LG a

$a=-1$       

Phương pháp giải:

Thay $a$ trong mỗi trường hợp

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

Với $a=-1,$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ 2x+6y=-2\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ x+3y=-1\end{array}$

Từ đó, ta thấy ngay hệ phương trình vô nghiệm

LG b

$a=0$        

Phương pháp giải:

Thay $a$ trong mỗi trường hợp

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

Với $a=0,$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ x+6y=0\end{array}$

Từ phương trình thứ nhất ta có $x=1-3y$

Thế $x$ trong phương trình thứ hai bởi $x=1-3y$, ta được

$1-3y+6y=0\iff 3y=-1\iff y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Từ đó $x=1-3.\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=2$.

Vậy với $a=0,$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$.

LG c

$a=1$

Phương pháp giải:

Thay $a$ trong mỗi trường hợp

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

Với $a=1$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ 2x+6y=2\end{array}$  hay $\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ x+3y=1\end{array}$

Từ đó dễ thấy hệ phương trình có vô số nghiệm. Hơn nữa, tập nghiệm của nó chính là nghiệm của phương trình $x+3y=1.$

Do $x+3y=1\iff x=1-3y$ nên tập nghiệm của phương trình $x+3y=1$ là $S=\left\{\left(1-3y;y\right)|y\in \mathbb{R}\right\}$

Vậy với $a=1,$ hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x=1-3y\\ y\in \mathbb{R}\end{array}$

LG a

$\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}$     

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

$\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-y\sqrt{3}\right)\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}2-y\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)=1\\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}\end{array} \end{gathered}$$$\iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}}\\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}}\\ x=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(1;{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}}\right)$

LG b

$\{\begin{array}{l}x-y\sqrt{2}=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

Cách 1: Biểu diễn $x$ theo $y$ từ phương trình thứ nhất.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\\ \left(2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\right)\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{5}\\ y={\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}}\\ y={\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}};{\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\right)$

Cách 2: Biểu diễn $y$ theo $x$ từ phương trình thứ hai.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ y=-\sqrt{2}x+1-\sqrt{10}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x-2\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}x+1-\sqrt{10}\right)=\sqrt{5}\\ y=-\sqrt{2}x+1-\sqrt{10}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}}\\ y=-\sqrt{2}\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}}\right)+1-\sqrt{10}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}}\\ y={\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}};{\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{5}}\right)$

LG c

$\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)-y=\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)y=1\end{array}$ 

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 

Trả lời:

Cách 1: Biểu diễn $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất.

$\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)x-y=\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)y=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)y=1\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)\left[\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\right]=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-\sqrt{2}\\ 2x=3+\sqrt{2}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

Cách 2: Biểu diễn $x$ theo $y$ từ phương trình thứ hai

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)x-y=\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{2}+1\right)y=1\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)x-y=\sqrt{2}\\ x=1-\left(\sqrt{2}+1\right)y\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)\left[1-\left(\sqrt{2}+1\right)y\right]-y=\sqrt{2}\\ x=1-\left(\sqrt{2}+1\right)y\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x=1-\left(\sqrt{2}+1\right)y\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

Bài 15 trang 19 Vở bài tập toán 9 tập 2

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

$P(x)=m{x}^3+\left(m-2\right)x^2-(3n-5)x-4n$  

Phương pháp giải:

Ta sử dụng: Đa thức $P\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-a$ khi và chỉ khi $P\left(a\right)=0$

Tính $P\left(-1\right);P\left(3\right)$

Từ giả thiết ta giải hệ $\{\begin{array}{l}P\left(-1\right)=0\\ P\left(3\right)=0\end{array}$ để tìm $m;n.$ 

Trả lời:

Áp dụng mệnh đề đã cho với $a=-1,$ rồi với $a=3,$ ta có

$P\left(-1\right)=m{\left(-1\right)}^3+\left(m-2\right).{\left(-1\right)}^2$$-\left(3n-5\right).\left(-1\right)-4n$$=-n-7$

$P\left(3\right)=m{.3}^3+\left(m-2\right){.3}^2-\left(3n-5\right).3-4n$$=36m-13n-3$

Theo giả thiết, $P\left(x\right)$ chia hết cho $x+1$ nên $P\left(-1\right)=0$ tức là $-n-7=0$

Tương tự, vì $P\left(x\right)$ chia hết cho $x-3$ nên $P\left(3\right)=0$ tức là $36m-13n-3=0$

Vậy ta phải giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-n-7=0\\ 36m-13n-3=0\end{array}$

Giải hệ phương trình này ta được $m=-{\displaystyle \frac{22}{9}};n=-7$

Trả lời: Vậy $m=-{\displaystyle \frac{22}{9}};n=-7$.  

Chú ý: Ta có thể giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-n-7=0\\ 36m-13n-3=0\end{array}$ như sau: 

$\{\begin{array}{l}-n-7=0\\ 36m-13n-3=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}n+7=0& & \\ 36m-13n=3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ 36m-13.(-7)=3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ 36m=-88& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}n=-7& & \\ m={\displaystyle \frac{-22}{9}}& & \end{array}$