Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 79: Bài tập cuối chương 4

Giang Ngày: 08-02-2023 Lớp 10

383

Với giải Câu hỏi trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chương 4 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 79: Bài tập cuối chương 4

Bài 4 trang 79 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120^{\circ}, b = 8, c = 5.$ Tính:

Lời giải a

a) Cạnh a và các góc $\hat{B}, \hat{C} .$

Phương pháp giải:

+) Tính a: Áp dụng định lí cosin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

+) Tính góc $B, C$ : Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Lời giải

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A \\ \Leftrightarrow a^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2.8.5. \cos 120^{\circ} = 129 \\ \Rightarrow a = \sqrt{129} \end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{\sqrt{129}}{\sin 120^{\circ}} = \frac{8}{\sin B} = \frac{5}{\sin C} \\ \Rightarrow {\begin{cases} \sin B = \frac{8. \sin 120^{\circ}}{\sqrt{129}} \approx 0, 61 \\ \sin C = \frac{5. \sin 120^{\circ}}{\sqrt{129}} \approx 0, 38 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \hat{B} \approx 37, 59^{\circ} \\ \hat{C} \approx 22, 41^{\circ} \end{cases} \end{array}$

Lời giải b

b) Diện tích tam giác ABC

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c . \sin A$

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} .8 .5 . \sin 120^{\circ} = 10 \sqrt{3}$

Lời giải c

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lí sin: $R = \frac{a}{\sin A}$

+) Đường cao AH: $A H = \frac{2 S}{a}$

Lời giải

+) Theo định lí sin, ta có: $R = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{129}}{\sin 120^{\circ}} = 2 \sqrt{43}$

+) Đường cao AH của tam giác bằng: $A H = \frac{2 S}{a} = \frac{2.10 \sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \frac{20 \sqrt{43}}{43}$

Bài 5 trang 79 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh $2 (A B^{2} + B C^{2}) = A C^{2} + B D^{2}$

b) Cho $A B = 4, B C = 5, B D = 7.$ Tính AC.

Phương pháp giải

a) Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin

Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức

b) Theo câu a: $A C^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2}) - B D^{2}$ , từ đó suy ra AC.

Lời giải

Bài 5 trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Áp dụng định lí cosin ta có:

${\begin{cases} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos B \\ B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . \cos A \end{cases}$

Mà $A D = B C; \cos A = \cos (180^{\circ} - B) = - \cos B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\begin{cases} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} + 2. A B . B C . \cos A \\ B D^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . A D . \cos A \end{cases} \\ \Rightarrow A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2}) \end{array}$

b) Theo câu a, ta suy ra: $A C^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2}) - B D^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A C^{2} = 2 (4^{2} + 5^{2}) - 7^{2} = 33 \\ \Rightarrow A C = \sqrt{33} \end{array}$

Bài 6 trang 79 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $a = 15, b = 20, c = 25.$

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Phương pháp giải

a) Áp dụng công thức heron: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$

b) Áp dụng công thức: $S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S}$

Lời giải

a) Ta có: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 20 + 25}{2} = 30$

Áp dụng công thức heron, ta có: $S = \sqrt{30. (30 - 15) . (30 - 20) . (30 - 25)} = 150$

b) Ta có: $S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{15.20.25}{4.150} = 12, 5.$

Bài 7 trang 79 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Phương pháp giải

Tính $\cot A, \cot B, \cot C$ bằng cách: Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin: $\sin A = \frac{a}{2 R}$ ; $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = 2 R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{2 R}$

và $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\Rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} : \frac{a}{2 R} = R . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a b c}$

Tương tự ta có: $\cot B = R . \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{a b c}$ và $\cot C = R . \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a b c}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{a b c} [(b^{2} + c^{2} - a^{2}) + (a^{2} + c^{2} - b^{2}) + (a^{2} + b^{2} - c^{2})] \\ = \frac{R}{a b c} (2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 a^{2} - a^{2} - c^{2} - b^{2}) = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c} \end{array}$

Bài 8 trang 79 Toán 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là $2, 1^{\circ} .$

Bài 8 trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Áp dụng định lí cosin: $A B^{2} = 370^{2} + 350^{2} - 2.370.350. \cos 2, 1^{\circ}$

Lời giải

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = 370^{2} + 350^{2} - 2.370.350. \cos 2, 1^{\circ} \\ \Rightarrow A B \approx 23, 96 (k m) \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai tòa nhà là 23,96 km.

Bài 9 trang 79 Toán 10 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc và Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Bài 9 trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính AB theo QB, dựa vào tan góc P và Q.

Bước 2: Lập phương trình, tìm QB.

Bước 3: Tính AB: $A B = Q B . \tan 48^{\circ}$

Lời giải

Xét tam giác APB và AQB, ta có:

$\tan 35^{\circ} = \frac{A B}{P B} = \frac{A B}{300 + Q B}$ và $\tan 48^{\circ} = \frac{A B}{Q B}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = \tan 35^{\circ} . (300 + Q B) = \tan 48^{\circ} . Q B \\ \Leftrightarrow \tan 35^{\circ} .300 + \tan 35^{\circ} . Q B = \tan 48^{\circ} . Q B \\ \Leftrightarrow \tan 35^{\circ} .300 = (\tan 48^{\circ} - \tan 35^{\circ}) . Q B \\ \Leftrightarrow Q B = \frac{\tan 35^{\circ} .300}{\tan 48^{\circ} - \tan 35^{\circ}} \end{array}$

Mà $A B = \tan 48^{\circ} . Q B$

$\Rightarrow A B = \tan 48^{\circ} . \frac{\tan 35^{\circ} .300}{\tan 48^{\circ} - \tan 35^{\circ}} \approx 568, 5 (m)$

Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.

Bài 10 trang 79 Toán 10 Tập 1: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm cùng thẳng hàng với thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta do được Tính chiều cao CD của tháp.

Bài 10 trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính góc $\hat{A_{1} D B_{1}}$ => Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1} D B_{1}$ để tính $A_{1} D$

Bước 2: Tính $C_{1} D$ từ đó suy ra chiều cao của tháp.

Lời giải

Ta có: $\hat{D A_{1} C_{1}} = \hat{A_{1} D B_{1}} + \hat{D B_{1} A_{1}} \Rightarrow \hat{A_{1} D B_{1}} = 49^{\circ} - 35^{\circ} = 14^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1} D B_{1}$ , ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A_{1} D}{\sin B_{1}} = \frac{A_{1} B_{1}}{\sin D} \Leftrightarrow \frac{A_{1} D}{\sin 35^{\circ}} = \frac{12}{\sin 14^{\circ}} \\ \Rightarrow A_{1} D = \sin 35^{\circ} . \frac{12}{\sin 14^{\circ}} \approx 28, 45 \end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1} D C_{1}$ , ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A_{1} D}{\sin C_{1}} = \frac{C_{1} D}{\sin A_{1}} \Leftrightarrow \frac{28, 45}{\sin 90^{\circ}} = \frac{C_{1} D}{\sin 49^{\circ}} \\ \Rightarrow C_{1} D = \sin 49^{\circ} . \frac{28, 45}{\sin 90^{\circ}} \approx 21, 47 \end{array}$