Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng

Mai Hương Ngày: 20-01-2024 Lớp 8

Với giải Bài 9.47 trang 63 SBT Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng

Bài 9.47 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;

b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;

c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:

$\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).

Suy ra $\frac{A H}{B H} = \frac{H E}{H D}$ nên HA . HD = HB . HE (1).

Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:

$\hat{B H F} = \hat{E H C}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).

Suy ra $\frac{H B}{H C} = \frac{H F}{H E}$ nên HB . HE = HC . HF (2).

Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.

Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:

$\hat{B A C}$ chung.c

Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)

Suy ra $\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B}$ nên AF . AB = AE . AC.

Vì HA . HD = HB . HE nên $\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$

Tam giác HAB và tam giác HED có:

$\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$ (cmt)

$\hat{A H B} = \hat{E H D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).

Suy ra $\hat{H A B} = \hat{H E D}$ .

Mà $\hat{H A B} + \hat{F B D} = \hat{H E D} + \hat{D E C}$ (= $90 °$ ).

Do đó, $\hat{F B D} = \hat{D E C}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\hat{B F D} = \hat{E C D}$ .

Tam giác BDF và tam giác EDC có:

$\hat{F B D} = \hat{D E C}$ (cmt)

$\hat{B F D} = \hat{E C D}$ (cmt)

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).

Suy ra: $\hat{B D F} = \hat{E D C}$ .

Mà $\hat{B D F} + \hat{F D H} = \hat{E D C} + \hat{H D E} (= 90 °)$ .

Do đó, $\hat{F D H} = \hat{H D E}$ hay $\hat{F D A} = \hat{A D E}$ .

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9.42 trang 62 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng.

Bài 9.43 trang 62 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP có MN = MP = 4 cm và NP = $4 \sqrt{2}$ cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP.

Bài 9.44 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Hãy liệt kê ba cặp tam giác vuông trong Hình 9.10 đồng dạng và giải thích chúng đồng dạng dựa theo trường hợp nào của hai tam giác vuông đồng dạng ?

Bài 9.45 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:

Bài 9.46 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.

Bài 9.47 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

Bài 9.48 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

Bài 9.50 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD như Hình 9.11. Biết rằng $\hat{B A D} = \hat{B D C} = 90 °$ , AD = 4 cm, BD = 6 cm và BC = 9

Bài 9.51 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC.

Bài 9.52 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'

Bài 9.53 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác

Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

Bài 37: Hình đồng dạng

Bài tập cuối chương 9

Bài 38: Hình chóp tam giác đều

Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng

Từ khóa :

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp