Câu 17: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB = 10cm; CD = 8cm; MC = 1cm. Bán kinh R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là:

Lời giải:

Xét đường tròn (O).

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ  OF ⊥ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD

Xét tứ giác OEMF có  nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 8cm ⇒ FC = 4cm mà MC = 1cm ⇒ FM = FC – MC = 4 – 1 = 3cm

nên OE = FM = 3cm

E là trung điểm của AB nên 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có:

Lại có  nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có:

Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 3√2 cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. So sánh độ dài CE và DF.

A. CE > DF

B. CE = 2DF

C. CE < DF

D. CE = DF

Lời giải:

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI // AE // FB ⇒ OI ⊥ EF

Hay  OI ⊥ CD nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Ta có IE = IF; IC = ID ⇒ IE – IC = IF – ID ⇔ EC = DF

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây MN. Kẻ AE và BF vuông góc với MN lần lượt tại E và F. So sánh độ dài OE và OF.

Lời giải:

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI // AE // FB ⇒ OI ⊥ EF

Hay  OI ⊥ CD nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên OEF cân tại O

Suy ra OE = OF

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD song song. So sánh độ dài AC và BD

A. AC > BD

B. AC < BD

C. AC = BD

D. AC = 3BD

Lời giải:

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với A tại E và cắt BD tại F thì EF BD tại F vì AC // BD.

Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có OB = OA;  (so le trong)

Nên ΔAEO = ΔBFO (ch-gn) ⇒ OE = OF ⇒ AC = DB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C là trung điểm đoạn OB. Kẻ dây MN qua C và dây AD//MN. So sánh độ dài AD và MN

A. AD = 2.MN

B. AD = MN

C. AD > MN

D. AD < MN

Lời giải:

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AD tại E và cắt MN tại F thì EF ⊥ MN tại F vì AC // MN

Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFC có:

Hay OE > OF suy ra AD < MN (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 22: Cho đường tròn (O), dây cùng AB và CD với CD < AB. Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N. So sánh KM và KN.

Lời giải:

Xét đường tròn (O; OB)

Kẻ OE ⊥ CD; OF ⊥ AB tại E; F mà CD < AB ⇒ OE > OF (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)

Xét đường trong (O; OK) có OE ⊥ KN; OF ⊥ KM tại El F mà OE > OF

⇒ KN < KM (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23: Cho đường tròn (O), dây cùng AB và CD với CD = AB. Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N. So sánh KM và KN.

Lời giải:

Xét đường tròn (O; OB)

Kẻ OE ⊥ CD; OF ⊥ AB tại E; F mà CD = AB ⇒ OE = OF (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)

Xét đường trong (O; OK) có OE ⊥ KN; OF ⊥ KM tại El F mà OE = OF

⇒ KN = KM (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24: Cho đường tròn (O; 10cm). Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 16cm và 12cm. Tính khoảng cách giữa 2 dây.

A. 14cm     

B. 10cm     

C. 12cm     

D. 16cm

Lời giải:

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt Db tại F thì EF ⊥ AB vì AB // CD

Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó). Nên ED = 6cm; FB = 8cm; OD = OB= 10cm

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được:

Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 14cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25: Cho đường tròn (O; 8cm). Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 14cm và 10cm. Tính khoảng cách giữa 2 dây.

Lời giải:

Kẻ đường thẳng qua  vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ⊥ AB vì AB // CD

Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó).

