SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vecto

Phương Thảo Ngày: 15-02-2023 Lớp 10

373

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vecto Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 1 trang 96 SBT Toán 10: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm của tam giác ABD.

Chứng minh rằng: $\vec{A C} = 3 \vec{A G}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành ABCD

G là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A O}$

Mà ta có $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A C} \Rightarrow \vec{A G} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Suy ra $\vec{A C} = 3 \vec{A G}$ (đpcm)

Câu hỏi trang 97 SBT Toán 10

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2 \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$

b) $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 4 \vec{O D}$ với O là điểm tùy ý

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ với I là trung điểm của AB

Lời giải:

a) AM là trung tuyến của tam giác ABC, suy ra M là trung điểm của BC

$2 \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = 2 \vec{D A} + (\vec{D B} + \vec{D C}) = 2 \vec{D A} + 2 \vec{D M} = 2 (\vec{D A} + \vec{D M}) = \vec{0}$

(D là trung điểm của AM nên $\vec{D A} + \vec{D M} = \vec{0}$ )

b) $\begin{array}{l} 2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O C}) = 2 \vec{O A} + 2 \vec{O M} \\ = 2 (\vec{O A} + \vec{O M}) = 2.2 \vec{O D} = 4 \vec{O D} \end{array}$

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) + (\vec{M I} + \vec{I B}) = 2 \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) = 2 \vec{M I}$ (đpcm)

(I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C}) \\ = 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G} \end{array}$ (đpcm)

(G là trọng tâm của ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

$3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{K A} = - \frac{2}{3} \vec{K B}$

Suy ra hai vectơ $\vec{K A}; \vec{K B}$ ngược hướng và có tỉ lệ độ dài $K A = \frac{2}{3} K B$

Ta có hình vẽ mô tả dưới đây

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi O là trọng tâm của tam giác MPR

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Tương tự PQ và RS cũng là đường trung bình của tam giác CDE và EFA nên

$\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{C E}; \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{E A}$

Từ đó suy ra $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{C E} + \frac{1}{2} \vec{E A} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C E} + \vec{E A}) = \vec{0}$