$\{\begin{array}{c}4x-5y=3\hfill \\ 3x-y=16\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Rút $y$ từ phương trình dưới $3x-y=16$ rồi thay vào phương trình còn lại.

Từ đó giải hệ phương trình thu được để tìm $(x;y)$. 

Lời giải:

Ta có 

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}4x-5y=3\\ 3x-y=16\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x-5y=3\\ y=3x-16\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=3x-16\\ 4x-5\left(3x-16\right)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=3x-16\\ 4x-15x+80=3\end{array} \end{gathered}$$

$\iff \{\begin{array}{l}y=3x-16\\ -11x=-77\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=7\\ y=3.7-16\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=7\\ y=5\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(7;5)$

$\left(III\right)\{\begin{array}{c}4x-2y=-6\hfill \\ -2x+y=3\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ hai phương trình hai ẩn 

$\{\begin{array}{l}ax+by=c\left(d\right)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\left(d^{\prime }\right)\end{array}$.

Ta vẽ hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ trên cùng hệ trục tọa độ.

Nếu đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$  trùng nhau thì hệ đã cho có vô số nghiệm

Lời giải:

$\left(III\right)\{\begin{array}{c}4x-2y=-6(d)\hfill \\ -2x+y=3(d^{\prime })\hfill \end{array}$

+) Xét đường thẳng (d):

Cho $x=0$ thì $y=3$ nên (d) đi qua điểm $(0;3)$

Cho $y=0$ thì $x={\displaystyle \frac{-3}{2}}$ nên (d) đi qua điểm $({\displaystyle \frac{-3}{2}};0)$

+) Xét đường thẳng (d'):

Cho $x=0$ thì $y=3$ nên (d') đi qua điểm $(0;3)$

Cho $y=0$ thì $x={\displaystyle \frac{-3}{2}}$ nên (d') đi qua điểm $({\displaystyle \frac{-3}{2}};0)$

Hai đường thẳng trên trùng nhau nên hệ phương trình (III) có vô số nghiệm

$\left(IV\right):\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 8x+2y=1\end{array}$

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm. Phương pháp giải:

Biến đổi để đưa hai phương trình về dạng của hai đường thẳng song song với nhau.

Từ đó vẽ các đường thẳng để chứng tỏ hệ vô nghiệm.

Lời giải:

Bằng hình học:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 8x+2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=-4x+2\\ 2y=-8x+1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=-4x+2\\ y=-4x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$

Vẽ hai đường thẳng $y=-4x+2$ và $y=-4x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ta thấy hai đường thẳng này không có điểm chung nên hệ phương trình vô nghiệm.

Bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 8x+2y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 8x+2\left(2-4x\right)=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 8x+4-8x=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 4=1\left(vôlý\right)\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\{\begin{array}{ccc}7x-3y=5& & \\ 4x+y=2& & \end{array}$

c) $\{\begin{array}{ccc}x+3y=-2& & \\ 5x-4y=11& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Rút $x$ từ phương trình trên $x-y=3$ rồi thế vào phương trình còn lại. Giải hệ phương trình mới thu được ta tìm được nghiệm $\left(x;y\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Rút $x$ từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

$\{\begin{array}{c}x-y=3\hfill \\ 3x-4y=2\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3+y\hfill \\ 3\left(3+y\right)-4y=2\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=3+y\hfill \\ 9+3y-4y=2\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=3+y\hfill \\ -y=2-9\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3+y\hfill \\ y=7\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3+7\hfill \\ y=7\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=10\hfill \\ y=7\hfill \end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $(x;y)=(10;7)$.

b) Rút $y$ từ phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên, ta có:

$\{\begin{array}{l}7x-3y=5\\ 4x+y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}7x-3y=5\\ y=2-4x\end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 7x-3.\left(2-4x\right)=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 7x-6+12x=5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 7x+12x=5+6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ 19x=11\end{array}$ 

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}y=2-4x\\ x={\displaystyle \frac{11}{19}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{11}{19}}\\ y=2-4.{\displaystyle \frac{11}{19}}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{11}{19}}\\ y=-{\displaystyle \frac{6}{19}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{11}{19}};{\displaystyle \frac{-6}{19}}\right)$

c) Rút $x$ từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:

$\{\begin{array}{c}x+3y=-2\hfill \\ 5x-4y=11\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3y\hfill \\ 5\left(-2-3y\right)-4y=11\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3y\hfill \\ -10-15y-4y=11\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3y\hfill \\ -15y-4y=11+10\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3y\hfill \\ -19y=21\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3y\hfill \\ y=-{\displaystyle \frac{21}{19}}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-2-3.{\displaystyle \frac{-21}{19}}\hfill \\ y=-{\displaystyle \frac{21}{19}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{25}{19}}\hfill \\ y=-{\displaystyle \frac{21}{19}}\hfill \end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{25}{19}};{\displaystyle \frac{-21}{19}}\right)$

a) $\{\begin{array}{ccc}3x-2y=11& & \\ 4x-5y=3& & \end{array}$;          b) $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=1& & \\ 5x-8y=3& & \end{array}$

Phương pháp giải:

a) Rút $y$ từ phương trình thứ nhất $3x-2y=11$ rồi thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn $x.$  Giải phương trình này ta tìm được $x,$ từ đó suy ra $y.$

b) Rút $x$ từ phương trình thứ nhất ${\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=1$ rồi thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn $y.$  Giải phương trình này ta tìm được $y,$ từ đó suy ra $x.$

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{c}3x-2y=11\hfill \\ 4x-5y=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2y=3x-11\hfill \\ 4x-5y=3\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{3x-11}{2}}(1)\hfill \\ 4x-5.{\displaystyle \frac{3x-11}{2}}=3(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình $(2)$:

$4x-5.{\displaystyle \frac{3x-11}{2}}=3$

$\iff {\displaystyle \frac{8x}{2}}-{\displaystyle \frac{15x-55}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}$

$\iff {\displaystyle \frac{8x-15x+55}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}$

$\iff 8x-15x+55=6$

$\iff -7x=6-55$

$\iff -7x=-49$

$\iff x=7$

Thay $x=7$ vào phương trình $(1)$, ta được:

$y={\displaystyle \frac{3.7-11}{2}}=5$

Vậy hệ có  nghiệm duy nhất là $(7;5)$.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=1\hfill \\ 5x-8y=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{2}}=1+{\displaystyle \frac{y}{3}}\hfill \\ 5x-8y=3\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=2+{\displaystyle \frac{2y}{3}}(1)\hfill \\ 5\left(2+{\displaystyle \frac{2y}{3}}\right)-8y=3(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$5\left(2+{\displaystyle \frac{2y}{3}}\right)-8y=3$

$\iff 10+{\displaystyle \frac{10y}{3}}-8y=3$

$\iff {\displaystyle \frac{30}{3}}+{\displaystyle \frac{10y}{3}}-{\displaystyle \frac{24y}{3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}$

$\iff 30+10y-24y=9$

$\iff -14y=9-30$

$\iff -14y=-21$

$\iff y={\displaystyle \frac{21}{14}}$ 

$\iff y={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Thay $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$ vào $(1)$, ta được:

$x=2+{\displaystyle \frac{2.{\displaystyle \frac{3}{2}}}{3}}=2+{\displaystyle \frac{3}{3}}=3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  $\left(3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right).$

a) $\{\begin{array}{ccc}x+y\sqrt{5}=0& & \\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}& & \end{array}$

b) $\{\begin{array}{ccc}(2-\sqrt{3})x-3y=2+5\sqrt{3}& & \\ 4x+y=4-2\sqrt{3}& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Rút $x$ từ phương trình thứ nhất $x+y\sqrt{5}=0$ rồi thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn $y.$  Giải phương trình này ta tìm được $y,$ từ đó suy ra $x.$

Lời giải:

Ta có:

$\{\begin{array}{c}x+y\sqrt{5}=0\hfill \\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-y\sqrt{5}\hfill \\ \left(-y\sqrt{5}\right).\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-y\sqrt{5}\hfill \\ -5y+3y=1-\sqrt{5}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-y\sqrt{5}\hfill \\ -2y=1-\sqrt{5}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-y\sqrt{5}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{-2}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-y\sqrt{5}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\hfill \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\sqrt{5}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-5}{2}}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\hfill \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-5}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\right)$

