$\left(I\right)\{\begin{array}{c}2x-y=1\hfill \\ x+y=2\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ ta thu được phương trình mới.

Từ đó viết hệ phương trình mới thu được.

Lời giải:

$\left(I\right)\{\begin{array}{c}2x-y=1\hfill \\ x+y=2\hfill \end{array}$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I) ta được phương trình:

$(2x–y)–(x+y)=1–2$ hay $x–2y=-1$

Khi đó, ta thu được hệ phương trình mới:

$\{\begin{array}{c}x-2y=-1\hfill \\ x+y=2\hfill \end{array}$

Hoặc hệ 

$\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 2x-y=1\end{array}$

$(II)\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=6\end{array}$

Phương pháp giải:

Xác định từng hệ số của y ở mỗi phương trình và nhận xét

Lời giải chi tiết

Hệ số của y ở phương trình thứ nhất là 1 

Hệ số của y ở phương trình thứ hai là -1

Do đó, hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) đối nhau (có tổng bằng 0)

b) Áp dụng quy tắc cộng đại số, hãy giải hệ (III) bằng cách trừ từng vế hai phương trình của (III).

Phương pháp giải:

Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ (III) ta thu được 1 phương trình mới. Kết hợp với 1 phương trình cũ.

Từ đó suy ra hệ phương trình mới, giải hệ phương trình mới ta tìm được nghiệm $(x;y)$ của hệ.

Lời giải:

a) Hệ số của x trong hai phương trình của hệ (III) giống nhau  (cùng bằng $2$)

b) Ta có 

$\left(III\right)\{\begin{array}{c}2x+2y=9\hfill \\ 2x-3y=4\hfill \end{array}$

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai theo vế với vế, ta được phương trình: $5y=5$

Do đó

$\begin{array}{rl}& \left(III\right)\iff \{\begin{array}{c}5y=5\hfill \\ 2x-3y=4\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=1\hfill \\ 2x-3y=4\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=1\hfill \\ 2x-3.1=4\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=1\hfill \\ x=\frac{7}{2}\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left({\displaystyle \frac{7}{2}};1\right)$

$\left(IV\right)\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x+3y=3\end{array}$ 

Phương pháp giải:

Xem lại trường hợp 1 trang 17 SGK toán 9 tập 2

Lời giải:

$\left(IV\right)\iff \{\begin{array}{l}6x+4y=14\\ 6x+9y=9\end{array}$

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai vế với vế, ta được: $-5y=5$

Do đó:

$\begin{array}{l}\left(IV\right)\iff \{\begin{array}{l}-5y=5\\ 6x+9y=9\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=-1\\ 6x+9.\left(-1\right)=9\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=3\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(3;-1)$ 

Phương pháp giải:

Xem lại trường hợp 1 trang 17 SGK toán 9 tập 2

Lời giải:

Chia cả 2 vế của phương trình thứ nhất cho 3 và chia cả 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 ta được:

$\left(IV\right)\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x+3y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}y={\displaystyle \frac{7}{3}}\\ x+{\displaystyle \frac{3}{2}}y={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

Lúc này hệ số của x ở hai phương trình là bằng nhau và cùng bằng 1. 

Bài tập trang 19-20 SGK Toán 9

a) $\{\begin{array}{ccc}3x+y=3& & \\ 2x-y=7& & \end{array}$;b) $\{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x-3y=0& & \end{array}$;c) $\{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x-3y=0& & \end{array}$

d) $\{\begin{array}{ccc}2x+3y=-2& & \\ 3x-2y=-3& & \end{array}$;e) $\{\begin{array}{ccc}0,3x+0,5y=3& & \\ 1,5x-2y=1,5& & \end{array}$

Phương pháp giải:

+) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

+) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn, tìm được nghiệm thay vào phương trình còn lại ta được nghiệm của hệ đã cho. 

Lời giải:

a) Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

 $$\begin{gathered} \{\begin{array}{ccc}3x+y=3& & \\ 2x-y=7& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}3x+y+2x-y=3+7& & \\ 2x-y=7& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}5x=10& & \\ 2x-y=7& & \end{array} \end{gathered}$$

$\iff$ $\{\begin{array}{ccc}x=2& & \\ y=2x-7& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=2& & \\ y=2.2-7& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=2& & \\ y=-3& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2;-3)$.

b) Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

 $$\begin{gathered} \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x-3y=0& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x+5y-(2x-3y)=8-0& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 8y=8& & \end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ y=1& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{c}2x+5.1=8\\ y=1& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{3}{2}}& & \\ y=1& & \end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$.

c) Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

 $$\begin{gathered} \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x-3y=0& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 2x+5y-(2x-3y)=8-0& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ 8y=8& & \end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{ccc}2x+5y=8& & \\ y=1& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{c}2x+5.1=8\\ y=1& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{3}{2}}& & \\ y=1& & \end{array} \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$.

d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3$, nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

$\{\begin{array}{ccc}2x+3y=-2& & \\ 3x-2y=-3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}6x+9y=-6& & \\ 6x-4y=-6& & \end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{ccc}6x+9y=-6& & \\ 6x+9y-(6x-4y)=-6-(-6)& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}6x+9y=-6& & \\ 13y=0& & \end{array}\iff \end{gathered}$$$\{\begin{array}{ccc}x=-1& & \\ y=0& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-1;0)$.

e) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $5$ rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}0,3x+0,5y=3& & \\ 1,5x-2y=1,5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}1,5x+2,5y=15& & \\ 1,5x-2y=1,5& & \end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \{\begin{array}{ccc}1,5x+2,5y=15& & \\ 1,5x+2,5y-(1,5x-2y)=15-1,5& & \end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ccc}1,5x+2,5y=15& & \\ 4,5y=13,5& & \end{array} \end{gathered}$$

$\iff \{\begin{array}{ccc}1,5x=15-2,5.3& & \\ y=3& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}1,5x=7,5& & \\ y=3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=5& & \\ y=3& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(5;3)$.

a) $\{\begin{array}{ccc}x\sqrt{2}-3y=1& & \\ 2x+y\sqrt{2}=-2& & \end{array}$;           

b) $\{\begin{array}{ccc}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Hệ a) ta nhân phương trình thứ nhất với $-\sqrt{2}$, rồi cộng từng vế hai phương trình.

Hệ b) ta nhân phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$, rồi cộng từng vế hai phương trình.

Lời giải:

a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $-\sqrt{2}$, rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}x\sqrt{2}-3y=1& & \\ 2x+y\sqrt{2}=-2& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}-2x+3\sqrt{2}.y=-\sqrt{2}& & \\ 2x+\sqrt{2}y=-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-2x+3\sqrt{2}.y+2x+\sqrt{2}.y=-\sqrt{2}-2& & \\ 2x+\sqrt{2}y=-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}4\sqrt{2}.y=-\sqrt{2}-2& & \\ 2x+y\sqrt{2}=-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}}& & \\ 2x+y\sqrt{2}=-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}& & \\ 2x=-y\sqrt{2}-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}& & \\ 2x=-{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}.\sqrt{2}-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}& & \\ 2x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{4}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{8}}& & \\ y={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: (${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-6}{8}};{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{4}}$)

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$, rồi cộng từng vế hai phương trình.

Ta có $\{\begin{array}{ccc}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2& & \end{array}$

Suy ra

$\{\begin{array}{ccc}5\sqrt{6}x+y\sqrt{2}=4& & \\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}6\sqrt{6}x=6& & \\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2& & \end{array}$$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}& & \\ y\sqrt{2}=x\sqrt{6}-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}& & \\ y\sqrt{2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}.\sqrt{6}-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}& & \\ y\sqrt{2}=1-2=-1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}& & \\ y={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$

a) $\{\begin{array}{ccc}-5x+2y=4& & \\ 6x-3y=-7& & \end{array}$;b) $\{\begin{array}{ccc}2x-3y=11& & \\ -4x+6y=5& & \end{array}$;c) $\{\begin{array}{ccc}3x-2y=10& & \\ x-{\displaystyle \frac{2}{3}}y=3{\displaystyle \frac{1}{3}}& & \end{array}$

Phương pháp giải:

+) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

+) Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn, tìm được nghiệm thay vào phương trình còn lại ta được nghiệm của hệ đã cho. 

