Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Mai Hương Ngày: 07-03-2024 Lớp 9

256

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 9 Bài 1 từ đó học tốt môn Toán 9.

Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

HĐ1

Hoạt động 1 trang 6 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình $(x + 3) (2 x - 5) = 0$ .

a) Các giá trị $x = - 3, x = \frac{5}{2}$ có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?

b) Nếu số $x_{0}$ khác $- 3$ và khác $\frac{5}{2}$ thì $x_{0}$ có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?

Lời giải:

a) Với $x = - 3$ , ta có: $(x + 3) (2 x - 5) = (- 3 + 3) (2 x - 5) = 0. (2 x - 5) = 0$ .

Với $x = \frac{5}{2}$ , ta có: $(x + 3) (2 x - 5) = (x + 3) (2. \frac{5}{2} - 5) = (x + 3) .0 = 0$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - 3$ và $x = \frac{5}{2}$ .

b) Nếu số $x_{0}$ khác -3 và khác $\frac{5}{2}$ thì $x_{0}$ không phải là nghiệm của phương trình.

TH1

Thực hành 1 trang 7 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $(x - 7) (5 x + 4) = 0$ ;

b) $(2 x + 9) (\frac{2}{3} x - 5) = 0$ .

Lời giải:

a) Ta có: $(x - 7) (5 x + 4) = 0$

$x - 7 = 0$ hoặc $5 x + 4 = 0$

$x = 7$ hoặc $x = \frac{- 4}{5}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 7$ và $x = \frac{- 4}{5}$ .

b) Ta có: $(2 x + 9) (\frac{2}{3} x - 5) = 0$

$2 x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3} x - 5 = 0$

$x = - 3$ hoặc $\frac{2}{3} x = 5$

$x = - 3$ hoặc $x = \frac{15}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - 3$ và $x = \frac{15}{2}$ .

TH2

Thực hành 2 trang 7 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $2 x (x + 6) + 5 (x + 6) = 0$ ;

b) $x (3 x + 5) - 6 x - 10 = 0$ .

Lời giải:

a) Ta có: $2 x (x + 6) + 5 (x + 6) = 0$

$(x + 6) (2 x + 5) = 0$

$x + 6 = 0$ hoặc $2 x + 5 = 0$

$x = - 6$ hoặc $x = \frac{- 5}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - 6$ và $x = \frac{- 5}{2}$ .

b) Ta có: $x (3 x + 5) - 6 x - 10 = 0$

$x (3 x + 5) - 2 (3 x + 5) = 0$

$(3 x + 5) (x - 2) = 0$

$3 x + 5 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = \frac{- 5}{3}$ hoặc $x = 2$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \frac{- 5}{3}$ và $x = 2$ .

VD1

Vận dụng 1 trang 7 Toán 9 Tập 1: Độ cao $h$ (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh $t$ giây được cho bởi công thức $h = t (20 - 5 t)$ . Có thể tính được thời gian bay của quả bóng kể từ khi được đánh đến khi chạm đất không?

Lời giải:

Khi quả bóng gôn chạm đất thì độ cao của nó so với mặt đất là $0$ (mét) nên $h = 0$ .

Khi đó ta có: $0 = t (20 - 5 t)$

$t = 0$ hoặc $20 - 5 t = 0$

$t = 0$ hoặc $5 t = 20$

$t = 0$ hoặc $t = 4$ .

Vì quả bóng gôn đã được đánh đi và chạm đất nên $t \neq 0$ suy ra $t = 4$ thỏa mãn đề bài.

Vậy thời gian bay của quả bóng kể từ khi được đánh đến khi chạm đất là $4$ giây.

HĐ2

Hoạt động 2 trang 7 Toán 9 Tập 1: Xét hai phương trình

$2 x + \frac{1}{x - 2} - 4 = \frac{1}{x - 2} (1)$ và $2 x - 4 = 0 (2)$

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) $x = 2$ có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) $x = 2$ có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Lời giải:

$\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{x - 2} - 4 = \frac{1}{x - 2} \\ \frac{2 x (x - 2)}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} - \frac{4 (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} \\ \frac{2 x (x - 2) + 1 - 4 (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} \\ \frac{2 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x + 8}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} \\ \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2} = 0 \\ \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{x - 2} = 0 \\ \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{x - 2} = 0 \end{array}$

Nếu $x - 2 = 0$ thì phương trình vô nghĩa.

Nếu $x - 2 \neq 0$ suy ra $x \neq 2$ thì phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 2 (x - 2) = 0 \\ 2 x - 4 = 0 \end{array}$

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì $x \neq 2$ .

b) Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l} 2.2 + \frac{1}{2 - 2} - 4 = \frac{1}{2 - 2} \\ 0 + \frac{1}{0} - 4 = \frac{1}{0} \end{array}$

Điều này là vô lí nên $x = 2$ không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay $x = 2$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l} 2.2 - 4 = 0 \\ 4 - 4 = 0 \\ 0 = 0 \end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x = 2$ là nghiệm của phương trình (2).