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}\left(2-\sqrt{3}\right)x-3y=2+5\sqrt{3}\hfill \\ 4x+y=4-2\sqrt{3}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}\left(2-\sqrt{3}\right)x-3\left(4-2\sqrt{3}-4x\right)=2+5\sqrt{3}(1)\hfill \\ y=4-2\sqrt{3}-4x(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình $(1)$, ta được:

$(2-\sqrt{3})x-3(4-2\sqrt{3}-4x)=2+5\sqrt{3}$

$\iff 2x-\sqrt{3}x-12+6\sqrt{3}+12x=2+5\sqrt{3}$

$\iff 2x-\sqrt{3}x+12x=2+5\sqrt{3}+12-6\sqrt{3}$

$\iff (2-\sqrt{3}+12)x=2+12+5\sqrt{3}-6\sqrt{3}$

$\iff (14-\sqrt{3})x=14-\sqrt{3}$

$\iff x=1$

Thay $x=1$, vào $(2)$, ta được:

$y=4-2\sqrt{3}-4.1=-2\sqrt{3}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1;-2\sqrt{3}).$

a) $a=-1$

b) $a=0$

c) $a=1$

Phương pháp giải:

+) Thay từng giá trị của $a$ vào hệ phương trình đã cho.

+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải:

a) Thay $a=-1$ vào hệ, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}x+3y=1& & \\ \left((-1{)}^2+1\right)x+6y=2.(-1)& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x+3y=1& & \\ 2x+6y=-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x+3y=1& & \\ x+3y=-1& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=1-3y& & \\ (1-3y)+3y=-1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=1-3y& & \\ 1=-1(vôlý)& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

b) Thay $a=0$ vào hệ, ta được:

$\{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ \left(0+1\right)x+6y=2.0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ x+6y=0\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ x=-6y\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}-6y+3y=1\hfill \\ x=-6y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}-3y=1\hfill \\ x=-6y\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{-1}{3}}\hfill \\ x=-6y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{-1}{3}}\hfill \\ x=-6.{\displaystyle \frac{-1}{3}}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{-1}{3}}\hfill \\ x=2\hfill \end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm $\left(2;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$.

c) Thay $a=1$ vào hệ, ta được:

$\{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ (1^2+1)x+6y=2.1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ 2x+6y=2\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x+3y=1\hfill \\ x+3y=1\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=1-3y\\ 1-3y+3y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1-3y\\ 1=1\left(luônđúng\right)\end{array}$

 Vậy  hệ phương trình có vô số nghiệm $\{\begin{array}{l}x=1-3y\\ y\in \mathbb{R}\end{array}$Bài 16 trang 16 sgk Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

b) $\{\begin{array}{ccc}3x+5y=1& & \\ 2x-y=-8& & \end{array}$

c) $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ x+y-10=0& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{ccc}ax+by=c(1)& & \\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)& & \end{array}$

+) Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$   (nếu $a\ne 0$), ta được: $x={\displaystyle \frac{c-by}{a}}$ (Hoặc có thể rút $y$ theo $x$ nếu $b\ne 0$).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$.

+) Thế $y$ vào phương trình (1) tìm được $x$. 

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{c}3x-y=5\hfill \\ 5x+2y=23\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3x-5\hfill \\ 5x+2\left(3x-5\right)=23\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=3x-5\hfill \\ 5x+6x-10=23\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=3x-5\hfill \\ 11x=23+10\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3x-5\hfill \\ 11x=33\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=3x-5\hfill \\ x=3\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=3.3-5\hfill \\ x=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=4\hfill \\ x=3\hfill \end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(3;4)$.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}3x+5y=1\hfill \\ 2x-y=-8\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}3x+5y=1\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}3x+5\left(2x+8\right)=1\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}3x+10x+40=1\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}13x=1-40\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}13x=-39\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-3\hfill \\ y=2x+8\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-3\hfill \\ y=2.\left(-3\right)+8\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-3\hfill \\ y=2\hfill \end{array}$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(-3;2)$.

c) Ta có:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\hfill \\ x+y-10=0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2y}{3}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{2y}{3}}+y=10\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2y}{3}}\hfill \\ \left({\displaystyle \frac{2}{3}}+1\right)y=10\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2y}{3}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{5}{3}}y=10\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2y}{3}}\hfill \\ y=6\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2.6}{3}}\hfill \\ y=6\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=4\hfill \\ y=6\hfill \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(4;6)$.

