Câu 4

Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x=-4\\ 3y+6=0\end{array}$

(A) Hệ phương trình đã cho có một nghiệm là x = -2

(B) Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -2 và y = -2

(C) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (-2 ; -2)

(D) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết về nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$

Giải phương trình $\left(1\right)$ và phương trình $\left(2\right)$ sau đó tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Trả lời:

Ta có $\{\begin{array}{l}2x=-4\\ 3y+6=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ 3y=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-2\end{array}$ 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left(x;y\right)=\left(-2;-2\right)$

Chọn C.

Câu 5

Cho hai hệ phương trình

$\left(I\right)\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y=x+1\end{array}$  và $\left(II\right)\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ 3y+5=2x\end{array}$

(A) Hệ (I) có vô số nghiệm và hệ (II) vô nghiệm

(B) Hệ (I) vô nghiệm và hệ (II) có vô số nghiệm

(C) Hệ (I) vô nghiệm và hệ (II) vô nghiệm

(D) Hệ (I) có vô số nghiệm và hệ (II) có vô số nghiệm

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1.  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Xét hệ $\left(I\right):\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y=x+1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=x+1\end{array}$  .

Nhận thấy rằng hai đường thẳng $\left(d_1\right):y=x+1$ và $\left(d_2\right):y=x+1$ trùng nhau nên hệ $\left(I\right)$ có vô số nghiệm.

Xét hệ $\left(II\right)\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ 3y+5=2x\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}3y=2x-5\\ 3y=2x-5\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{5}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$ 

Nhận thấy rằng hai đường thẳng $\left(d_3\right):y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ và $\left(d_4\right):y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ trùng nhau nên hệ $\left(II\right)$ có vô số nghiệm.

Vậy cả hai hệ đã cho đều có vô số nghiệm.

Chọn B.

Câu 6

Cho một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Tập nghiệm của phương trình thứ nhất trong hệ được biểu diễn bởi đường thẳng (d₁); Tập nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ được biểu diễn bởi đường thẳng (d₂). Hãy ghép mỗi cụm từ nằm ở cột trái với mỗi cụm từ nằm ở cột phải để được khẳng định đúng: 

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Nếu $\left(d_1\right)$ cắt $\left(d_2\right)$ tại một điểm thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Nếu $\left(d_1\right)$ song song $\left(d_2\right)$ thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu $\left(d_1\right)$ trùng $\left(d_2\right)$ thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Tập nghiệm của hệ trùng với tập nghiệm của một trong hai phương trình trong hệ.

Như vậy ta có thứ tự nối đúng là $a-1;b-3;c-2.$

LG a

$\{\begin{array}{l}y=3-2x\\ y=3x-1\end{array}$ 

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Đường thẳng $y=3-2x$ có hệ số góc là $-2$

Đường thẳng $y=3x-1$ có hệ số góc là $3$ 

Vì hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

LG b

$\{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ có hệ số góc là $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$  và tung độ gốc là $3.$

Đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$ có hệ số góc là $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$  và tung độ gốc là $1.$

Vì hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau nhưng có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

LG c

$\{\begin{array}{l}2y=-3x\\ 3y=2x\end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Ta có $\{\begin{array}{l}2y=-3x\\ 3y=2x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x\\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}x\end{array}$

Đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$ có hệ số góc là $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Đường thẳng $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x$ có hệ số góc là ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 

Vì hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

LG d

$\{\begin{array}{l}3x-y=3\\ x-{\displaystyle \frac{1}{3}}y=1\end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm; 

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Ta có $\{\begin{array}{l}3x-y=3\\ x-{\displaystyle \frac{1}{3}}y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=3x-3\\ y=3x-3\end{array}$

Hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là $y=3x-3$ nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

LG a

$\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x-2y=-1\end{array}$                  

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó ta vẽ hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ trên cùng hệ trục tọa độ để xác định số giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ .

Từ đó suy ra số nghiệm của hệ đã cho.

Trả lời:

Vẽ các đường thẳng $2x-y=1;x-2y=-1$  trong cùng một hệ tọa độ (h.7)

Ta thấy hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

LG b

$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -x+y=1\end{array}$           

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó ta vẽ hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ trên cùng hệ trục tọa độ để xác định số giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ .

Từ đó suy ra số nghiệm của hệ đã cho.

Trả lời:

Vẽ các đường thẳng $2x+y=4;-x+y=1$  trong cùng một hệ tọa độ (h.8)

LG a

Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

Phương pháp giải:

Sử dụng cách tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=0\left(a,b\ne 0\right)$ để tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình đã cho.

Trả lời:

Ta có $2x+y=4\iff y=-2x+4$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thứ nhất là $\left(x;-2x+4\right)$ với $x\in \mathbb{R}.$

Tương tự, $3x+2y=5\iff y={\displaystyle \frac{-3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thứ hai là $\left(x;-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ với $x\in \mathbb{R}.$

LG b

Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm mà đường thẳng đi qua.

Vẽ các đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ để xác định nghiệm chung. 

Trả lời:

Đường thẳng $2x+y=4$ đi qua các điểm có tọa độ $\left(2;0\right);\left(1;2\right)$

Đường thẳng $3x+2y=5$ đi qua các điểm có tọa độ $\left(1;1\right);\left(-1;4\right)$

Vẽ hai đường thẳng trong cùng hệ tọa độ (h.9)

LG a

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 3x+3y=2\end{array}$ 

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Tập nghiệm của phương trình $x+y=2$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=-x+2$  có hệ số góc bằng $-1$, tung độ gốc bằng $2.$

Tập nghiệm của phương trình $3x+3y=2$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=-x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$  có hệ số góc bằng $-1$, tung độ gốc bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}.$

Hai đường thẳng này có hệ số góc bằng nhau nhưng tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

$\{\begin{array}{l}3x-2y=1\\ -6x+4y=0\end{array}$ 

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Tập nghiệm của phương trình $3x-2y=1$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$  có hệ số góc bằng ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, tung độ gốc bằng $-{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Tập nghiệm của phương trình $-6x+4y=0$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x$  có hệ số góc bằng ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, tung độ gốc bằng $0.$ 

Hai đường thẳng này có hệ số góc bằng nhau nhưng tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

LG a

$\{\begin{array}{l}4x-4y=2\\ -2x+2y=-1\end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Tập nghiệm của phương trình $4x-4y=2$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$  có hệ số góc bằng $1$ và tung độ gốc bằng $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Tập nghiệm của phương trình $-2x+2y=-1$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$  có hệ số góc bằng $1$ và tung độ gốc bằng $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 

Hai đường thẳng này có hệ số góc bằng  nhau và tung độ gốc bằng nhau nên chúng trùng nhau.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. 

LG b

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-y={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x-3y=2\end{array}$

Phương pháp giải:

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$ có $d$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ và $d^{\prime }$ là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\left(2\right)$, khi đó

Trường hợp 1. $d\cap d^{\prime }=A\left(x_0;y_0\right)\iff$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$;

Trường hợp 2. $d//d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. $d\equiv d^{\prime }\iff$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trả lời:

Tập nghiệm của phương trình ${\displaystyle \frac{1}{3}}x-y={\displaystyle \frac{2}{3}}$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}$  có hệ số góc bằng ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, tung độ gốc bằng $-{\displaystyle \frac{2}{3}}.$

Tập nghiệm của phương trình $x-3y=2$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}$  có hệ số góc bằng ${\displaystyle \frac{1}{3}},$ tung độ gốc bằng $-{\displaystyle \frac{2}{3}}.$

Hai đường thẳng này có hệ số góc bằng  nhau và tung độ gốc bằng nhau nên chúng trùng nhau.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.