Lời giải:

Nhân phương trình trên với $3$, nhân phương trình dưới với $2$, rồi cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}-5x+2y=4& & \\ 6x-3y=-7& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}-15x+6y=12& & \\ 12x-6y=-14& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-3x=-2& & \\ -15x+6y=12& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ 6y=12+15.x& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ 6y=12+15.{\displaystyle \frac{2}{3}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ 6y=22& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ y={\displaystyle \frac{11}{3}}& & \end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{11}{3}}\right)$

b) Nhân hai vế phương trình trên với $2$ rồi cộng hai vế của hai phương trình với nhau, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}2x-3y=11& & \\ -4x+6y=5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}4x-6y=22& & \\ -4x+6y=5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}4x-6y=22& & \\ 4x-6y=-5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}4x-6y=22& & \\ 0x-0y=27(vôlý)& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) Đổi hỗn số về phân số rồi nhân hai vế của phương trình dưới với $3$ sau đó trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

$\{\begin{array}{ccc}3x-2y=10& & \\ x-{\displaystyle \frac{2}{3}}y=3{\displaystyle \frac{1}{3}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}3x-2y=10& & \\ x-{\displaystyle \frac{2}{3}}y={\displaystyle \frac{10}{3}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3x-2y=10& & \\ 3x-2y=10& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}0=0(Luônđúng)& & \\ 3x-2y=10& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y={\displaystyle \frac{3x-10}{2}}& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 

$\{\begin{array}{ccc}(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y=5(1)& & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3(2)& & \end{array}$

Phương pháp giải:

+) Trừ vế với vế của phương trình $(1)$ cho phương trình $(2)$ ta được phương trình bậc nhất một ấn (ẩn $y$.)

+) Giải phương trình một ẩn tìm được.

+) Thay nghiệm của phương trình một ẩn trên vào phương trình $(1)$ rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải:

Xét hệ $\{\begin{array}{ccc}(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y=5(1)& & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3(2)& & \end{array}$ 

Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2),  ta được:

$(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y-(1+\sqrt{2})x-(1+\sqrt{2})y=5-3$

$(1-\sqrt{2})y-(1+\sqrt{2})y=5-3$

$\iff (1-\sqrt{2}-1-\sqrt{2})y=2$

$\iff -2\sqrt{2}y=2$

$\iff y={\displaystyle \frac{-2}{2\sqrt{2}}}$

$\iff y={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}$   $(3)$

Thay $(3)$ vào $(1)$ ta được:

$(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2}){\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}=5$

$\iff (1+\sqrt{2})x+{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}}=5$

$\iff (1+\sqrt{2})x+{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}+1=5$

$\iff (1+\sqrt{2})x=5-{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}-1$

$\iff (1+\sqrt{2})x={\displaystyle \frac{8+\sqrt{2}}{2}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{8+\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{(8+\sqrt{2}).(1-\sqrt{2})}{2(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{8-8\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{2(1-2)}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{6-7\sqrt{2}}{-2}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{7\sqrt{2}-6}{2}}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $\left({\displaystyle \frac{7\sqrt{2}-6}{2}};{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}\right)$

a) $\{\begin{array}{ccc}2(x+y)+3(x-y)=4& & \\ (x+y)+2(x-y)=5& & \end{array}$

b) $\{\begin{array}{ccc}2(x-2)+3(1+y)=-2& & \\ 3(x-2)-2(1+y)=-3& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Cách 1: Thực hiện nhân phá ngoặc thu gọn vế trái rồi áp dụng quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình.

Cách 2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

+) Đặt điều kiện (nếu có).

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn đã đặt.

+) Thay kết quả tìm được vào ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

a) Cách 1:  Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}2(x+y)+3(x-y)=4& & \\ (x+y)+2(x-y)=5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}2x+2y+3x-3y=4& & \\ x+y+2x-2y=5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}5x-y=4& & \\ 3x-y=5& & \end{array}$

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 

$\iff \{\begin{array}{ccc}2x=-1& & \\ 3x-y=5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ y=3x-5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ y=3.{\displaystyle \frac{-1}{2}}-5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ y={\displaystyle \frac{-13}{2}}& & \end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{-1}{2}};{\displaystyle \frac{-13}{2}}\right)$.

Cách 2: Đặt ẩn phụ.

Đặt $\{\begin{array}{ccc}x+y=u& & \\ x-y=v& & \end{array}$  ta có hệ phương trình mới (ẩn $u,v$ )

$\{\begin{array}{ccc}2u+3v=4& & \\ u+2v=5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2u+3v=4& & \\ 2u+4v=10& & \end{array}$

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 

$\iff \{\begin{array}{ccc}2u+3v=4& & \\ -v=-6& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2u+3v=4& & \\ v=6& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}2u=4-3.6& & \\ v=6& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}u=-7& & \\ v=6& & \end{array}$

Với $u=-7;v=6$ thay lại cách đặt, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}x+y=-7& & \\ x-y=6& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2x=-1& & \\ x-y=6& & \end{array}$

Cộng vế với vế của hai phương trình ta được:

$\{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{-1}{2}}& & \\ y=x-6& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ y=-{\displaystyle \frac{13}{2}}& & \end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left({\displaystyle \frac{-1}{2}};{\displaystyle \frac{-13}{2}}\right)$.

b) Cách 1: Phá ngoặc và thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\{\begin{array}{ccc}2(x-2)+3(1+y)=-2& & \\ 3(x-2)-2(1+y)=-3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}2x-4+3+3y=-2& & \\ 3x-6-2-2y=-3& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}2x+3y=-1& & \\ 3x-2y=5& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}6x+9y=-3& & \\ 6x-4y=10& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6x+9y=-3& & \\ 13y=-13& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}6x=-3-9y& & \\ y=-1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}6x=6& & \\ y=-1& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}x=1& & \\ y=-1& & \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(1;-1)$.

Cách 2:  Đặt ẩn phụ

Đặt $x–2=u$ và $y+1=v.$ 

Khi đó hệ phương trình trở thành :

$\{\begin{array}{l}2u+3v=-2\\ 3u-2v=-3\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được hệ:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}4u+6v=-4\\ 9u-6v=-9\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}4u+6v+9u-6v=-4+\left(-9\right)\\ 4u+6v=-4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}13u=-13\\ 6v=-4u-4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}u=-1\\ 6v=-4.\left(-1\right)-4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}u=-1\\ 6v=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}u=-1\\ v=0\end{array}\end{array}$

+ Với $u=-1\Rightarrow x–2=-1\Rightarrow x=1.$

+ Với $v=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(1;-1).$

$P(x)=(3m-5n+1)x+(4m-n-10)$.

Phương pháp giải:

+) Đa thức $P(x)=ax+b=0(đathức0)\iff \{\begin{array}{ccc}a=0& & \\ b=0& & \end{array}$.

+) Giải hệ phương trình trên ta được giá trị cần tìm.

Lời giải:

Ta có 

$P(x)=(3m-5n+1)x+(4m-n-10)$ có hai hệ số là $a=(3m-5n+1)$ và $b=(4m-n-10)$.

Do đó $P(x)=0\iff \{\begin{array}{ccc}3m-5n+1=0& & \\ 4m-n-10=0& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3m-5n=-1& & \\ 4m-n=10& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}3m-5n=-1& & \\ 20m-5n=50& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}3m-5n-\left(20m-5n\right)=-1-50\\ 4m-n=10\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-17m=-51& & \\ 4m-n=10& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}m=3& & \\ -n=10-4.3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}m=3& & \\ n=2& & \end{array}$

Vậy $m=3,n=2$ thì đa thức $P(x)=0$. 

a) $A(2;-2)$ và $B(-1;3)$

b) $A(-4;-2)$ và $B(2;1)$

c) $A(3;-1)$ và $B(-3;2)$ 

d) $A(\sqrt{3};2)$ và $B(0;2)$

Phương pháp giải:

Xác định $a,b$ để đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A,B$.

+) Lần lượt thay tọa độ của $A,B$ vào $y=ax+b$ thì được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$.

+) Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a,b$.

Lời giải:

a) Hàm số $y=ax+b$ $(1)$

Vì đồ thị hàm số đi qua $A(2;-2)$, thay $x=2,y=-2$ vào $(1)$, ta được: $-2=2a+b$.

Vì đồ thị hàm số đi qua  $B(-1;3)$, thay $x=-1,y=3$ vào $(1)$, ta được: $3=-a+b$.

Ta có hệ phương trình ẩn là $a$ và $b$.

$\{\begin{array}{ccc}2a+b=-2& & \\ -a+b=3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2a+b-\left(-a+b\right)=-2-3\\ -a+b=3\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3a=-5& & \\ -a+b=3& & \end{array}$.

 $\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{-5}{3}}& & \\ -b=a+3& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{-5}{3}}& & \\ b={\displaystyle \frac{-5}{3}}+3& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}a=-{\displaystyle \frac{5}{3}}& & \\ b={\displaystyle \frac{4}{3}}& & \end{array}$

Vậy $a=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ và $b={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

b) Hàm số $y=ax+b$ $(1)$ 

Vì đồ thị hàm số đi qua $A(-4;-2)$, thay $x=-4,y=-2$ vào $(1)$, ta được: $-2=-4a+b$.

Vì đồ thị hàm số đi qua $B(2;1)$, thay $x=2,y=1$ vào $(1)$, ta được: $1=2a+b$.

Ta có hệ phương trình ẩn là $a,b$:

$\{\begin{array}{ccc}-4a+b=-2& & \\ 2a+b=1& & \end{array}$ 

$\{\begin{array}{l}-4a+b-\left(2a+b\right)=-2-1\\ 2a+b=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-6a=-3& & \\ 2a+b=1& & \end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ b=1-2a& & \end{array}$  $\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ b=1-2.{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \end{array}$  $\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ b=0& & \end{array}$

Vậy $a={\displaystyle \frac{1}{2}};b=0$.

c) Hàm số $y=ax+b$ $(1)$ 

Vì đồ thị hàm số đi qua $A(3;-1)$, thay $x=3,y=-1$ vào $(1)$, ta được: $-1=3a+b$

Vì đồ thị hàm số đi qua $B(-3;2)$, thay $x=-3,y=2$ vào $(1)$, ta được: $2=-3a+b$.

Ta có hệ phương trình ẩn $a,b$:

$\{\begin{array}{ccc}3a+b=-1& & \\ -3a+b=2& & \end{array}$  

$\iff \{\begin{array}{l}3a+b=-1\\ 3a+b+\left(-3a+b\right)=-1+2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}3a+b=-1& & \\ 2b=1& & \end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{ccc}3a=-1-b& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}3a=-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{ccc}3a={\displaystyle \frac{-3}{2}}& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{-1}{2}}& & \\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}& & \end{array}$

Vậy $a={\displaystyle \frac{-1}{2}},b={\displaystyle \frac{1}{2}}$. 

d) Hàm số $y=ax+b$ $(1)$ 

Vì đồ thị hàm số đi qua $A(\sqrt{3};2)$, thay $x=\sqrt{3},y=2$ vào $(1)$, ta được: $2=\sqrt{3}a+b$.

Vì đồ thị hàm số đi qua $B(0;2)$, thay $x=0,y=2$ vào $(1)$, ta được:  $2=0.a+b$.

Ta có hệ phương trình ẩn là $a,b$.

$\{\begin{array}{ccc}\sqrt{3}.a+b=2& & \\ 0.a+b=2& & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{ccc}\sqrt{3}.a+b=2& & \\ b=2& & \end{array}$  $\iff \{\begin{array}{ccc}a=0& & \\ b=2& & \end{array}$ 

Vậy $a=0,b=2$.

a) $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}=1& & \\ {\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{y}}=5& & \end{array}$

Hướng dẫn. Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x}},v={\displaystyle \frac{1}{y}}$

b) $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{y-1}}=2& & \\ {\displaystyle \frac{2}{x-2}}-{\displaystyle \frac{3}{y-1}}=1& & \end{array}$

Hướng dẫn. Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x-2}},v={\displaystyle \frac{1}{y-1}}$.

Phương pháp giải:

Phương pháp đặt ẩn phụ:

+) Đặt điều kiện (nếu có)

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.

+) Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải :

Điền kiện $x\ne 0,y\ne 0$.

Đặt $\{\begin{array}{ccc}u={\displaystyle \frac{1}{x}}& & \\ v={\displaystyle \frac{1}{y}}& & \end{array}$ (với $u\ne 0,v\ne 0$ ).

Hệ phương trình đã cho trở thành:

$\{\begin{array}{ccc}u-v=1& & \\ 3u+4v=5& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}3u-3v=3& & \\ 3u+4v=5& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}3u-3v-\left(3u+4v\right)=3-5\\ 3u+4v=5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}-7v=-2& & \\ 3u=5-4v& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}v={\displaystyle \frac{2}{7}}& & \\ 3u=5-4.{\displaystyle \frac{2}{7}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}v={\displaystyle \frac{2}{7}}& & \\ u={\displaystyle \frac{9}{7}}& & \end{array}(thỏamãn)$

$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{9}{7}}& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{7}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{7}{9}}& & \\ y={\displaystyle \frac{7}{2}}& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left({\displaystyle \frac{7}{9}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

b) Điều kiện $\{\begin{array}{ccc}x-2\ne 0& & \\ y-1\ne 0& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x\ne 2& & \\ y\ne 1& & \end{array}$

Đặt $\{\begin{array}{ccc}u={\displaystyle \frac{1}{x-2}}& & \\ v={\displaystyle \frac{1}{y-1}}& & \end{array}$ (với $u\ne 0,v\ne 0$ ).

Hệ phương trình đã cho trở thành: 

$\{\begin{array}{ccc}u+v=2& & \\ 2u-3v=1& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2u+2v=4& & \\ 2u-3v=1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2u+2v-\left(2u-3v\right)=4-1\\ u+v=2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}5v=3& & \\ u+v=2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}v={\displaystyle \frac{3}{5}}& & \\ u=2-v& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}v={\displaystyle \frac{3}{5}}& & \\ u=2-{\displaystyle \frac{3}{5}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}v={\displaystyle \frac{3}{5}}& & \\ u={\displaystyle \frac{7}{5}}& & \end{array}(thỏamãn)$

$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{x-2}}={\displaystyle \frac{7}{5}}& & \\ {\displaystyle \frac{1}{y-1}}={\displaystyle \frac{3}{5}}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}x-2={\displaystyle \frac{5}{7}}& & \\ y-1={\displaystyle \frac{5}{3}}& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{5}{7}}+2& & \\ y={\displaystyle \frac{5}{3}}+1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}x={\displaystyle \frac{19}{7}}& & \\ y={\displaystyle \frac{8}{3}}& & \end{array}(thỏamãn)$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left({\displaystyle \frac{19}{7}};{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$.

Lý thuyết Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1. Các kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng đại số

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một phương trình mới.

Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm như sau:

Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trog hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn ).

Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho .

Dạng 2: Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đẫ cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng $1$

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung có trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng $1$

Bước 3.  Trả lại biến đã đặt từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức:

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$

có nghiệm $(x_0;y_0)$ $\iff \{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0=c\\ a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=c^{\prime }\end{array}.$

+ Đường thẳng $d:ax+by=c$ đi qua điểm $M(x_0;y_0)\iff a{x}_0+b{y}_0=c.$