Kiểm tra rằng cặp số $(x;y)=(2;-1)$ vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Phương pháp giải:

+ Cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của phương trình $ax+by=c$ khi $(x_0;y_0)$ thỏa mãn hệ thức $a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

+ Thay $x=2;y=-1$ vào phương trình $2x+y=3$ ta được $2.2+(-1)=3\iff 3=3$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ cặp số $(x;y)=(2;-1)$ là nghiệm của phương trình $2x+y=3$

+ Thay $x=2;y=-1$ vào phương trình $x–2y=4$ ta được $2–2.(-1)=4\iff 4=4$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ cặp số $(x;y)=(2;-1)$ là nghiệm của phương trình $x–2y=4$

Vậy cặp số $(x;y)=(2;-1)$ vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai

Nếu điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ thì tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$ của điểm $M$ là một … của phương trình $ax+by=c.$

Phương pháp giải:

Mọi điểm thuộc đường thẳng $d:ax+by=c$ đều có tọa độ là nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

Lời giải:

Nếu điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ thì tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$ của điểm $M$ là một nghiệm của phương trình $ax+by=c.$

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

Biến đổi từng phương trình trong hệ để có được phương trình giống nhau

Từ đó kết luận về tập nghiệm của cả hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

Ta có 

$\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ -2x+y=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y=2x-3\end{array}$ 

Nên hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng $y=2x–3$

Bài tập trang 11-12 SGK Toán 9

a) $\{\begin{array}{ccc}y=3-2x& & \\ y=3x-1& & \end{array}$;                     

b) $\{\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3& & \\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1& & \end{array}$;

c) $\{\begin{array}{ccc}2y=-3x& & \\ 3y=2x& & \end{array}$;                           

d) $\{\begin{array}{ccc}3x-y=3& & \\ x-{\displaystyle \frac{1}{3}}y=1& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Ta biến đổi các hệ phương trình đã cho về dạng $\{\begin{array}{l}y=ax+b\\ y=a^{\prime }x+b^{\prime }\end{array}$  

Gọi đường thẳng $(d):y=ax+b$ và đường thẳng $(d^{\prime }):y=a^{\prime }x+b^{\prime }$. Ta so sánh các hệ số $a,a^{\prime }$; $b,b^{\prime }$.

+) Nếu $a\ne a^{\prime }$ thì $d$ cắt $d^{\prime }\Rightarrow$  hệ đã cho có một nghiệm duy nhất.

+) Nếu $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }$ thì $d$ song song với $d^{\prime }\Rightarrow$  hệ đã cho vô nghiệm.

+) Nếu $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$ thì $d$ trùng với $d^{\prime }\Rightarrow$ hệ đã cho có vô số nghiệm. 

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}y=3-2x& & \\ y=3x-1& & \end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{ccc}y=-2x+3(d)& & \\ y=3x-1(d^{\prime })& & \end{array}$

Ta có $a=-2,a^{\prime }=3$ nên $a\ne a^{\prime }$.

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ cắt nhau nên hệ phương trình đã cho  có một nghiệm duy nhất.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3(d)& & \\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1(d^{\prime })& & \end{array}$

Ta có $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b=3$ và $a^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b^{\prime }=1$ nên $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }$.

 Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ song song nên hệ phương trình đã cho  vô nghiệm.

c) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}2y=-3x& & \\ 3y=2x& & \end{array}$⇔ $\{\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x(d)& & \\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}x(d^{\prime })& & \end{array}$

Ta có $a=-{\displaystyle \frac{3}{2}},a^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}$ nên $a\ne a^{\prime }$

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ cắt nhau nên hệ phương trình đã cho  có một nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}3x-y=3& & \\ x-{\displaystyle \frac{1}{3}}y=1& & \end{array}$ ⇔$\{\begin{array}{ccc}y=3x-3& & \\ {\displaystyle \frac{1}{3}}y=x-1& & \end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{ccc}y=3x-3(d)& & \\ y=3x-3(d^{\prime })& & \end{array}$

Ta có $a=3,b=-3$  và  $a^{\prime }=3,b^{\prime }=-3$ nên $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$.

 Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ trùng nhau nên hệ phương trình đã cho  có vô số nghiệm.

a) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-y=1\hfill \\ x-2y=-1\hfill \end{array}$;           b) $\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+y=4\hfill \\ -x+y=1\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

+ Ta biến đổi các hệ phương trình đã cho về dạng $\{\begin{array}{l}y=ax+b\\ y=a^{\prime }x+b^{\prime }\end{array}$  

Gọi đường thẳng $(d):y=ax+b$ và đường thẳng $(d^{\prime }):y=a^{\prime }x+b^{\prime }$. 

+) Vẽ đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ.

+) Tìm giao điểm.

+) Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ hai phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\{\begin{array}{c}2x-y=1\hfill \\ x-2y=-1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=2x-1(d)\hfill \\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}(d^{\prime })\hfill \end{array}$

+) Vẽ $(d)$: $y=2x-1$

Cho $x=0\Rightarrow y=-1$, ta được $A(0;-1)$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, ta được $B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};0\right)$.

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

+) Vẽ $(d^{\prime })$: $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}$, ta được $C\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=-1$, ta được $D=(-1;0)$.

Đường thẳng (d') là đường thẳng đi qua hai điểm $C,D$.

+) Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $M(1,1)$.

Thay $x=1,y=1$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x-2y=-1\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2.1-1=1\\ 1-2.1=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1=1\\ -1=-1\end{array}$  (luôn đúng) 

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x;y)=(1;1)$.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}2x+y=4\hfill \\ -x+y=1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=-2x+4(d)\hfill \\ y=x+1(d^{\prime })\hfill \end{array}$

+) Vẽ $(d)$: $y=-2x+4$

Cho $x=0\Rightarrow y=4$, ta được $A(0;4)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=2$, ta được $B(2;0)$.

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

Vẽ $(d^{\prime })$: $y=x+1$

Cho $x=0\Rightarrow y=1$, ta được $C(0;1)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=-1$, ta được $D(-1;0)$.

Đường thẳng (d') là đường thẳng đi qua hai điểm $C,D$.

Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $N(1;2)$.

Thay $x=1,y=2$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -x+y=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2.1+2=4\\ -1+2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4=4\\ 1=1\end{array}$  (luôn đúng) 

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x;y)=(1;2)$.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương.

Lời giải:

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng $S=\varphi$ (rỗng). 

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

$(I)$ $\{\begin{array}{ccc}y=x& & \\ y=x& & \end{array}$ và  $(II)$ $\{\begin{array}{ccc}y=-x& & \\ y=-x& & \end{array}$

Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ $(I)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=x$, còn tập nghiệm của phương trình $(II)$ được biểu diễn bởi đường thẳng $y=-x$. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Phương pháp giải:

a) Từ phương trình $ax+by=c$  $($ với $b\ne 0)$ rút biến $y$ theo biến $x$, ta được: $y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}$. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là:

$\{\begin{array}{c}x\in R\hfill \\ y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}\hfill \end{array}$ 

b) +) Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định giao điểm. Thử lại tọa độ vào hai phương trình, nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm chung của hệ hai phương trình.

Lời giải:

a) Ta có:

+) $2x+y=4\iff y=-2x+4$. 

Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát là:

$\{\begin{array}{c}x\in R\hfill \\ y=-2\mathrm{x}+4\hfill \end{array}$ 

+) $3x+2y=5\iff y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau: 

$\{\begin{array}{c}x\in R\hfill \\ y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \end{array}$

b) +) Vẽ $(d)$: $y=-2x+4$

Cho $x=0\Rightarrow y=4$  được  $A(0;4)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=2$  được  $B(2;0)$.

Đường thẳng $(d)$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

+) Vẽ $(d^{\prime })$: $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{2}}$,  ta được  $M\left(0;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{3}}$,  ta được  $N\left({\displaystyle \frac{5}{3}};0\right)$.

Đường thẳng $(d^{\prime })$ là đường thẳng đi qua hai điểm $M,N$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại $D(3;-2)$.

Thay $x=3,y=-2$ vào từng phương trình ta được:

$2.3+(-2)=4$ và $3.3+2.(-2)=5$ (thỏa mãn)

Vậy $(3;-2)$ là nghiệm chung của các phương trình đã cho.

$a)\{\begin{array}{c}x=2\hfill \\ 2x-y=3\hfill \end{array}$

$b)\{\begin{array}{c}x+3y=2\hfill \\ 2y=4\hfill \end{array}$

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Phương pháp giải:

+) Trong mỗi hệ phương trình, ta biến đổi phương trình có dạng $ax+by=c$  với $b\ne 0)$ bằng cách rút biến $y$ theo biến $x$, ta được: $y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x+{\displaystyle \frac{c}{b}}$.

+) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ trên cùng một hệ trục tọa độ.

+) Xác định tọa độ giao điểm. Thay tọa độ vào hệ ban đầu. Nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

a) Ta có

$\{\begin{array}{c}x=2\hfill \\ 2x-y=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2(d)\hfill \\ y=2x-3(d^{\prime })\hfill \end{array}$

Dự đoán: Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng $(d):x=2$ song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng $(d^{\prime }):y=2x-3$ cắt hai trục tọa độ.

+) Vẽ $(d)$: $x=2$ là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ $(2;0)$ và song song với trục $Oy$.

+) Vẽ $(d^{\prime })$: $y=2x-3$

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $A(0;-3)$.

Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ta được $B\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$.

Đường thẳng (d') là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại $N(2;1)$.

