Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác và định lí sin trong tam giác

Trần Ngọc Xuân Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

1.1 K

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác và định lí sin trong tam giác giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Câu hỏi trang 63 Toán 10

Hoạt động 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{A B C} = α$ (Hình 2). ....

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC = alpha

a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A có $\hat{A B C} = α$ . Khi đó ta có:

$\sin α = \frac{A C}{B C}, \cos α = \frac{A B}{B C}, \tan α = \frac{A C}{A B}, \cot α = \frac{A B}{A C}$

b) Áp dụng công thức tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau, ta có:

sin(90° – α) = cos α;

cos(90° – α) = sin α;

tan(90° – α) = cot α;

cot(90° – α) = tan α.

Hoạt động 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ . Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên

Lời giải:

Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0, ta làm như sau:

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:

$\sin α = \frac{M H}{O M} = \frac{y_{0}}{1} = y_{0}, \cos α = \frac{O H}{O M} = \frac{x_{0}}{1} = x_{0},$

$\tan α = \frac{M H}{O H} = \frac{y_{0}}{x_{0}}, \cot α = \frac{O H}{M H} = \frac{x_{0}}{y_{0}}$ .

Hoạt động 3 trang 64 Toán 10 tập 1: Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và $\hat{x O M} = α$ .

a) Chứng minh $\hat{x O N} = 180^{o} - α$

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc $180^{o} - α$ theo giá trị lượng giác của góc $α$ .

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình 6, dựa vào các góc đồng vị và tam giác cân để suy ra $\hat{x O N} = 180^{o} - α$

b) Trên hình vẽ, xác định các GTLG của $\hat{x O N}$ ,so sánh với GTLG của góc $α$ .

Lời giải:

a) Do MN song song với Ox nên $α = \hat{O M N} = \hat{O N M} = \hat{N O x^{'}}$

Mà $\hat{x O N} = 180^{o} - \hat{N O x^{'}} = 180^{o} - α$

$\Rightarrow \hat{x O N} = 180^{o} - α$

b) Dễ thấy: Điểm N đối xứng với M qua trục Oy

$\Rightarrow N (- x_{0}; y_{0})$

Lại có: điểm N biểu diễn góc $180^{o} - α$

$\Rightarrow {\begin{cases} \sin (180^{o} - α) = y_{N} = y_{0} \\ \cos (180^{o} - α) = x_{N} = - x_{0} \end{cases}$ ;

Mà: $\sin α = y_{0}; \cos α = x_{0}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \tan (180^{o} - α) = - \tan α \\ \cot (180^{o} - α) = - \cot α \end{cases}$

Câu hỏi trang 66 Toán 10

Hoạt động 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím:

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc trên máy tính cầm tay.

Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Lời giải:

Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc

Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).

Hoạt động 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1: Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím:

cùng với trên máy tính cầm tay.

Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:

a) cos α = – 0,97;

b) tan α = 0,68;

c) sin α = 0,45.

Lời giải:

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:

Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180°

Luyện tập – vận dụng 1 trang 66 Toán 10 tập 1: Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\hat{A C H}, \hat{B C H}$

Bước 2: Tính $\tan \hat{A C H}, \tan \hat{B C H}$ theo h.

Bước 3: Giải phương trình ẩn h và kết luận.

Lời giải:

${\begin{cases} \hat{A C H} = 45^{o} \\ \hat{B C H} = 50^{o} \end{cases}$ (hai góc đồng vị)

Mà $\tan \hat{A C H} = \frac{A H}{C H} \Rightarrow \tan 45^{o} = \frac{h}{C H} \Leftrightarrow C H = h$

Lại có: $\tan \hat{B C H} = \frac{B H}{C H} \Rightarrow \tan 50^{o} = \frac{h + 20, 25}{h}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow h . \tan 50^{o} = h + 20, 25 \\ \Leftrightarrow h = \frac{20, 25}{\tan 50^{o} - 1} \approx 105, 6 \end{array}$

Vậy chiều cao của đỉnh Lũng cú so với chân núi là khoảng 105,6m.

II. Định lý Côsin

Câu hỏi trang 67 Toán 10

Hoạt động 6 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\hat{B A C} = α$ . Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc nhọn, chứng minh:

a) HC = |AC – AH| và BC² = AB² + AC² – 2AH . AC;

b) a² = b² + c² – 2bc cos α.

Lời giải:

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.

Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.

Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, góc BAC = alpha . Kẻ đường cao BH

Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.

Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.

Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = BH² + HC² = BH² + (AC – AH)² = (BH² + AH²) + AC² – 2AH . AC

= AB² + AC² – 2AH . AC.

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα.

Do đó BC² = AB² + AC² – 2 . AH . AC = b² + c² – 2bc cosα.

Vậy a² = b² + c² – 2bc cos α.