Bài 17 trang 16 sgk Toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) $\{\begin{array}{ccc}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1& & \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}& & \end{array}$

b) $\{\begin{array}{ccc}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}& & \end{array}$

c) $\{\begin{array}{ccc}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}& & \\ x+(\sqrt{2}+1)y=1& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{array}{ccc}ax+by=c(1)& & \\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)& & \end{array}$

+) Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$   (nếu $a\ne 0$), ta được: $x={\displaystyle \frac{c-by}{a}}$ (Hoặc có thể rút $y$ theo $x$ nếu $b\ne 0$).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$.

+) Thế $y$ vào phương trình (1) tìm được $x$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\hfill \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\hfill \\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}\left(\sqrt{2}-y\sqrt{3}\right)\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1(1)\hfill \\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình $(1)$, ta được:

$(\sqrt{2}-y\sqrt{3})\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1$

$\iff (\sqrt{2}{)}^2-y\sqrt{3}.\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1$

$\iff 2-y\sqrt{3}.\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1$

$\iff -y\sqrt{3}.\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1-2$  

$\begin{array}{l}\iff -y\sqrt{6}-y\sqrt{3}=-1\\ \iff y\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)=1\\ \iff y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}\\ \iff y={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}}\\ \iff y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)}{3}}\end{array}$ 

Thay $y$ tìm được vào phương trình $(2)$, ta được:

$x=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3}}.\sqrt{3}$

$\iff x=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3}}$

$\iff x=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{3(\sqrt{2}-1)}{3}}=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)$

$\iff x=\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $\left(1;{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3}}\right)$

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\hfill \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5}(1)\hfill \\ \left(2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\right).\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}(2)\hfill \end{array}$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$\left(2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\right).\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}$

$\iff 2(\sqrt{2}.\sqrt{2})y+\sqrt{5}.\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}$

$\iff 4y+\sqrt{10}+y=1-\sqrt{10}$

$\iff 4y+y=1-\sqrt{10}-\sqrt{10}$ 

$\iff 5y=1-2\sqrt{10}$

$\iff y={\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}$ 

Thay $y={\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}$ vào $(1)$, ta được:

$x=2\sqrt{2}.{\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}+\sqrt{5}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-4\sqrt{20}}{5}}+\sqrt{5}$

$\iff x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-4.2\sqrt{5}}{5}}+\sqrt{5}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-8\sqrt{5}+5\sqrt{5}}{5}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: $(x;y)$ = $\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}};{\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\right)$

c) Ta có:

$\{\begin{array}{c}\left(\sqrt{2}-1\right)x-y=\sqrt{2}\hfill \\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)y=1\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\left(1\right)\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)\left[\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\right]=1\left(2\right)\end{array}$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$x+\left(\sqrt{2}+1\right)\left[\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\right]=1$

$\iff x+(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)x-(\sqrt{2}+1).\sqrt{2}=1$

$\iff x+\left((\sqrt{2}{)}^2-1^2\right)x-(2+\sqrt{2})=1$

$\iff x+x=1+(2+\sqrt{2})$

$\iff 2x=3+\sqrt{2}$

$\iff x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}}$

Thay $x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}}$ vào $(1)$, ta được:

$y=\left(\sqrt{2}-1\right).{\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{2}$

$\iff y={\displaystyle \frac{(\sqrt{2}-1)(3+\sqrt{2})}{2}}-\sqrt{2}$

$\iff y={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-3+2-\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{2}$

$\iff y={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}{2}}-\sqrt{2}$

$\iff y={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}}{2}}$

$\iff y={\displaystyle \frac{-1}{2}}$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}};{\displaystyle \frac{-1}{2}}\right)$

Bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2: a) Xác định các hệ số $a$ và $b$, biết rằng hệ phương trình

$\{\begin{array}{ccc}2x+by=-4& & \\ bx-ay=-5& & \end{array}$

có nghiệm là $(1;-2)$

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là $(\sqrt{2}-1;\sqrt{2})$.

