Toán 10 Cánh diều Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Trần Ngọc Xuân Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

688

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - sách Cánh Diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh diều Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Câu hỏi khởi động trang 56 SGK Toán 10 tập 1 :Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm với vận tốc trung bình như nhua là 40km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bên 8km, vị trí B cách bên 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5km (Hình 31). Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình $\sqrt{{(8 - 40 x)}^{2} + {(7 - 40 x)}^{2}} = 5$

Làm thế nào để tìm được giá trị của x?

Phương pháp giải:

Biểu thức dưới căn là số không âm nên ta bình phương hai vế, đưa về phương trình bậc hai.

Lời giải:

Bình phương hai vế ta được:

$\begin{array}{l} (8 - 40 x)^{2} + (7 - 40 x)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow 64 - 640 x + 1600 x^{2} + 49 - 560 x + 1600 x^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow 3200 x^{2} - 1200 x + 88 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{11}{40} \\ x = \frac{1}{10} \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{11}{40}$ và $x = \frac{1}{10}$ .

I. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)} (1)$

Luyện tập – vận dụng 1 trang 57 SGK Toán 10 tập 1 :Giải phương trình: $\sqrt{3 x^{2} - 4 x + 1} = \sqrt{x^{2} + x - 1}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $x^{2} + x - 1 \geq 0$ . Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Lời giải:

Bình phương hai vế ta được:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} + x - 1 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array} \end{array}$

Thay lần lượt 2 giá trị $x = 2$ và $x = \frac{1}{2}$ vào $x^{2} + x - 1 \geq 0$ ta thấy chỉ có $x = 2$ thỏa mãn bất phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2$ .

II. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f (x)} = g (x) (I I)$

Câu hỏi trang 58 Toán 10

Luyện tập – vận dụng 2 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 :Giải phương trình: $\sqrt{3 x - 5} = x - 1$

Phương pháp giải:

Bước 1. Giải bất phương trình $x - 1 \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $x - 1 \geq 0$ . Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

$x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$3 x - 5 = {(x - 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (T M) \\ x = 3 (T M) \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {2; 3}$

Bài tập

Bài 1 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 :Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 1} = \sqrt{2 x + 3}$

b) $\sqrt{4 x^{2} - 6 x - 6} = \sqrt{x^{2} - 6}$

c) $\sqrt{x + 9} = 2 x - 3$

d) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 2} = 2 - x$

Phương pháp giải:

Phương trình dạng $\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)}$

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phương trình có dạng $\sqrt{f (x)} = g (x) (I I)$

Bước 1. Giải bất phương trình $g (x) \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải :

a) Bình phương hai vế ta được

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 2 x + 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} \\ x = \frac{5 - \sqrt{57}}{4} \end{array} \end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $2 x + 3 \geq 0$ thì thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\frac{5 - \sqrt{57}}{4}; \frac{5 + \sqrt{57}}{4}}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 6 x - 6 = x^{2} - 6 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $x^{2} - 6 \geq 0$ thì thấy chỉ có nghiệm $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {2}$

c) $\sqrt{x + 9} = 2 x - 3$ (*)

Ta có: $2 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l} x + 9 = {(2 x - 3)}^{2} \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 9 = x + 9 \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 13 x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (K T M) \\ x = \frac{13}{4} (T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\frac{13}{4}}$

d) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 2} = 2 - x$ (**)

Ta có: $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x - 2 = {(2 - x)}^{2} \\ \Leftrightarrow - x^{2} + 4 x - 2 = x^{2} - 4 x + 4 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 8 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (T M) \\ x = 3 (K T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {1}$

Câu hỏi trang 59 Toán 10

Bài 2 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 :Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 - x} + 2 x = 3$

b) $\sqrt{- x^{2} + 7 x - 6} + x = 4$

Phương pháp giải:

- Chuyển vế đổi dấu đưa về dạng $\sqrt{f (x)} = g (x)$

- Giải phương trình.

Lời giải:

a) $\sqrt{2 - x} + 2 x = 3$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 - x} = 3 - 2 x$ (1)

Ta có: $3 - 2 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$\begin{array}{l} 2 - x = {(3 - 2 x)}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 - x = 9 - 12 x + 4 x^{2} \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 11 x + 7 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (T M) \\ x = \frac{7}{4} (K T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {1}$

b) $\sqrt{- x^{2} + 7 x - 6} + x = 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{- x^{2} + 7 x - 6} = 4 - x$ (2)

Ta có: $4 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4$

Bình phương hai vế của (2) ta được:

$\begin{array}{l} - x^{2} + 7 x - 6 = {(4 - x)}^{2} \\ \Leftrightarrow - x^{2} + 7 x - 6 = 16 - 8 x + x^{2} \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 15 x + 22 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (T M) \\ x = \frac{11}{2} (K T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {2}$

Bài 3 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 :Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc $60^{0}$ (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

- Bức tường: AC=DG.

