LG a

$\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình  

Trả lời:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho,  ta được $5x=10$. Do đó

$\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x=10\\ 2x-y=7\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ 2.2-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;-3\right)$

LG b

$\{\begin{array}{l}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình  

Trả lời:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được $8y=8$. Do đó

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}8y=8\\ 2x-3y=0\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=1\\ 2x-3.1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=1\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$

LG c

$\{\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình  

Trả lời:

Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$ rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$\{\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 4x+2y=8\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}4x+3y=6\\ y=-2\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}4x+3\left(-2\right)=6\\ y=-2\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(3;-2\right)$

LG d

$\{\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình  

Trả lời:

Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2,$ nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3$ rồi cộng từng vế hai phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}4x+6y=-4\\ 9x-6y=-9\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}13x=-13\\ 2x+3y=-2\end{array} \end{gathered}$$$\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(-1;0\right)$

LG e

$\{\begin{array}{l}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình  

Trả lời:

Cách 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $4$ rồi cộng từng vế của hai phương trình

$\{\begin{array}{l}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}1,2x+2y=12\\ 1,5x-2y=1,5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}2,7x=13,5\\ 1,5x-2y=1,5\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}x=5\\ 1,5.5-2.y=1,5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x=5\\ 2y=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=5\\ y=3\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(5;3\right)$

Cách 2: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $5$ rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$\{\begin{array}{l}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}1,5x+2,5y=15\\ 1,5x-2y=1,5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}4,5y=13,5\\ 1,5x-2y=1,5\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}y=3\\ 1,5x-2.3=1,5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=3\\ 1,5x=7,5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=3\\ x=5\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(5;3\right)$

LG a

$\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=1\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 

Trả lời:

Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$ rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=1\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}2x-3\sqrt{2}y=\sqrt{2}\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}-4\sqrt{2}y=2+\sqrt{2}\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{4\sqrt{2}}}\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}\\ 2x-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}.\sqrt{2}=-2\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}\\ 2x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{4}}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}\\ x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{8}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{8}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}\right)$

LG b

$\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=2\end{array}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 

Trả lời:

Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$  rồi cộng từng vế của hai phương trình:

$\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}5x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=4\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}6x\sqrt{6}=6\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}.\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}\\ 1-y\sqrt{2}=2\end{array} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}\\ y\sqrt{2}=-1\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\\ y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$

LG a

A(2 ; 2) và B(-1 ; 3)           

Phương pháp giải:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)\iff a{x}_0+b=y_0$

Từ gt ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn $a;b$. Giải hệ phương trình ta tìm được $a;b.$

Trả lời:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(2;-2\right)$ và $B\left(-1;3\right)$ khi và chỉ khi $a$ và $b$ thỏa mãn hệ sau:

$\{\begin{array}{l}2a+b=-2\\ -a+b=3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}3a=-5\\ -a+b=3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\\ b={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$

Vậy $a=-{\displaystyle \frac{5}{3}};b={\displaystyle \frac{4}{3}}$ 

LG b

A(-4 ; -2) và B(2 ; 1)

Phương pháp giải:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)\iff a{x}_0+b=y_0$

Từ gt ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn $a;b$. Giải hệ phương trình ta tìm được $a;b.$

Trả lời:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(-4;-2\right)$ và $B\left(2;1\right)$ khi và chỉ khi $a$ và $b$ thỏa mãn hệ sau:

$\{\begin{array}{l}-4a+b=-2\\ 2a+b=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}-6a=-3\\ 2a+b=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b=0\end{array}$

Vậy $a={\displaystyle \frac{1}{2}};b=0$

LG c

A(3 ; -1) và B(-3 ; 2)           

Phương pháp giải:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)\iff a{x}_0+b=y_0$

Từ gt ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn $a;b$. Giải hệ phương trình ta tìm được $a;b.$

Trả lời:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(3;-1\right)$ và $B\left(-3;2\right)$ khi và chỉ khi $a$ và $b$ thỏa mãn hệ sau:

 $\{\begin{array}{l}3a+b=-1\\ -3a+b=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}3a+b=-1\\ 2b=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Vậy $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}};b={\displaystyle \frac{1}{2}}$

LG d

$A\left(\sqrt{3};2\right)$ và B(0 ; 2)  

Phương pháp giải:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)\iff a{x}_0+b=y_0$

Từ gt ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn $a;b$. Giải hệ phương trình ta tìm được $a;b.$

Trả lời:

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(\sqrt{3};2\right)$ và $B\left(0;2\right)$ khi và chỉ khi $a$ và $b$ thỏa mãn hệ sau $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a+b=2\\ 0.a+b=2\end{array}$

Giải hệ $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a+b=2\\ 0.a+b=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ \sqrt{3}.a+2=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=0\\ b=2\end{array}$ , ta được $a=0$ và $b=2$.

Vậy $a=0;b=2$.

LG a

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}=1\\ {\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{y}}=5\end{array}$ 

Hướng dẫn: Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x}},v={\displaystyle \frac{1}{y}}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x}}=u;{\displaystyle \frac{1}{y}}=v\left(u;v\ne 0\right)$

Trả lời:

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x}}=u;{\displaystyle \frac{1}{y}}=v,$ ta có hệ phương trình$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}u-v=1\\ 3u+4v=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3u-3v=3\\ 3u+4v=5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}3u+4v-(3u-3v)=5-3\\ 3u+4v=5\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}7v=2\\ u-v=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}v={\displaystyle \frac{2}{7}}\\ u={\displaystyle \frac{9}{7}}\end{array} \end{gathered}$$

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{9}{7}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{7}}\end{array}$

Giải hệ này, ta được $x={\displaystyle \frac{7}{9}}$  và $y={\displaystyle \frac{7}{2}}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{7}{9}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$

LG b

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{y-1}}=2\\ {\displaystyle \frac{2}{x-2}}-{\displaystyle \frac{3}{y-1}}=1\end{array}$

Hướng dẫn: Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x-2}},v={\displaystyle \frac{1}{y-1}}$

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}=u;{\displaystyle \frac{1}{y-1}}=v\left(u;v\ne 0\right)$

Trả lời:

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}=u;{\displaystyle \frac{1}{y-1}}=v$, ta có hệ phương trình$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}u+v=2\\ 2u-3v=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u+v=2\\ -5v=-3\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}v={\displaystyle \frac{3}{5}}\\ u={\displaystyle \frac{7}{5}}\end{array} \end{gathered}$$

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x-2}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y-1}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2={\displaystyle \frac{5}{7}}\\ y-1={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{19}{7}}\\ y={\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left({\displaystyle \frac{19}{7}};{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$