Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

Mai Hương Ngày: 20-01-2024 Lớp 8

Với giải Bài 9.49 trang 63 SBT Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;

b) $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90 °$ .

Mà $\hat{B A C} + \hat{P A N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\hat{P A N} = 90 °$ .

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, $\hat{P} = \hat{H A B}$ (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

$\hat{P} = \hat{H A B}$ (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

$\hat{C} = \hat{P}$ (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

Ta có: $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = \frac{M B}{P B} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{M C}$ .

Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{M B}{M H} = \frac{P B}{P A}$ hay $\frac{M B}{P B} = \frac{M H}{P A}$ .

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{N C}{N A} = \frac{M C}{M H}$ .

Do đó, $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = \frac{M B}{P B} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{M C}$ $= \frac{M H}{P A} \cdot \frac{M C}{M H} \cdot \frac{P A}{M C} = 1$ .