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được:

Vậy khoảng cách giữa hai dây là:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 26: Cho đường tròn (O; R). Hai dây AB, CD song song với nhau sao cho tâm O nằm trong dải song song tạo bởi AB, CD. Biết khoảng cách giữa hai dây đó bằng 11cm và AB = 10√3 cm, CD = 16cm. Tính R

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD (H ∈ AB; K ∈ CD)

Theo bài ra ta có HK = 11 (cm)

Khi đó ta có H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý Pytago ta có: OB² = OD² ⇔ HB² + OH² = OK² + KD²

Đặt OH = x (0 < x < 11) ⇒ OK = 11 – x

Khi đó ta có: HB² + x² = (11 – x)² + KD²

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27: Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD, CE. So sánh BC và DE

Lời giải:

Lấy I là trung điểm của BC

Xét tam giác vuông BDC có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Xét tam giác vuông BEC có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Từ đó   hay bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn 

Xét  có BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên BC > DE

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. So sánh AE và DM

Lời giải:

+ Ta có góc AND = góc ECN (vì cùng phụ với góc CNE) nên

+ Gọi I là trung điểm của DM

Xét tam giác vuông ADM ta có AI = ID = IM = . Xét tam giác vuông DEM ta có EI = ID = IM =   nên EI = ID = IM = IA = 

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 

Xét  có DM là đường kính và AE là dây không đi qua tâm nên DM > AE

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 14cm, dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại H nằm giữa O và B. Độ dài HA là?

Lời giải:

Xét (O) có AB ⊥ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 30: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 20cm, dây CD có độ dài 16cm vuông góc với AB tại H nằm giữa O và B. Độ dài HA là?

A. 12cm     

B. 18cm     

C. 16cm     

D. 15cm

Lời giải:

Xét (O) có AB ⊥ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được:

Khi đó HA = OA + OH = 10 + 6 = 16 cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 31: Cho đường tròn (O) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O; R) tại H. Biết CD = 16cm, MH = 4cm. Bán kính R bằng:

Lời giải:

Do OM ⊥  CD ⇒ M là trung điểm của CD

Gọi R là bán kính của đường tròn ⇒ OC = R

Ta có OM = OH – HM = R – 4

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OMC ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 32: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì… với dây ấy”. Điền vào dấu… cụm từ thích hợp.

A. nhỏ hơn

B. bằng

C. song song

D. vuông góc

Lời giải:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 33: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. So sánh độ dài CE và DF.

A. CE > DF

B. CE = 2DF

C. CE < DF

D. CE = DF

Lời giải:

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB

(vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB

nên OI // AE // FB  OIEF

Hay  OICD nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Ta có IE = IF;

IC = ID$\iff$IE – IC = IF – ID

$\iff$EC = DF

Đáp án cần chọn là:D

Câu 34: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây MN. Kẻ AE và BF vuông góc với MN lần lượt tại E và F. So sánh độ dài OE và OF.

A. OE = OF

B. OE = OF

C. OE < OF 

D. OE > OF

Lời giải:

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB

nên OI // AE // FB$\Rightarrow$OI$\perp$EF

Hay  OICD nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên

$\Delta$OEF cân tại O

Suy ra OE = OF

Đáp án cần chọn là:A

Câu 35: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. So sánh AE và DM

A. AM =  AE 

B. DM < AE

C. DM = AE

D. DM > AE

Lời giải:

Câu 36: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn.

A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn

B. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn

C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

Lời giải:

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Nên phương án B, C, D đúng

Đáp án cần chọn là:A

Câu 37: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn.

A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn

B. Hai dây đi qua tâm thì vuông góc với nhau

C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn

D. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Lời giải:

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Nên phương án A, B, C sai; D đúng

Đáp án cần chọn là:D

Câu 38: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3cm. Tính độ dài dây AB.

A. AB = 6cm

B. AB = 8cm

C. AB = 10cm

D. AB = 12cm

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:B

Câu 39: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 6,5cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2,5cm. Tính độ dài dây AB.

A. AB = 6cm

B. AB = 8cm

C. AB = 10cm

D. AB = 12cm

Lời giải:

Đáp án cần chọn là:D

Câu 40: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng

A. AB > CD

B. AB = CD

C. AB < CD

D. AB // CD

Lời giải:

Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Đáp án cần chọn là:B

Câu 41: Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính BC.