Thay $x=2,y=1$ vào hệ phương trình 

$\{\begin{array}{l}x=2\\ 2x-y=3\end{array}$ ta được 

$\{\begin{array}{l}2=2\\ 2.2-1=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2=2\\ 3=3\end{array}$  (luôn đúng) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(2;1)$.

$b)\{\begin{array}{c}x+3y=2\hfill \\ 2y=4\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}(d)\hfill \\ y=2(d^{\prime })\hfill \end{array}$

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng $(d):y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng $(d^{\prime }):y=2$ song song với trục hoành.

+) Vẽ $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ta được $A\left(0;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$ .

Cho $y=0\Rightarrow x=2$ ta được $B(2;0)$.

Đồ thị hàm số $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

+) Vẽ  $y=2$ là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ $(0;2)$ trên trục tung và song song với trục hoành ($Ox$)

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại $M(-4;2)$. 

Thay $x=-4,y=2$ vào hệ phương trình 

$\{\begin{array}{l}x+3y=2\\ 2y=4\end{array}$ ta được

$\{\begin{array}{l}-4+3.2=2\\ 2.2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2=2\\ 4=4\end{array}$  (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(-4;2)$.

a) $\{\begin{array}{ccc}x+y=2& & \\ 3x+3y=2& & \end{array}$;                 

b) $\{\begin{array}{ccc}3x-2y=1& & \\ -6x+4y=0& & \end{array}$

Phương pháp giải:

Đưa hệ phương trình đã cho về dạng 

$\{\begin{array}{l}y=ax+b\left(d\right)\\ y=a^{\prime }x+b^{\prime }\left(d^{\prime }\right)\end{array}$

Ta so sánh các hệ số $a,b$ và $a^{\prime },b^{\prime }$.

Nếu $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }$ thì $d$ song song với $d^{\prime }\Rightarrow$  hệ vô nghiệm.

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}x+y=2& & \\ 3x+3y=2& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}y=-x+2& & \\ 3y=-3x+2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=-x+2(d)& & \\ y=-x+{\displaystyle \frac{2}{3}}(d^{\prime })& & \end{array}$

Suy ra $a=-1,a^{\prime }=-1$;  $b=2,b^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}$ nên $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }.$

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ song song nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}3x-2y=1& & \\ -6x+4y=0& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}2y=3x-1& & \\ 4y=6x& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}(d)& & \\ y={\displaystyle \frac{3}{2}}x(d^{\prime })& & \end{array}$

Ta có: $a={\displaystyle \frac{3}{2}},a^{\prime }={\displaystyle \frac{3}{2}}$, $b=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b^{\prime }=0$ nên $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }$.

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$ song song với nhau nên hệ đã cho vô nghiệm. 

Phương pháp giải:

Đưa hệ phương trình đã cho về dạng 

$\{\begin{array}{l}y=ax+b\left(d\right)\\ y=a^{\prime }x+b^{\prime }\left(d^{\prime }\right)\end{array}$

Ta so sánh các hệ số $a,b$ và $a^{\prime },b^{\prime }$. 

Nếu $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$ thì $d$ trùng với $d^{\prime }\Rightarrow$ hệ có vô số nghiệm.

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}4x-4y=2& & \\ -2x+2y=-1& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}4y=4x-2& & \\ 2y=2x-1& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}(d)& & \\ y=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}(d^{\prime })& & \end{array}$

Suy ra $a=a^{\prime }=1;b=b^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$  trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

b) Ta có:

$\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-y={\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ x-3y=2& & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}& & \\ 3y=x-2& & \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}(d)& & \\ y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}(d^{\prime })& & \end{array}$

Suy ra $a=a^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $b=b^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Do đó hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{\prime })$  trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Qua hai điểm phân biệt vẽ được một và chỉ một đường thẳng.

Lời giải:

Giả sử hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $\{\begin{array}{ccc}ax+by=c(d)& & \\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(d^{\prime })& & \end{array}$

có hai nghiệm phân biệt. Khi đó $(d)$ và $(d^{\prime })$ giao nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

Do đó $A,B$ nằm trên đường thẳng $d$.

Cũng có $A,B$ cùng nằm trên đường thẳng $d^{\prime }$.

Vì qua hai điểm phân biệt ta luôn vẽ được một và chỉ một đường thẳng nên $d$ và $d^{\prime }$ trùng nhau. Tức là hệ trên có vô số nghiệm.

Lý thuyết Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\{\begin{array}{l}ax+by=c(1)\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }(2)\end{array}$

Trong đó $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $(x_0,y_0)$thì$(x_0,y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương  nếu chúng có cùng tập nghiệm

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Các dạng toán thường gặp

Phương pháp:

Cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$ khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp:

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng $d:ax+by=c$ và $d^{\prime }:a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng)