$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array}$ bạn Cường kết luận rằng hệ phương trình có hai nghiệm x=2 và y=1. Theo em điều đó đúng hay sai? Nếu sai thì phát biểu thế nào cho đúng.

Phương pháp giải:

Áp dụng cách kết luận nghiệm của hệ phương trình

Lời giải:

Kết luận của bạn Cường là sai vì nghiệm của hệ là một cặp (x; y), chứ không phải là mỗi số riêng biệt.

Phát biểu đúng: Nghiệm duy nhất của hệ là: $(x;y)=(2;1)$

Hệ phương trình 

$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}\left(a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\ne 0\right)$

+ Có vô số nghiệm nếu ${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}={\displaystyle \frac{d}{d^{\prime }}}$

+ Vô nghiệm nếu ${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}\ne {\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$

+ Có một nghiệm duy nhất nếu ${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}\ne {\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để suy ra số nghiệm của phương trình

Lời giải:

Ta biết tập nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bằng đường thẳng ax + by = c và tập nghiệm của phương trình a'x + b'y = c' được biểu diễn bằng đường thẳng a'x + b'y = c'.

a) Vô nghiệm? ;     b) Có vô số nghiệm?

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình 1 ẩn thu được sẽ là số nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

a) Hệ đã cho vô nghiệm bởi vì mỗi nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình, một phương trình vô nghiệm thì hệ không có nghiệm chung.

b) Hệ đã cho có vô số nghiệm. 

Bài tập trang 27 SGK Toán 9

a) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+5y=2\hfill \\ {\displaystyle \frac{2}{5}}x+y=1\hfill \end{array}$    ;b) $\{\begin{array}{c}0,2\mathrm{x}+0,1y=0,3\hfill \\ 3\mathrm{x}+y=5\hfill \end{array}$    ;c) $\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{2}}x-y={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ 3\mathrm{x}-2y=1\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm nghiệm

Minh họa hình học: Tức là ta biểu thị 2 đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ. 

Lời giải:

Giải hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+5y=2\hfill \\ {\displaystyle \frac{2}{5}}x+y=1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+5y=2\hfill \\ -2\mathrm{x}-5y=-5\hfill \end{array}$

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được: $2x+5y+(-2x-5y)=2-5$ 

$\iff 0=-3$  (vô lý)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số $2x+5y=2$.

Cho $y=0\Rightarrow x=1$. Ta xác định được điểm $A(1;0)$

Cho $y=1\Rightarrow x=-1,5$. Ta xác định được điểm $B(-1,5;1)$.

Đồ thị hàm số $2x+5y=2$ là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số  ${\displaystyle \frac{2}{5}}x+y=1\iff 2\mathrm{x}+5y=5$

Cho $x=0\Rightarrow y=1$. Ta xác định được điểm $C(0;1)$

Cho $y=2\Rightarrow x=-2,5$. Ta xác định được điểm $D(-2,5;2)$

Đồ thị hàm số ${\displaystyle \frac{2}{5}}x+y=1$ là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

b) Giải hệ phương trình:  

$\{\begin{array}{c}0,2\mathrm{x}+0,1y=0,3\hfill \\ 3\mathrm{x}+y=5\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2\mathrm{x}-y=-3\hfill \\ 3\mathrm{x}+y=5(2)\hfill \end{array}$

Cộng vế với  vế của hai phương trình trên, ta được $-2x-y+3x+y=-3+5$ $\iff x=2$

Thế $x=2$ vào phương trình (2), ta được: $6+y=5\iff y=-1$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là  $(x;y)=(2;-1)$

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số $0,2x+0,1y=0,3$ là một đường thẳng đi qua hai điểm:

$A(0;3)$ và $B(1,5;0)$

- Đồ thị hàm số $3x+y=5$ là một đường thẳng đi qua hai điểm $C(0;5)$ và $D(1;2)$

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: $M(2;-1)$.

Vậy $(2;-1)$ là một nghiệm của hệ phương trình.

c) Giải hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{2}}x-y={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ 3\mathrm{x}-2y=1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}-3\mathrm{x}+2y=-1\hfill \\ 3\mathrm{x}-2y=1\hfill \end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}3x-2y=1\\ -3x+2y+3x-2y=-1+1\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}2y=3x-1\\ 0=0\left(luônđúng\right)\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x\in \mathbb{R}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là $\left(x;{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$  với $x\in R$

Minh họa hình học 

- Đồ thị hàm số ${\displaystyle \frac{3}{2}}x-y={\displaystyle \frac{1}{2}}$  và đồ thị hàm số $3x-2y=1$ cùng là một đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ và $B(1;1)$ nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

a) $m=-\sqrt{2}$       ;b) $m=\sqrt{2}$          ;c) $m=1$

Phương pháp giải:

Cách 1: Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm được $x,y$ theo $m.$ Sau đó thay từng giá trị m vào ta tìm được nghiệm cụ thể.

Cách 2: Thay từng giá trị $m$ vào hệ phương trình rồi dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình thu được.

