VBT Toán lớp 9 Ôn tập chương 3 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn| Giải VBT Toán lớp 9

Daisy Ngày: 14-05-2022 Lớp 9

401

Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Ôn tập chương 3 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trang 32,33,34,35 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Ôn tập chương 3 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 30 trang 32 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

LG a

${\begin{cases} x \sqrt{5} - (1 + \sqrt{3}) y = 1 \\ (1 - \sqrt{3}) x + y \sqrt{5} = 1 \end{cases}$

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Trả lời:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{5}$ , ta được $5. x - \sqrt{5} (1 + \sqrt{3}) y = \sqrt{5}$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $(1 + \sqrt{3})$ , ta được $- 2 x + y \sqrt{5} (1 + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3})$

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có $3 x = 1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}$ suy ra $x = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $1 - \sqrt{3}$ , ta được $x \sqrt{5} (1 - \sqrt{3}) + 2 y = 1 - \sqrt{3}$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $- \sqrt{5}$ , ta được $- \sqrt{5} (1 - \sqrt{3}) x - 5 y = - \sqrt{5}$

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có $- 3 y = 1 - \sqrt{5} - \sqrt{3}$ suy ra $x = \frac{- 1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 1}{3}; \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} - 1}{3})$

LG b

${\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} = \sqrt{2} \\ \frac{x}{x + 1} + \frac{3 y}{y + 1} = - 1 \end{cases}$

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ta đặt $u = \frac{x}{x + 1}; v = \frac{y}{y + 1}$

Trả lời:

Với điều kiện $x + 1 \neq 0$ và $y + 1 \neq 0$ đặt $u = \frac{x}{x + 1}; v = \frac{y}{y + 1}$ ta được hệ phương trình

(I) ${\begin{cases} 2 u + v = \sqrt{2} \\ u + 3 v = - 1 \end{cases}$

Giải (I):

${\begin{cases} 2 u + v = \sqrt{2} \\ u + 3 v = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 u + v = \sqrt{2} \\ 2 u + 6 v = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 5 v = \sqrt{2} + 2 \\ u + 3 v = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} v = - \frac{2 + \sqrt{2}}{5} \\ u - 3. \frac{2 + \sqrt{2}}{5} = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} v = - \frac{2 + \sqrt{2}}{5} \\ u - \frac{6 + 3 \sqrt{2}}{5} = - 1 \end{cases}$

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

(II) ${\begin{cases} \frac{x}{x + 1} = \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{5} \\ \frac{y}{y + 1} = - \frac{2 + \sqrt{2}}{5} \end{cases}$

Giải (II), ta được:

${\begin{matrix} \frac{x}{x + 1} = \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{5} \\ \frac{y}{y + 1} = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = (x + 1) (\frac{1 + 3 \sqrt{2}}{5}) \\ y = (y + 1) \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 5 x = (x + 1) (1 + 3 \sqrt{2}) \\ 5 y = (y + 1) (- 2 - \sqrt{2}) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 x = x (3 \sqrt{2} + 1) + 3 \sqrt{2} + 1 \\ 5 y = y (- 2 - \sqrt{2}) - 2 - \sqrt{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 x - (3 \sqrt{2} + 1) x = 3 \sqrt{2} + 1 \\ 5 y - (- 2 - \sqrt{2}) y = - 2 - \sqrt{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} (4 - 3 \sqrt{2}) x = 3 \sqrt{2} + 1 \\ (7 + \sqrt{2}) y = - 2 - \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}} \\ y = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{7 + \sqrt{2}} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{(3 \sqrt{2} + 1) (4 + 3 \sqrt{2})}{(4 - 3 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})} \\ y = \frac{(- 2 - \sqrt{2}) (7 - \sqrt{2})}{(7 + \sqrt{2}) (7 - \sqrt{2})} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{- 22 - 15 \sqrt{2}}{2} (t m đ k) \\ y = \frac{- 12 - 5 \sqrt{2}}{47} (t m đ k) \end{cases} \end{array}$

Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ $= (\frac{- 22 - 15 \sqrt{2}}{2}; \frac{- 12 - 5 \sqrt{2}}{47})$

Bài 31 trang 33 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = m \\ 4 x - m^{2} y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ trong mỗi trường hợp sau:

LG a

$m = - \sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Thay giá trị của $m$ vào hệ rồi sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm $(x; y)$ trong mỗi trường hợp.

Trả lời:

Khi $m = - \sqrt{2}$ , ta có hệ phương trình

${\begin{cases} 2 x - y = - \sqrt{2} \\ 4 x - {(- \sqrt{2})}^{2} y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} 0 = - 2 \sqrt{2} (v ô l ý) \\ 2 x - y = \sqrt{2} \end{cases}$

Dễ dàng thấy hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi $m = - \sqrt{2}$ .

LG b

$m = \sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Thay giá trị của $m$ vào hệ rồi sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm $(x; y)$ trong mỗi trường hợp.

Trả lời:

Khi $m = \sqrt{2}$ , ta có hệ phương trình

${\begin{cases} 2 x - y = \sqrt{2} \\ 4 x - {(\sqrt{2})}^{2} y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} 2 x - y = \sqrt{2} \\ 2 x - y = \sqrt{2} \end{cases}$

Dễ thấy rằng hệ phương trình có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là $S = {(x; 2 x - \sqrt{2}) | x \in R}$

LG c

$m = 1$

Phương pháp giải:

Thay giá trị của $m$ vào hệ rồi sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm $(x; y)$ trong mỗi trường hợp.