Phương pháp giải:

a)  Thay $x=1,y=-2$ vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$.

Giải hệ mới ta tìm được  $a,b$.

b) Thay $x=\sqrt{2}-1;y=\sqrt{2}$ vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$.

Giải hệ mới ta tìm được  $a,b$.

Lời giải:

a) Hệ phương trình có nghiệm là $(1;-2)$ khi và chỉ khi $(1;-2)$ thỏa mãn hệ phương trình. Thay $x=1,y=-2$ vào hệ, ta có:

$\{\begin{array}{ccc}2-2b=-4& & \\ b+2a=-5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2b=6& & \\ b+2a=-5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}b=3& & \\ b+2a=-5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}b=3& & \\ 3+2a=-5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}b=3& & \\ 2a=-5-3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}b=3& & \\ 2a=-8& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}b=3& & \\ a=-4& & \end{array}$

Vậy $a=-4,b=3$ thì hệ có nghiệm là $(1;-2)$.

b) Thay $x=\sqrt{2}-1;y=\sqrt{2}$ vào hệ phương trình đã cho, ta có:

$\{\begin{array}{ccc}2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}=-4& & \\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}=-4& & \\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}=-4& & \\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}b\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2}& & \\ (\sqrt{2}-1)b-a\sqrt{2}=-5& & \end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{ccc}b=-(2+\sqrt{2})& & \\ a\sqrt{2}=-(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}b=-(2+\sqrt{2})& & \\ a\sqrt{2}=-\sqrt{2}+5& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{-2+5\sqrt{2}}{2}}& & \\ b=-(2+\sqrt{2})& & \end{array}$

Vậy $a={\displaystyle \frac{-2+5\sqrt{2}}{2}},b=-(2+\sqrt{2})$ thì hệ trên có nghiệm là $(\sqrt{2}-1;\sqrt{2})$.

Hãy tìm các giá trị của $m$ và $n$ sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho $x+1$ và  $x-3$:

$P(x)=m{x}^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n$

Phương pháp giải:

 Sử dụng tính chất: 

+) $P(x)$ chia hết cho $(x-a)$ khi và chỉ khi $P(a)=0$

+) $P(x)$ chia hết cho $(x+a)$ khi và chỉ khi $P(-a)=0$.

+) Thay các giá trị nghiệm vào đa thức $P(x)$, ta thu được các phương trình bậc nhất hai ẩn. Lập hệ và giải hệ đó.

Lời giải:

+) Ta có: $P(x)$ chia hết cho $x+1\iff P(-1)=0$

$\iff m.(-1{)}^3+(m-2).(-1{)}^2-(3n-5).(-1)$

$-4n=0$

$\iff -m+m-2+3n-5-4n=0$

$\iff -n-7=0$  

$\iff n+7=0$    (1)

+) Lại có: $P(x)$ chia hết cho $x-3\iff P(3)=0$

$\iff m{.3}^3+(m-2){.3}^2-(3n-5).3-4n=0$

$\iff 27m+9(m-2)-3(3n-5)-4n=0$

$\iff 27m+9m-18-9n+15-4n=0$

$\iff 36m-13n=3$  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn $m$ và $n$.

$\{\begin{array}{ccc}n+7=0& & \\ 36m-13n=3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ 36m-13.(-7)=3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ 36m=-88& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ m={\displaystyle \frac{-22}{9}}& & \end{array}$

Vậy $m={\displaystyle \frac{-22}{9}},n=-7$. 

Lý thuyết Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Các kiến thức cần nhớ

Quy tắc thế

Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Chú ý:

+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

2. Các dạng toán thường gặp

Phương pháp:

Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:

Bước 1. Rút $x$ hoặc $y$ từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn (thường là  hoặc ) và rút  hoặc  có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn còn lại.

Phương pháp:

Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1.

Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Phương pháp:

Một số kiến thức thường sử dụng

+) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$có nghiệm $\left(x_0;y_0\right)\iff \{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0=c\\ a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=c^{\prime }\end{array}.$

 +) Đường thẳng $d:ax+by=c$đi qua điểm$M\left(x_0;y_0\right)$$\iff a{x}_0+b{y}_0=c.$