Lời giải:

(I) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-y=m(1)\hfill \\ 4\mathrm{x}-m^{2}y=2\sqrt{2}(2)\hfill \end{array}$

Ta có (1) ⇔ $y=2x–m$ (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

$4\mathrm{x}-m^2\left(2\mathrm{x}-m\right)=2\sqrt{2}$

$\iff 4.x-2.m^2.x+m^3=2\sqrt{2}$

 $\iff 4.x-2.m^2.x=2\sqrt{2}-m^3$

$\iff 2\left(2-m^2\right)x=2\sqrt{2}-m^3(\ast )$ 

Với $m=-\sqrt{2}$. Thế vào phương trình (*), ta được:

$2(2–2)x=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\iff 0x=4\sqrt{2}$ (vô lý)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) (I) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-y=m(1)\hfill \\ 4\mathrm{x}-m^{2}y=2\sqrt{2}(2)\hfill \end{array}$

Ta có (1) ⇔ $y=2x–m$ (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

$4\mathrm{x}-m^2\left(2\mathrm{x}-m\right)=2\sqrt{2}$

$\iff 2\left(2-m^2\right)x=2\sqrt{2}-m^3(\ast )$ 

Với $m=\sqrt{2}$. Thế vào phương trình (*), ta được:

$2(2–2)x=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\iff 0x=0$ (luôn đúng)

Phương trình trên nghiệm đúng với mọi x ∈ R, khi đó $y=2x–\sqrt{2}$

Vậy hệ trình này có vô số nghiệm dạng $(x;2x-\sqrt{2})$ với $x\in R$. 

c) (I) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-y=m(1)\hfill \\ 4\mathrm{x}-m^{2}y=2\sqrt{2}(2)\hfill \end{array}$

Ta có (1) ⇔ $y=2x–m$ (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

$4\mathrm{x}-m^2\left(2\mathrm{x}-m\right)=2\sqrt{2}$

$\iff 2\left(2-m^2\right)x=2\sqrt{2}-m^3(\ast )$ 

Với $m=1$. Thế vào phương trình (*), ta được:

$2.(2-1)x=2\sqrt{2}-1\iff 2\mathrm{x}=2\sqrt{2}-1$

$\iff x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}{2}}$ 

Thay $x$ vừa tìm được vào (3), ta có: $y=2\sqrt{2}–2$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: $\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}{2};2\sqrt{2}-2}\right)$

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: giải phương trình và hệ phương trình vừa thu được

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Chú ý: +) Nếu hai người đi ngược chiều và xuất phát cùng một lúc thì đến khi gặp nhau thời gian đi của hai người sẽ bằng nhau.

Sử dụng các công thức $S=v.t$, $v={\displaystyle \frac{S}{t}},t={\displaystyle \frac{S}{v}}$

Với $S:$ là quãng đường, $v:$ là vận tốc, $t$: thời gian

+) Đổi đơn vị km/phút ra km/h: a km/ phút = a.60 (km/h)

Lời giải:

Gọi vận tốc của người đi từ A là $x$ (km/phút), vận tốc của người đi từ B là $y$(km/phút) (ĐK: $x;y>0$)

Nếu hai người khời hành cùng lúc thì gặp nhau tại một điểm cách A là 2km nên lúc này quãng đường người từ A đi được là 2km; quãng đường người từ B đi được là $3,6-2=1,6km$. 

Khi đó thời gian người từ A đi là ${\displaystyle \frac{2}{x}}$  (phút), thời gian người từ B đi là ${\displaystyle \frac{1,6}{y}}$ (phút).

Vì hai người khời hành cùng lúc và ngược chiều nên đến khi gặp nhau thời gian hai người đi là bằng nhau, nên ta có phương trình ${\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1,6}{y}}$  (1)

Nhận thấy rằng người đi từ B đi chậm hơn người đi từ A (vì khi khởi hành cùng lúc thì quãng đường người từ B đi ít hơn người đi từ A).

Lại có nếu người đi chậm hơn (người đi từ B) xuất phát trước người đi từ A là 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường nên mỗi người đi được 1,8 km.

Thời gian hai người đi từ A và đi từ B lần lượt là: ${\displaystyle \frac{1,8}{x}};{\displaystyle \frac{1,8}{y}}$ (phút) 

Từ đó, ta có phương trình ${\displaystyle \frac{1,8}{x}}+6={\displaystyle \frac{1,8}{y}}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1,6}{y}}\\ {\displaystyle \frac{1,8}{x}}+6={\displaystyle \frac{1,8}{y}}\end{array}$

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x}}=u;{\displaystyle \frac{1}{y}}=v$  ta có hệ sau$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}2u=1,6v\\ 1,8u+6=1,8v\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u=0,8v\\ 1,8.0,8v-1,8v=-6\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}v={\displaystyle \frac{50}{3}}\\ u={\displaystyle \frac{40}{3}}\end{array} \end{gathered}$$

Thay lại cách đặt ta được $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{40}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{50}{3}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,075\\ y=0,06\end{array}$  (TM )

Vậy vận tốc người đi từ A là $0,075$ km/phút hay 4,5 km/giờ

Vận tốc người đi từ B là 0,06 km/phút hay 3,6 km/giờ.

^{Phương pháp giải:}

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: giải phương trình và hệ phương trình vừa thu được

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Lời giải:

Gọi $x;y$ lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho (ĐK: $0<x;y<124$)

Vì vật có khối lượng 124g nên ta có phương trình $x+y=124$  (1) 

Biết cứ 89g đồng thì có thể tích là $10c{m}^3$ nên 1g đồng có thể tích là ${\displaystyle \frac{10}{89}}c{m}^3$

Suy ra $x$ gam đồng có thể tích là ${\displaystyle \frac{10}{89}}x\left(c{m}^3\right)$

Biết cứ 7g kẽm thì có thể tích là $1c{m}^3$ nên 1g kẽm có thể tích là ${\displaystyle \frac{1}{7}}c{m}^3$

Suy ra $y$ gam kẽm có thể tích là ${\displaystyle \frac{1}{7}}y\left(c{m}^3\right)$

Vì thể tích vật đã cho là $15c{m}^3$ nên ta có phương trình ${\displaystyle \frac{10}{89}}x+{\displaystyle \frac{1}{7}}y=15$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x+y=124\\ {\displaystyle \frac{10}{89}}x+{\displaystyle \frac{1}{7}}y=15\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=124-x\\ 70x+89\left(124-x\right)=\mathrm{15.7.89}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=124-x\\ -19x=-1691\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x=89\\ y=35\end{array} \end{gathered}$$  (TM )

Vậy khối lượng đồng và kẽm trong vật đã cho lần lượt là 89g và 35g.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: giải phương trình và hệ phương trình vừa thu được

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Lời giải:

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm một mình xong công việc trong $x$ (ngày) và đội II làm một mình xong công việc trong $y$ (ngày)
Điều kiện: $x,y>12$

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ công việc và đội II làm được ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ công việc.

Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên 1 ngày cả hai đội làm được ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ công việc. Ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{1}{x}+{\displaystyle \frac{1}{y}={\displaystyle \frac{1}{12}(1)}}}$

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đội làm được $\left({\displaystyle \frac{8}{x}+{\displaystyle \frac{8}{y}}}\right)$ công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được ${\displaystyle \frac{2}{y}}$ công việc và làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày nên trong 3,5 ngày này đội II làm được $3,5.{\displaystyle \frac{2}{y}={\displaystyle \frac{7}{y}}}$ công việc. Ta có phương trình: 

$\left({\displaystyle \frac{8}{x}+{\displaystyle \frac{8}{y}}}\right)+{\displaystyle \frac{7}{y}=1\iff {\displaystyle \frac{8}{x}+{\displaystyle \frac{15}{y}=1(2)}}}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ {\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{15}{y}}=1\end{array}$

Đặt: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}=a\\ {\displaystyle \frac{1}{y}}=b\end{array}\\ \{\begin{array}{l}a+b={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ 8a+15b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}-b\\ 8\left({\displaystyle \frac{1}{12}}-b\right)+15b=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}-b\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}+7b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{21}}\\ b={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{28}}\\ b={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{28}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}$ 

$\begin{array}{l}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=28\\ y=21\end{array}\end{array}$

Vậy $x=28$ (nhận) và $y=21$ (nhận)

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 28 ngày, đội II làm một mình xong công việc trong 21 ngày.

Phương pháp giải:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: giải phương trình và hệ phương trình vừa thu được

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Chú ý đến dạng toán %:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a\mathrm{\%}$ là $(100+a)\mathrm{\%}.x$ (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a\mathrm{\%}$ là $(100-a)\mathrm{\%}.x$ (sản phẩm)

Lời giải:

Gọi $x$ (tấn) và $y$ (tấn) là số tấn thóc mà đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai lần lượt thu hoạch được trong năm ngoái.

Điều kiện: $x>0;y>0$

Theo đề bài ta có:

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc nên ta có phương trình:

$x+y=720$ (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: $x+{\displaystyle \frac{15}{100}x=\frac{115}{100}x}$ (tấn) và đơn vị thứ hai thu hoạch được : $y+{\displaystyle \frac{12}{100}y=\frac{112}{100}y}$ (tấn). 

Cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là: ${\displaystyle \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819(2)}$ 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{l}x+y=720\\ {\displaystyle \frac{115}{100}}x+{\displaystyle \frac{112}{100}}y=819\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x+y=720\\ 1,15x+1,12y=819\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=720-y\\ 1,15.\left(720-y\right)+1,12y=819\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=720-y\\ 828-1,15y+1,12y=819\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x=720-y\\ 0,03y=9\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=300\\ x=720-300\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=300\\ x=420\end{array}\end{array}$ 

Vậy $x=420$ (nhận) và $y=300$ (nhận)

Vậy:  Năm ngoái đơn vị thứ I thu hoạch được 420 tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đơn vị thứ I thu hoạch được: ${\displaystyle \frac{115}{100}.420=483}$ tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được ${\displaystyle \frac{112}{100}.300=336}$ tấn thóc