thu được bằng phương pháp thế

Lời giải:

Từ ?3 và ?4 (trang 21 SGK toán 9 tập 2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=13+x\\ {\displaystyle \frac{14}{5}}x+{\displaystyle \frac{9}{5}}y=189\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=13+x\\ 2,8x+1,8y=189\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=13+x\\ 2,8x+1,8.\left(13+x\right)=189\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=13+x\\ 2,8x+1,8x+23,4=189\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4,6x=165,6\\ y=13+x\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=36\\ y=49\end{array}\end{array}$

Vậy vận tốc của xe tải là 36 km/h

Vận tốc của xe khách là 49 km/h.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời.

Chú ý: Nếu $a$ chia $b$ được thương là $q$ số dư là $r$ thì ta có biểu diễn: $a=b.q+r$.

Lời giải:

Gọi số lớn là $x$, số nhỏ là $y$. (Điều kiện: $x>y;x,y\in N^{\ast }$ )

Theo giả thiết tổng hai số bằng $1006$ nên: $x+y=1006$.

Vì số lớn chia số nhỏ được thương là $2$, số dư là $124$ nên ta được: $x=2y+124$ (với $y>124)$

Ta có hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{ccc}x+y=1006& & \\ x=2y+124& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}x+y=1006& & \\ x-2y=124& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{l}x+y=1006\\ x+y-\left(x-2y\right)=1006-124\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}x+y=1006& & \\ 3y=882& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=1006-y& & \\ y=294& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=1006-294& & \\ y=294& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=712& & \\ y=294& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là $712$ và $294$. 

   Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

   Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.

   Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?

Phương pháp giải:

Lời giải:

Gọi số cam là $x$, số quýt là $y$. Điều kiện $x,y$ là số nguyên dương.

"Quýt ,cam mười bảy quả tươi" nên tổng số quả cam và quýt là $17$ quả, ta có phương trình: $x+y=17$ (1)

"Chia ba mỗi quả quýt rồi" nghĩa là mỗi quả quýt chia làm ba miếng nên $y$ quả quýt thì có số miếng quýt là: $3y$ (miếng)

"Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh" nghĩa là 1 quả cam chia làm 10 miếng nên $x$ quả cam thì có số miếng cam là: $10x$ (miếng) 

"Trăm người , trăm miếng ngọt lành" nghĩa là sau khi chia cam và quýt thì ta có tất cả $100$ miếng, nên ta có phương trình: $10x+3y=100$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}x+y=17& & \\ 10x+3y=100& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}3x+3y=51& & \\ 10x+3y=100& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}3x+3y-\left(10x+3y\right)=51-100\\ 10x+3y=100\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-7x=-49& & \\ 10x+3y=100& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}x=7& & \\ 3y=100-10x& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=7& & \\ 3y=100-10.7& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}x=7& & \\ y=10& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy có $10$ quả quýt và $7$ quả cam. 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $S=v.t$, trong đó $S$ là quãng đường đi được (km); $v$ là vận tốc (km/h); $t$ là thời gian (h).

Lời giải:

Gọi $x$ (km) là độ dài quãng đường $AB$, $y$ (giờ) là thời gian dự định đi từ $A$ để đến $B$ đúng lúc $12$ giờ trưa. Điều kiện $x>0,y>1$ (do ôtô đến $B$ sớm hơn $1$ giờ).

+) Trường hợp 1:

Xe đi với vận tốc $35$ km  (h)

Xe đến $B$ chậm hơn $2$ giờ nên thời gian đi hết là: $y+2$ (giờ)

Quãng đường đi được là: $35(y+2)$ (km)

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình: $x=35(y+2)$ (1)

+) Trường hợp 2:

Xe đi với vận tốc: $50$ km/h

Vì xe đến $B$ sớm hơn $1$ giờ nên thời gian đi hết là: $y-1$ (giờ)

Quãng đường đi được là: $50(y-1)$ (km)

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình: $x=50(y-1)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}x=35(y+2)& & \\ x=50(y-1)& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=35y+70& & \\ x=50y-50& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x-35y=70(1)& & \\ x-50y=-50(2)& & \end{array}$

Lấy vế trừ vế của (1) cho (2), ta được:

$\{\begin{array}{ccc}15y=120& & \\ x-50y=-50& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}y=8& & \\ x=-50+50y& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=8& & \\ x=-50+50.8& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}y=8& & \\ x=350& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy quãng đường $AB$ là $350$km.

Thời điểm xuất phát của ô tô tại $A$ là: 12 giờ - 8 giờ = 4 giờ

Lý thuyết Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Các kiến thức cần nhớ

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;

-Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.

Bước 3. Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Toán liên quan đến mối quan hệ giữa các số

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức  sau:

+) Biểu diễn số có hai chữ số : $\overline{ab}=10a+b$ trong đó

$a$ là chữ số hàng chục và $0<a\le 9$, $a\in \mathbb{N}$,

$b$ là chữ số hàng đơn vị và $0\le b\le 9,b\in \mathbb{N}$.

+) Biểu diễn số có ba chữ số: $\overline{abc}=100a+10b+c$ trong đó

$a$ là chữ số hàng trăm và $0<a\le 9$, $a\in \mathbb{N}$,

$b$ là chữ số hàng chục và $0\le b\le 9,b\in \mathbb{N}$,

$c$ là chữ số hàng đơn vị và $0\le c\le 9,c\in \mathbb{N}$.

Dạng 2: Toán chuyển động

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các công thức $S=v.t$, $v={\displaystyle \frac{S}{t}},t={\displaystyle \frac{S}{v}}$

Với $S:$ là quãng đường, $v:$ là vận tốc, $t$: thời gian

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Phương pháp:

Một số lưu ý khi giải bài toán làm chung công việc

- Có ba đại lượng tham gia là: Toàn bộ công việc , phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian (năng suất) và thời gian.

- Nếu một đội làm xong công việc trong $x$ ngày thì một ngày đội dó làm được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ công việc.

- Xem toàn bộ công việc là $1$ (công việc).

Dạng 4: Toán phần trăm

Phương pháp:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a\mathrm{\%}$ là $(100+a)\mathrm{\%}.x$ (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a\mathrm{\%}$ là $(100-a)\mathrm{\%}.x$ (sản phẩm).

Dạng 5: Toán có nội dung hình học

Phương pháp:

Một số công thức cần nhớ

Với tam giác:

Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) $:2$

Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

Với tam giác vuông: Diện tích = Tích hai cạnh góc vuông$:2$

Với hình chữ nhật: 

Diện tích = Chiều dài. Chiều rộng

Chu vi=(Chiều dài + chiều rộng) $.2$

Với hình vuông cạnh $a$

Diện tích = $a^2$

Chu vi = Cạnh . $4$