Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Bài 1 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) $-2x+2<0$

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$

c) $y^2+x^2-2x\ge 0$

Lời giải:

a) $-2x+2<0$ không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 1.

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y.

c) $y^2+x^2-2x\ge 0$ không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y.

Bài 2 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)$ trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: $f\left(x\right)>0;f\left(x\right)<0;$$f\left(x\right)\ge 0;f\left(x\right)\le 0$.

Lời giải:

Hình 30a:

$f\left(x\right)>0$ có tập nghiệm là $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(4;+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)<0$ có tập nghiệm là $S=\left(1;4\right)$

$f\left(x\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right]\cup \left[4;+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)\le 0$ có tập nghiệm là $S=\left[1;4\right]$

Hình 30b:

$f\left(x\right)>0$ có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

$f\left(x\right)<0$ có tập nghiệm là $S=\mathrm{\varnothing }$

$f\left(x\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)\le 0$ có tập nghiệm là $S=\left\{2\right\}$

Hình 30c:

$f\left(x\right)>0$ có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)<0$ có tập nghiệm là $S=\mathrm{\varnothing }$

$f\left(x\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)\le 0$ có tập nghiệm là $S=\mathrm{\varnothing }$

Bài 3 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2-5x+3>0$

b) $-x^2-2x+8\le 0$

c) $4x^2-12x+9<0$

d) $-3x^2+7x-4\ge 0$

Lời giải:

a) Ta có $a=2>0$ và $\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.3}=1>0$

=> $2x^2-5x+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $2x^2-5x+3$ mang dấu “+” là $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x^2-5x+3>0$ là $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

b) Ta có $a=-1<0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-1\right)}^2-\left(-1\right).8=9>0$

=> $-x^2-2x+8=0$có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-4,x_2=2$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $-x^2-2x+8$ mang dấu “-” là $\left(-\mathrm{\infty };-4\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^2-2x+8\le 0$ là $\left(-\mathrm{\infty };-4\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right)$

c)

Ta có $a=4>0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-6\right)}^2-4.9=0$

=> $4x^2-12x+9=0$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $4x^2-12x+9$ mang dấu “-” là $\mathrm{\varnothing }$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $4x^2-12x+9<0$ là $\mathrm{\varnothing }$

d) $-3x^2+7x-4\ge 0$

Ta có $a=-3<0$ và $\mathrm{\Delta }=7^2-4.\left(-3\right).\left(-4\right)=1>0$

=> $-3x^2+7x-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=\frac{4}{3}$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $-3x^2+7x-4$ mang dấu “+” là $\left[1;\frac{4}{3}\right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-3x^2+7x-4\ge 0$ là $\left[1;\frac{4}{3}\right]$

Bài 4 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Tìm m để phương trình $2x^2+\left(m+1\right)x+m-8=0$ có nghiệm.

Lời giải:

Ta có $a=2>0$,

$\mathrm{\Delta }={\left(m+1\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(m-8\right)$$=m^2+2m+1-8m+64$$=m^2-6m+65$

Phương trình $2x^2+\left(m+1\right)x+m-8=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

 Vậy phương trình $2x^2+\left(m+1\right)x+m-8=0$ có nghiệm với mọi số thực m.

Bài 5 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Xét hệ toạ độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Lời giải:

a) Đặt phương trình parabol là $\left(P\right):h=a{t}^2+bt+c$

Ta có quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên $0,2=c$

Ta có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây có nghĩa là tại t=1 thì h=8,5. Khi đó

$8,5=a+b$(1)

Ta có quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây có nghĩa là tại t=2 thì h=6.

=> $6=a{.2}^2+b.2$$\iff 4a+2b=6\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta được hệ $\{\begin{array}{l}a+b=8,5\\ 4a+2b=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-5,5\\ b=14\end{array}$

Vậy $\left(P\right):h=-5,5t^2+14t$

b) Để quả bóng không chạm đất thì $h>0$

$\begin{array}{l}\iff -5,5t^2+14t>0\\ \iff t\left(-5,5t+14\right)>0\\ \iff 0<t<\frac{28}{11}\end{array}$

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian $t=\frac{28}{11}$ thì quả bóng chưa chạm đất.

Bài 6 trang 54 SGK Toán 10 tập 1: Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá là 800 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Lời giải:

a)

Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (x>0)

Giá vé khi có thêm x khách là: $800000-10000.x$(đồng/người)

Doanh thu khi thêm x khách là:

$\left(x+10\right).\left(800000-10000x\right)$$=10000\left(x+10\right)\left(80-x\right)$ (đồng)

b)

Chi phí thực sau khi thêm x vị khách là: 700 000(x+10) (đồng)

Lợi nhuận khi thêm x vị khách là:

$T=10000\left(x+10\right)\left(80-x\right)$$-700000\left(x+10\right)$

$\begin{array}{l}=10000\left(x+10\right).\left[80-x-70\right]\\ =10000\left(x+10\right)\left(10-x\right)\end{array}$

Để công ty không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0

$\begin{array}{l}\iff 10000\left(x+10\right)\left(10-x\right)\ge 0\\ \iff -10\le x\le 10\end{array}$

Khi đó số khách du lịch tối đa là $x+10=10+10=20$ người thì công ty không bị lỗ.