TH3

Thực hành 3 trang 8 Toán 9 Tập 1:

a) $\frac{5}{x + 7} = \frac{- 14}{x - 5}$

b) $\frac{3}{3 x - 2} = \frac{x}{x + 2} - 1$

Lời giải:

$\frac{5}{x + 7} = \frac{- 14}{x - 5}$

Điều kiện xác định: $x + 7 \neq 0$ và $x - 5 \neq 0$

khi $x \neq - 7$ và $x \neq 5$ .

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \neq - 7$ và $x \neq 5$ .

b) $\frac{3}{3 x - 2} = \frac{x}{x + 2} - 1$

Điều kiện xác định: $3 x - 2 \neq 0$ và $x + 2 \neq 0$

khi $x \neq \frac{2}{3}$ và $x \neq - 2$ .

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{2}{3}$ và $x \neq - 2$ .

HĐ3

Hoạt động 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình $\frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x + 1} + 1$ .

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l} \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x + 1} + 1 \\ \frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{x + 1} \end{array}$

$\frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$

$x^{2} + x = x^{2} - 4$

$x = - 4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x = - 4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x - 2 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$

khi $x \neq 2$ và $x \neq - 1$ .

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \neq 2$ và $x \neq - 1$ .

b) $\frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x + 1} + 1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x + 1$ : $\frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{x + 1}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x - 2) (x + 1)$ : $\frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau. $x^{2} + x = x^{2} - 4$

Giải phương trình ta được $x = - 4$

c) Thay $x = - 4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l} \frac{- 4}{(- 4) - 2} = \frac{1}{(- 4) + 1} + 1 \\ \frac{- 4}{- 6} = \frac{1}{- 3} + 1 \\ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 \\ 0 = 0 \end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x = - 4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x = - 4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

TH4

Thực hành 4 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $\frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2$ ;

b) $\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{3 x - 20}{(x - 3) (x - 2)}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2$

Điều kiện xác định: $x \neq - 5$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2 \\ \frac{2 (x + 6)}{2 (x + 5)} + \frac{3 (x + 5)}{2 (x + 5)} = \frac{2.2 (x + 5)}{2 (x + 5)} \\ 2 x + 12 + 3 x + 15 = 4 x + 20 \\ x = - 7 \end{array}$

Ta thấy: $x = - 7$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - 7$ .

b) $\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{3 x - 20}{(x - 3) (x - 2)}$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $x \neq 3$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{3 x - 20}{(x - 3) (x - 2)} \\ \frac{2 (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{3 x - 20}{(x - 2) (x - 3)} \\ 2 x - 6 - 3 x + 6 = 3 x - 20 \\ 4 x = 20 \\ x = 5 \end{array}$

Ta thấy $x = 5$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$ .

VD2

Vận dụng 2 trang 9 Toán 9 Tập 1: Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.

Lời giải:

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x > 0$ .

Thời gian lúc đi của ô tô là $\frac{120}{x}$ (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là $x + 20 % x = 1, 2 x$ (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là $\frac{120}{1, 2 x}$ (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = $\frac{22}{5}$ giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{120}{x} + \frac{120}{1, 2 x} = \frac{22}{5} \\ \frac{120.6}{6 x} + \frac{120.5}{6 x} = \frac{22.1, 2 x}{6 x} \\ 720 + 600 = \frac{132}{5} x \\ x = 50 \end{array}$

Ta thấy $x = 50$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.

Bài 1 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $5 x (2 x - 3) = 0$ ;

b) $(2 x - 5) (3 x + 6) = 0$ ;

c) $(\frac{2}{3} x - 1) (\frac{1}{2} x + 3) = 0$ ;

d) $(2, 5 t - 7, 5) (0, 2 t + 5) = 0$ .

Lời giải:

a) $5 x (2 x - 3) = 0$

$5 x = 0$ hoặc $2 x - 3 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ và $x = \frac{3}{2}$ .

b) $(2 x - 5) (3 x + 6) = 0$

$2 x - 5 = 0$ hoặc $3 x + 6 = 0$

$x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = - 2$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{2}$ và $x = - 2$ .

c) $(\frac{2}{3} x - 1) (\frac{1}{2} x + 3) = 0$

$\frac{2}{3} x - 1 = 0$ hoặc $\frac{1}{2} x + 3 = 0$

$x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = - 6$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3}{2}$ và $x = - 6$ .

d) $(2, 5 t - 7, 5) (0, 2 t + 5) = 0$

$2, 5 t - 7, 5 = 0$ hoặc $0, 2 t + 5 = 0$

$x = 3$ hoặc $x = - 25$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$ và $x = - 25$ .

Bài 2 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $3 x (x - 4) + 7 (x - 4) = 0$ ;

b) $5 x (x + 6) - 2 x - 12 = 0$ ;

c) $x^{2} - x - (5 x - 5) = 0$ ;

d) $(3 x - 2)^{2} - (x + 6)^{2} = 0$ .

