b) Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình $2x–y=1.$

Phương pháp giải:

a) Cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm của phương trình $ax+by=c$ khi $\left(x_0;y_0\right)$ thỏa mãn hệ thức $a{x}_0+b{y}_0=c$

b) Để tìm một nghiệm khác của phương trình $2x-y=1$ ta cho $x$ nhận giá trị khác nghiệm tìm được ở câu a) rồi thay vào phương trình để tìm $y$. Từ đó tìm được nghiệm $\left(x;y\right)$ của phương trình.

Lời giải:

a) + Cặp số $(1;1)$ là nghiệm của phương trình $2x–y=1$ vì  thay $x=1;y=1$ vào phương trình ta được $2.1–1=1$ $\iff 1=1$ (luôn đúng).

+ Cặp số $(0,5;0)$ là nghiệm của phương trình $2x–y=1$ vì  thay $x=0,5;y=0$ vào phương trình ta được $2.0,5–0=1$ $\iff 1=1$ (luôn đúng).

b) Chọn $x=2$ ta có: $2.2-y=1\iff y=3$

Vậy cặp số $(2;3)$ là một nghiệm của phương trình $2x–y=1.$

Phương pháp giải:

Chú ý rằng với mỗi x bất kì ta đều tìm được y thỏa mãn phương trình và ngược lại. Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.

Lời giải:

Vì với mỗi x bất kì ta đều tìm được y thỏa mãn phương trình và ngược lại.

Do đó, phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm

Lời giải:

 Vậy 6 nghiệm của phương trình là : $(-1;-3),(0;-1),(0,5;0),$$(1;1),(2;3),(2,5;4)$

Bài tập trang 7 SGK Toán 9

a) $5x+4y=8$ ?                            b) $3x+5y=-3$ ?

Phương pháp giải:

Cặp $(x_0;y_0)$ là nghiệm của phương trình $ax+by=c$ nếu khi thay $x=x_0,y=y_0$ vào phương trình ta được hai vế bằng nhau. 

Lời giải:

a) +) Xét cặp số $(-2;1)$. Thay $x=-2;y=1$ vào phương trình $5x+4y=8$ ta được 

$\{\begin{array}{c}VT=5.\left(-2\right)+4.1=-6\hfill \\ VP=8\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (-2;1)$ không là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

+) Xét cặp số $(0;2)$. Thay $x=0;y=2$ vào phương trình $5x+4y=8$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=5.0+4.2=8\hfill \\ VP=8\hfill \end{array}\Rightarrow VT=VP$

$\Rightarrow (0;2)$ là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

+) Xét cặp số $(-1;0)$. Thay $x=-1;y=0$ vào phương trình $5x+4y=8$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=5.\left(-1\right)+4.0=-5\hfill \\ VP=8\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (-1;0)$ không là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

+) Xét cặp số $(1,5;3)$. Thay $x=1,5;y=3$ vào phương trình $5x+4y=8$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=5.1,5+4.3=19,5\hfill \\ VP=8\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (1,5;3)$ không là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

+) Xét cặp số $(4;-3)$. Thay $x=4;y=-3$ vào phương trình $5x+4y=8$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=5.4+4.\left(-3\right)=8\hfill \\ VP=8\hfill \end{array}\Rightarrow VT=VP$

$\Rightarrow (4;-3)$  là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

Vậy có hai cặp số $(0;2)$ và $(4;-3)$ là nghiệm của phương trình $5x+4y=8$.

b) +) Xét cặp số $(-2;1)$. Thay $x=-2;y=1$ vào phương trình $3x+5y=-3$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=3.\left(-2\right)+5.1=-1\hfill \\ VP=-3\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (-2;1)$ không là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$ .

+) Xét cặp số $(0;2)$. Thay $x=0;y=2$ vào phương trình $3x+5y=-3$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=3.0+5.2=10\hfill \\ VP=-3\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (0;2)$ không là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$ .

+) Xét cặp số $(-1;0)$. Thay $x=-1;y=0$ vào phương trình $3x+5y=-3$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=3.\left(-1\right)+5.0=-3\hfill \\ VP=-3\hfill \end{array}\Rightarrow VT=VP$

$\Rightarrow (-1;0)$ là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$ .

+) Xét cặp số $(1,5;3)$. Thay $x=1,5;y=3$ vào phương trình $3x+5y=-3$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=3.1,5+5.3=19,5\hfill \\ VP=-3\hfill \end{array}\Rightarrow VT\ne VP$

$\Rightarrow (1,5;3)$ không là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$ .

+) Xét cặp số $(4;-3)$. Thay $x=4;y=-3$ vào phương trình $3x+5y=-3$ ta được

$\{\begin{array}{c}VT=3.4+5.\left(-3\right)=-3\hfill \\ VP=-3\hfill \end{array}\Rightarrow VT=VP$

$\Rightarrow (4;-3)$ là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$ .

Vậy có hai cặp số $(-1;0)$ và $(4;-3)$ là nghiệm của phương trình $3x+5y=-3$.

Phương pháp giải:

1) Cho phương trình: $ax+by=c,(b\ne 0)$. Biến đổi $ax+by=c\iff y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x+c$.

+) Cho $x=0\Rightarrow y=c$. Đường thẳng đi qua điểm $A(0;c)$

+) Cho $y=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{b.c}{a}}$. Đường thẳng đi qua điểm $B\left({\displaystyle \frac{b.c}{a}};0\right)$

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

2) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ là nghiệm của phương trình: $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime }$. Giải phương trình tìm được $x$ thay vào một trong hai phương trình trên tìm được tung độ giao điểm.

Lời giải:

* Ta có: $x+2y=4\Rightarrow 2y=-x+4\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$.

+ Cho $x=0\Rightarrow y=2$ ta được $A(0;2)$.

+ Cho $y=0\Rightarrow x=4$ ta được $B(4;0)$.

Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng đi qua $A,B$.

* Ta có: $x-y=1\Rightarrow y=x-1$.

+ Cho $x=0\Rightarrow y=-1$ ta được $C(0;-1)$.

+ Cho $y=0\Rightarrow x=1$ ta được $D(1;0)$.

Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng đi qua $C,D$.

* Tìm giao điểm:

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2=x-1$

$\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}x-x=-1-2$

$\iff -{\displaystyle \frac{3}{2}}x=-3$

$\iff x=2$

$\Rightarrow y=2-1=1$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là $(2;1)$. Tọa độ của nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho.

Lý thuyết Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax+by=c$

Trong đó $a,b,c$  là những số cho trước $a\ne$$0$  hoặc $b\ne 0$ .

- Nếu các số thực $x_0,y_0$ thỏa mãn $ax+by=c$ thì cặp số $(x_0,y_0)$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $(x_0,y_0)$ của phương trình $ax+by=c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $(x_0,y_0)$.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực $(x_0,y_0)$thỏa mãn $ax+by=c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax+by=c$.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax+by=c$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu $a\ne 0$ và $b=0$ thì phương trình đường thẳng $d:ax+by=c$ có dạng $d:x={\displaystyle \frac{c}{a}}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .

2. Nếu $a=0$ và $b\ne 0$ thì phương trình đường thẳng $d:ax+by=c$ có dạng $d:y={\displaystyle \frac{c}{b}}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .

3. Đường thẳng $d:ax+by=c$ đi qua điểm $M(x_0,y_0)$ khi và chỉ khi $a{x}_0+b{y}_0=c$.

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên $t$, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $(x_0,y_0)$ của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.