A. BC = $3\sqrt{3}cm$

B. BC = $2\sqrt{3}$cm

C. BC = $3\sqrt{2}$ cm

D. BC = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC. Do dây BC vuông góc với OA tại H nên ta có:

Áp dụng định lí Pytgo vào tam giác OHB vuông tại H ta có:

Theo định lí quan hệ vuông góc đường kính và dây ta có: H là trung điểm BC nên: BC = 2BH = $3\sqrt{3}$cm

Đáp án cần chọn là:A

Câu 42: Cho ΔABC, các đường cao BD và CE. Tìm mệnh đề sai

A. Bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn.

B. DE < BC.

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE là trung điểm BC

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC. Tam giác BCE vuông tại E có đường trung tuyến EI ứng với cạnh huyền BC nên:

EI = BI = CI = $\frac{BC}{2}$ (1)

Tam giác BCD vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: DI = BI = CI = $\frac{BC}{2}$ (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: EI = DI = BI = CI = $\frac{BC}{2}$

Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE.

Khi đó, BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên: BC > DE.

Đáp án cần chọn là:D

Câu 43: Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm khẳng định đúng

A. AC < BD

B. AB > AC

C. AC > CD

D. AB > BC

Lời giải:

Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

IA = IB = IC = ID = $\frac{AC}{2}$ = $\frac{BD}{2}$

Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có AC và BD là đường kính.

AB, BC, CD và DA là các dây.

Đáp án cần chọn là:C

Câu 44: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2cm; IB = 4cm. Tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB, CD là:

A. 4cm       

B. 1cm       

C. 3cm       

D. 2cm

Lời giải:

Xét đường tròn tâm (O).

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F.

Vì dây AB = AC nên OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác OEIF  nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông ⇒ OE = OF = EI

Mà AB = IA + IB = 6cm ⇒ EB = 3cm ⇒ EI = EB – IB = 1cm nên OE = OF = 1cm

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây là AB, CD là 2cm

Đáp án cần chọn là:D

Câu 45: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 6cm; IB = 3cm. Tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB, CD là:

A. 4cm       

B. 1cm       

C. 3cm       

D. 2cm

Lời giải:

Xét đường tròn tâm (O)

Kẻ OE AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF CD tại F.

Vì dây AB = AC nên OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác OEIF có  nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông ⇒ OE = OF = EI

Mà AB = IA + IB = 9cm ⇒ EB = 4,5cm ⇒ EI = EB – IB = 1,5cm nên OE = OF = 1,5cm

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây là AB, CD là 1,5 + 1,5 = 3cm

Đáp án cần chọn là:C

Câu 46: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB = 16cm; CD = 12cm; MC = 2cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là?

A. 4cm       

B. 5cm       

C. 3cm       

D. 2cm

Lời giải:

Xét đường tròn tâm (O)

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F suy ra F là trung điểm CD

Xét tứ giác OEMF có  nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 12cm ⇒ FC = 6cm mà MC = 2cm ⇒ FM = FC – MC = 4cm nên

OE = 4cm

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4cm

Đáp án cần chọn là:A

Câu 47: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau ở M. Biết CD = 8cm; MC = 1cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là?

A. 4cm       

B. 5cm       

C. 3cm       

D. 2cm

Lời giải:

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F suy ra F là trung điểm CD

Xét tứ giác OEMF có  nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 8cm ⇒ FC = 4cm mà MC = 1cm ⇒ FM = FC – MC = 4 – 1 = 3cm

nên OE = FM = 3cm

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm

Đáp án cần chọn là:C

Câu 48: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp

A. nhỏ hơn

B. bằng

C. song song

D. vuông góc

Lời giải:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Đáp án cần chọn là:D

Câu 49: “Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì … của dây ấy”. Điền vào dấu… cụm từ thích hợp.

A. đi qua trung điểm 

B. đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn

C. đi qua điểm bất kì

D. đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3

Lời giải:

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

Đáp án cần chọn là:A

Câu 50: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng

A. AB > CD

B. AB = CD

C. AB < CD

D. AB // CD

Lời giải:

Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Đáp án cần chọn là:B