Lời giải:

a) $3 x (x - 4) + 7 (x - 4) = 0$

$(x - 4) (3 x + 7) = 0$

$x - 4 = 0$ hoặc $3 x + 7 = 0$

$x = 4$ hoặc $x = \frac{- 7}{3}$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$ và $x = \frac{- 7}{3}$ .

b) $5 x (x + 6) - 2 x - 12 = 0$

$5 x (x + 6) - 2 (x + 6) = 0$

$(x + 6) (5 x - 2) = 0$

$x + 6 = 0$ hoặc $5 x - 2 = 0$

$x = - 6$ hoặc $x = \frac{2}{5}$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 6$ và $x = \frac{2}{5}$ .

c) $x^{2} - x - (5 x - 5) = 0$

$x (x - 1) - 5 (x - 1) = 0$

$(x - 1) (x - 5) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $x - 5 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = 5$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ và $x = 5$ .

d) $(3 x - 2)^{2} - (x + 6)^{2} = 0$

$9 x^{2} - 12 x + 4 - x^{2} - 12 x - 36 = 0$

$8 x^{2} - 24 x - 32 = 0$

$8 (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

$x^{2} - 4 x + x - 4 = 0$

$x (x - 4) + (x - 4) = 0$

$(x + 1) (x - 4) = 0$

$x + 1 = 0$ hoặc $x - 4 = 0$

$x = - 1$ hoặc $x = 4$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1$ và $x = 4$ .

Bài 3 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $\frac{x + 5}{x - 3} + 2 = \frac{2}{x - 3}$ ;

b) $\frac{3 x + 5}{x + 1} + \frac{2}{x} = 3$ ;

c) $\frac{x + 3}{x - 2} + \frac{x + 2}{x - 3} = 2$ ;

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{x^{2} - 4}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x + 5}{x - 3} + 2 = \frac{2}{x - 3}$

Điều kiện xác định: $x \neq 3$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x + 5}{x - 3} + 2 = \frac{2}{x - 3} \\ \frac{x + 5}{x - 3} + \frac{2 (x - 3)}{x - 3} = \frac{2}{x - 3} \\ x + 5 + 2 x - 6 = 2 \\ 3 x = 3 \\ x = 1 \end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ .

b) $\frac{3 x + 5}{x + 1} + \frac{2}{x} = 3$

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $x \neq - 1$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{3 x + 5}{x + 1} + \frac{2}{x} = 3 \\ \frac{(3 x + 5) x}{(x + 1) x} + \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) x} = \frac{3 x (x + 1)}{(x + 1) x} \\ 3 x^{2} + 5 x + 2 x + 2 = 3 x^{2} + 3 x \\ 4 x = - 2 \\ x = \frac{- 1}{2} \end{array}$

Ta thấy $x = \frac{- 1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{- 1}{2}$ .

c) $\frac{x + 3}{x - 2} + \frac{x + 2}{x - 3} = 2$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $x \neq 3$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{x + 2}{x - 3} = 2 \\ \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{2 (x - 2) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} \\ x^{2} - 9 + x^{2} - 4 = 2 x^{2} - 10 x + 12 \\ 10 x = 25 \\ x = \frac{5}{2} \end{array}$

Ta thấy $x = \frac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{2}$ .

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{x^{2} - 4}$

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{(x - 2) (x + 2)}$

Điều kiện xác định: $x \neq \pm 2$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{x^{2} - 4} \\ \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{(x - 2) (x + 2)} \\ \frac{{(x + 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{16}{(x - 2) (x + 2)} \\ (x + 2 - x + 2) (x + 2 + x - 2) = 16 \\ 4.2 x = 16 \\ x = 2 \end{array}$

Ta thấy $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 4 trang 10 Toán 9 Tập 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.

Lời giải:

Gọi tốc độ của xe đạp là $x$ (km/h), $x > 0$ .

Thời gian xe đạp đi quãng đường từ A đến B là $\frac{60}{x}$ (giờ).

Tốc độ của xe máy là $3 x$ (km/h).

Thời gian xe máy đi quãng đường từ A đến B là $\frac{60}{3 x} = \frac{20}{x}$ (giờ).

Đổi 1 giờ 40 phút = $\frac{5}{3}$ giờ.

Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{60}{x} - \frac{20}{x} = \frac{5}{3} + 1 \\ \frac{40}{x} = \frac{8}{3} \\ \frac{40.3}{3 x} = \frac{8 x}{3 x} \\ 120 = 8 x \\ x = 15 \end{array}$

Ta thấy $x = 15$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$ .

Vậy tốc độ của xe đạp là 15km/h; tốc độ của xe máy là 45km/h.

Bài 5 trang 10 Toán 9 Tập 1: Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.

Lời giải:

Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là $x$ (người), $x \in N^{*}$ .

Số tiền thưởng dự định mỗi công nhân nhận được là $\frac{12 600 000}{x}$ (đồng).

Số công nhận thực tế tham gia là $80 % x = 0, 8 x$ (người).

Số tiền thưởng thực tế mỗi công nhân nhận được là $\frac{12 600 000}{0, 8 x} = \frac{15 750 000}{x}$ (đồng).

Vì thực tế mỗi người tham gia hội thảo được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{15 750 000}{x} - \frac{12 600 000}{x} = 105 000 \\ \frac{3 150 000}{x} = \frac{105 000 x}{x} \\ 3150000 = 105000 x \\ x = 30 \end{array}$