- Vẽ hình ảnh minh họa cho độ dài các cạnh của thang, bức tường.

Lời giải:

Gọi chiều cao bức tường DG là x (m) (x>0)

Chiều dài chiếc thang là x+1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là: $E G = \frac{D G}{\sqrt{3}} = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ (m)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

$B C = \sqrt{{(x + 1)}^{2} - x^{2}}$ (m)

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m nên ta có:

$\sqrt{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} - 0, 5 = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} = \frac{x}{\sqrt{3}} + 0, 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2 x + 1} = \frac{x}{\sqrt{3}} + 0, 5 (*) \end{array}$

Ta có $\frac{x}{\sqrt{3}} + 0, 5 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3}} \geq - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ (Luôn đúng do x>0)

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

$\begin{array}{l} 2 x + 1 = {(\frac{x}{\sqrt{3}} + 0, 5)}^{2} \\ \Leftrightarrow 2 x + 1 = \frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{\sqrt{3}} + 0, 25 \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3} + (\frac{\sqrt{3}}{3} - 2) x - \frac{3}{4} = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \approx 4, 7 (t m) \\ x \approx - 0, 5 (k t m) \end{array} \end{array}$

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

Bài 4 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 :Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Phương pháp giải:

- Gọi khoảng cách từ C đến D là x m (x>0)

- Biểu diễn DB, AD theo x.

- Biểu diễn đi từ A đến D và đi từ D đến B theo x.

- Lập phương trình và giải.

Lời giải:

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $A D = \sqrt{A C^{2} + C D^{2}}$ $= \sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}}$ (km)

Thời gian đi từ A đến D là: $\frac{\sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}}}{6} (h)$

Thời gian đi từ D đến B là: $\frac{0, 8 - x}{10} (h)$

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{\sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}}}{6} + \frac{0, 8 - x}{10} = 0, 12 \\ \Leftrightarrow \sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}} .5 + 3. (0, 8 - x) = 0, 12.30 \\ \Leftrightarrow 5. \sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}} - 3 x - 1, 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 5. \sqrt{0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}} = 3 x + 1, 2 \\ \Leftrightarrow 25. [0, 3^{2} + {(0, 8 - x)}^{2}] = {(3 x + 1, 2)}^{2} \\ \Leftrightarrow 25. (x^{2} - 1, 6 x + 0, 73) = 9 x^{2} + 7, 2 x + 1, 44 \\ \Leftrightarrow 16 x^{2} - 47, 2 x + 16, 81 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{59 + 30 \sqrt{2}}{40} > 0, 8 (k t m) \\ x = \frac{59 - 30 \sqrt{2}}{40} \approx 0, 414 (t m) \end{array} \end{array}$

Ta bình phương được do $x > 0 \Rightarrow 3 x + 1, 2 > 0$

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Bài 5 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Phương pháp giải:

- Gọi BM=x km (0<x<7)

- Biểu diễn MC, AM theo x

- Biểu diễn thời gian từ A đến M và từ M đến C theo x.

- Lập phương trình tìm x.

Lời giải:

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: $A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}}$ $= \sqrt{16 + x^{2}} (k m)$

Thời gian từ A đến M là: $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{3} (h)$

Thời gian từ M đến C là: $\frac{7 - x}{5} (h)$

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

$\begin{array}{l} \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{3} + \frac{7 - x}{5} = \frac{148}{60} \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{3} + \frac{7 - x}{5} = \frac{37}{15} \\ \Leftrightarrow \frac{5 \sqrt{16 + x^{2}}}{15} + \frac{3. (7 - x)}{15} = \frac{37}{15} \\ \Leftrightarrow 5 \sqrt{16 + x^{2}} + 3. (7 - x) = 37 \\ \Leftrightarrow 5 \sqrt{16 + x^{2}} = 16 + 3 x \\ \Leftrightarrow 25. (16 + x^{2}) = 9 x^{2} + 96 x + 256 \\ \Leftrightarrow 16 x^{2} - 96 x + 144 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 3 (t m) \end{array}$