Trả lời:

Khi $m = 1$ ta có hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ 4 x - 1^{2} . y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$

Giải hệ phương trình này:

${\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ 4 x - 1^{2} . y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ 4 x - y = 2 \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ 2 x = 2 \sqrt{2} - 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{2 \sqrt{2} - 1}{2} \\ y = 2. \frac{2 \sqrt{2} - 1}{2} - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{2 \sqrt{2} - 1}{2} \\ y = 2 \sqrt{2} - 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}; 2 \sqrt{2} - 2)$

Bài 32 trang 34 Vở bài tập toán 9 tập 2

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình.

Chú ý rằng nếu hai người đi ngược chiều và xuất phát cùng một lúc thì đến khi gặp nhau thời gian đi của hai người sẽ bằng nhau.

Sử dụng các công thức $S = v . t$ , $v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v}$

Với $S :$ là quãng đường, $v :$ là vận tốc, $t$ : thời gian

Trả lời

Gọi vận tốc của người đi từ A là $v_{1}$ (m/phút), vận tốc của người đi từ B là $v_{2}$ (m/phút). Điều kiện là $v_{1}; v_{2} > 0$

Do hai người cùng xuất phát nên ta có phương trình: $\frac{2000}{v_{1}} = \frac{1600}{v_{2}}$ (1)

Điều đó còn cho thấy người đi từ B đi chậm hơn. Nếu người đi chậm hơn, tức là người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Khi đó mỗi người đi được $1800 m$ .

Do đó, ta có phương trình: $\frac{1800}{v_{1}} + 6 = \frac{1800}{v_{2}}$ (2)

Bài toán dẫn đến hệ gồm hai phương trình (1) và (2)

Đặt $\frac{100}{v_{1}} = x$ và $\frac{100}{v_{2}} = y$ , từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(I) ${\begin{cases} 20 x = 16 y \\ 18 x + 6 = 18 y \end{cases}$

Giải hệ phương trình (I)

$\begin{array}{l} (I) \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{4}{5} y \\ 18. \frac{4}{5} y + 6 = 18 y \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{4}{5} y \\ \frac{18}{5} y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y = \frac{5}{3} \end{cases} \end{array}$

Nghiệm của hệ (I) là $(x; y) = (\frac{4}{3}; \frac{5}{3})$ . Cuối cùng, ta có

$\frac{100}{v_{1}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow v_{1} = 75$

$\frac{100}{v_{2}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow v_{2} = 60$

Trả lời: Vậy vận tốc người đi từ A là $75 m / p h ú t$ , vận tốc người đi từ B là $60 m / p h ú t .$

Bài 33 trang 35 Vở bài tập toán 9 tập 2

Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15 cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10 cm³ và 7 g kẽm thì có thể tích là 1 cm³

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;

-Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.

Bước 3. Kết luận

-Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Trả lời:

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó (điều kiện là $0 < x; y < 24$ )

Vì vật có khối lượng 124g nên ta có phương trình $x + y = 124$

Biết cứ 89g đồng thì có thể tích là $10 c m^{3}$ nên 1g đồng có thể tích là $\frac{10}{89} c m^{3}$

Suy ra $x$ gam đồng có thể tích là $\frac{10}{89} x (c m^{3})$

Biết cứ 7g kẽm thì có thể tích là $1 c m^{3}$ nên 1g kẽm có thể tích là $\frac{1}{7} c m^{3}$

Suy ra $y$ gam kẽm có thể tích là $\frac{1}{7} y (c m^{3})$

Vì thể tích vật đã cho là $15 c m^{3}$ nên ta có phương trình $\frac{10}{89} x + \frac{1}{7} y = 15$

Từ đó, ta có hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 124 \\ \frac{10}{89} x + \frac{1}{7} y = 15 \end{cases}$

Giải hệ phương trình này:

${\begin{cases} x + y = 124 \\ \frac{10}{89} x + \frac{1}{7} y = 15 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} y = 124 - x \\ 70 x + 89 (124 - x) = 15.7.89 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} y = 124 - x \\ - 19 x = - 1691 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 89 \\ y = 35 \end{array} (T M)$

Trả lời: khối lượng đồng và kẽm trong vật đã cho lần lượt là 89g và 35g

Bài 34 trang 35 Vở bài tập toán 9 tập 2

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mứa 12% so với năm ngoái; Do đó, cả hai đơn vụ thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị sản xuất được bao nhiêu tấn thóc ?

Phương pháp giải:

Sử dụng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Chú ý đến dạng toán %:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi vượt mức $a %$ là $(100 + a) % . x$ (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là $x$ thì số sản phẩm khi giảm $a %$ là $(100 - a) % . x$ (sản phẩm)

Trả lời:

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn thóc hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (điều kiện là $0 < x, y < 720$ )

Vì năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được 720 tấn thóc nên ta có phương trình $x + y = 720$ (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất vượt mức 15% nên thu hoạch được $(100 + 15 %) . x = 1, 15 x$ tấn

Và đơn vị thứ hai vượt mức 12% nên thu hoạch được $(100 + 12 %) . y = 1, 12 y$ tấn

Cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc nên ta có phương trình $1, 15 x + 1, 12 y = 819$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 720 \\ 1, 15 x + 1, 12 y = 819 \end{cases}$

Giải hệ phương trình này

${\begin{cases} x + y = 720 \\ 1, 15 x + 1, 12 y = 819 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 720 - y \\ 1, 15 (720 - y) + 1, 12 y = 819 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 720 - y \\ - 1, 15 y + 1, 12 y = - 9 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 720 - y \\ y = 300 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 420 \\ y = 300 \end{cases}$ (TM )