Bài 6.10 trang 16 SGK Toán 10 Tập 2: Xác định parabol $y=a{x}^2+bx+c$ , biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; -12)

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số  có đỉnh là  => tìm a,b,c.

Lời giải:

Đồ thị hàm số  $y=a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm A(8; 0) nên:

$a{.8}^2+b.8+c=0\iff 64a+8b+c=0$

Đồ thị hàm số  $y=a{x}^2+bx+c$ có đỉnh là I(6;-12):

$\frac{-b}{2a}=6\iff -b=12a\iff 12a+b=0$

$a{.6}^2+6b+c=-12\iff 36a+6b+c=-12$

Từ 3 phương trình trên ta có: $a=3;b=-36,c=96$

=> Hàm số cần tìm là $y=3x^2-36x+96$

Bài 6.11 trang 16 SGK Toán 10 Tập 2: Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ . Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức $\mathrm{\Delta }$ , trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) nằm hoàn toàn trên trục hoành

b) (P) nằm hoàn toàn dưới trục hoành

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành

Lời giải:

a) (P) nằm hoàn toàn trên trục hoành thì (P) không cắt trục hoành => Phương trình

$a{x}^2+bx+c=0$vô nghiệm => $\mathrm{\Delta }<0$

(P) nằm hoàn toàn trên trục hoành thì bề lõm phải hướng lên trên => a>0

b) Tương tự câu a:

(P) nằm hoàn toàn dưới trục hoành thì (P) không cắt trục hoành => Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$vô nghiệm => $\mathrm{\Delta }<0$

(P) nằm hoàn toàn dưới trục hoành thì bề lõm phải hướng xuống dưới=> a<0

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt => Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt=> $\mathrm{\Delta }>0$

(P) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành mà có 2 nghiệm phân biệt thì bề lõm phải hướng lên trên => a>0

d) (P) tiếp xúc với trục hoành => Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$có duy nhất 1 nghiệm=> $\mathrm{\Delta }=0$

(P) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm phải hướng lên trên => a>0

Bài 6.12 trang 16 SGK Toán 10 Tập 2: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cồng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Phương pháp giải:

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là $y=a{x}^2+bx+c$ với a ≠ 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol:

Tìm ra a,b,c. Tìm được tung độ đỉnh là chiều cao của cổng

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

AB=8m => AO=OB=4m

AC=0,5m => OC=OA-AC=3,5m

=> Parabol đi qua điểm A(-4;0); B(4;0); C(-3,5; 2,93)

Do đó ta có các phương trình sau:

$a.(-4{)}^2+b(-4)+c=0\iff 16a-4b+c=0$

$a{.4}^2+4b+c=0\iff 16a+4b+c=0$

$a.(-3,5{)}^2+b(-3,5)+c=2,93\iff 12,25a-3,5b+c=2,93$

Từ 3 phương trình trên, ta có: $a=\frac{-293}{375};b=0;c=\frac{4688}{375}$

Tọa độ đỉnh là $I\left(0;\frac{4688}{375}\right)$

Vậy chiều cao của cổng parabol là $\frac{4688}{375}\approx 12,5m$

=> Kết quả của An tính ra không chính xác

Bài 6.13 trang 16 SGK Toán 10 Tập 2: Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Phương pháp giải:

Theo bài ra ta có chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật bằng 40m

Tính được chiều dài của mảnh vườn => diện tích mảnh vườn

Lời giải:

a) Gọi chiều dài mảnh vườn là a(m)

Khi đó ta có $2a+2x=40\iff a=20-x$

Vậy diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: $S=a.x=(20-x)x=-x^2+20x$

b) Để diện tích mảnh vườn lớn nhất thì S phải lớn nhất:

Ta có $S=-x^2+20x=-(x^2-20x+100)+100=100-(x-10{)}^2\le 100$(vì $(x-10{)}^2\ge 0$)

Diện tích mảnh vườn lớn nhất là 100 $\left(m^2\right)$khi x=10

Bài 6.14 trang 16 SGK Toán 10 Tập 2: Quỹ đạo của vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một parabol có phương trình $y=\frac{-3}{1000}{x}^2+x$ , trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15)

a) Tím độ cao cực đại của vật trong quá trình bay

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm mặt đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Phương pháp giải:

a) Độ cao cực đại của vật là tung độ đỉnh của hàm số $y=\frac{-3}{1000}{x}^2+x$

b) Khoảng cách từ điểm chạm mặt đất sau khi bay của vật đến gốc O là hoành độ của điểm khác gốc tọa độ làm cho y=0

Lời giải:

a) Tung độ đỉnh của hàm số $y=\frac{-3}{1000}{x}^2+x$ là:

$\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}=\frac{-\left(1^2-4.\frac{-3}{1000}.0\right)}{4.\frac{-3}{1000}}=\frac{250}{3}$

Vậy độ cao cực đại của vật là $\frac{250}{3}(m)$

b) Vật chạm đất khi:

$y=0\iff \frac{-3}{1000}{x}^2+x=0\iff x=\frac{1000}{3}$và x=0(loại)

Vậy khoảng cách từ điểm chạm mặt đất sau khi bay của vật đến gốc O là $\frac{1000}{3}\left(m\right)$