Hoạt động 7 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\hat{B A C} = α$ . Kẻ đường cao BH

Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC2 = AB2 + AC2 + 2 AH . AC;

b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, góc BAC = alpha

a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC + AH)2

= (BH2 + AH2) + AC2 + 2AH . AC

= AB2 + AC2 + 2AH . AC.

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.

Do đó BC2 = AB2 + AC2 + 2AH . AC = b2 + c2 – 2bc cos α.

Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Câu hỏi trang 68 Toán 10

Hoạt động 8 trang 68 Toán 10 tập 1: Cho $α$ là góc vuông. Chứng minh $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos α$

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí Pytago cho tam giác ABC: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Lời giải:

Ta có: $α = 90^{o} \Rightarrow \cos α = \cos 90^{o} = 0$

$\Rightarrow b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos α = b^{2} + c^{2}$

Mà tam giác ABC có $α = 90^{o}$ nên: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Do đó $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos α$ (đpcm)

Luyện tập – vận dụng 2 trang 68 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

Bước 2: Thay số, suy ra cosA.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$ $\Rightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Mà $A B = c = 5, A C = b = 6, B C = a = 7$ .

$\Rightarrow \cos A = \frac{6^{2} + 5^{2} - 7^{2}}{2.5.6} = \frac{1}{5}$

Chú ý

Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{b^{2} + a^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

III. Định lý Sin

Câu hỏi trang 69 Toán 10

Hoạt động 9 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\hat{B A C} = α$ . Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là góc nhọn. Chứng minh:

a) $\hat{B D C} = α$ ;

b) $\frac{a}{\sin α} = 2 R$ .

Lời giải:

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a

a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.

Do đó: $\hat{B D C} = \hat{B A C} = α$ .

Vậy $\hat{B D C} = α$ .

b) Xét tam giác BDC, ta có $\hat{B D C} = α$ .

Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{B C D} = 90 °$ .

Do đó: $\sin \hat{B D C} = \frac{B C}{B D}$ , tức là $\sin α = \frac{a}{2 R}$ hay $\frac{a}{\sin α} = 2 R .$

Hoạt động 10 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\hat{B A C} = α$ . Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). ....

Cho α là tù. Chứng minh:

a) $\hat{B D C} = 180 ° - α$ ;

b) $\frac{a}{\sin α} = 2 R .$

Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên $\hat{B A C} + \hat{B D C} = 180 °$ (hai góc đối)

Suy ra $\hat{B D C} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - α .$

Vậy $\hat{B D C} = 180 ° - α$ .

b) Xét tam giác BCD, ta có $\hat{B D C} = 180 ° - α$ và BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{B C D} = 90 °$ .

Do đó: $\sin \hat{B D C} = \frac{B C}{B D}$ , tức là $\sin (180 ° - α) = \frac{a}{2 R}$ .

Mà sin(180° – α) = sin α nên $\sin α = \frac{a}{2 R}$ hay $\frac{a}{\sin α} = 2 R .$

Câu hỏi trang 70 Toán 10

Hoạt động 11 trang 70 Toán 10 tập 1: Cho là góc vuông. Chứng minh

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định đường tròn ngoài tiếp tam giác, từ đó suy ra bán kính R

Bước 2: Tính rồi so sánh với 2R.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có

Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó:

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (O) bán kính (đpcm)

Luyện tập – vận dụng 3 trang 70 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc $\hat{B} = 65^{o}, \hat{C} = 85^{o} .$ Tính độ dài cạnh BC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc $\hat{A}$

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

Lời giải:

Ta có: $\hat{B} = 65^{o}, \hat{C} = 85^{o} .$

$\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (65^{o} + 85^{o}) = 30^{o} .$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow B C = 2 R . \sin A$

Mà $\hat{A} = 30^{o}, R = 6.$

$\Rightarrow B C = 2.6. \sin 30^{o} = 6.$

Vậy BC = 6.

Bài tập

Câu hỏi trang 71 Toán 10

Bài 1 trang 71 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = 3, 5; A C = 7, 5; \hat{A} = 135^{o} .$ Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

Bước 2: Tính R, dựa vào định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A}$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B C^{2} = 7, 5^{2} + 3, 5^{2} - 2.7, 5.3, 5. \cos 135^{o} \\ \Leftrightarrow B C^{2} \approx 105, 6 \\ \Leftrightarrow B C \approx 10, 3 \end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{10, 3}{2. \sin 135^{o}} \approx 7, 3$

Bài 2 trang 71 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 75^{o}, \hat{C} = 45^{o}$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\hat{A}$

Bước 2: Tính AB, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

Lời giả:

Ta có: $\hat{B} = 75^{o}, \hat{C} = 45^{o}$ $\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (75^{o} + 45^{o}) = 60^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 45^{o} . \frac{50}{\sin 60^{o}} \approx 40, 8$

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = 6, A C = 7, B C = 8$ . Tính $\cos A, \sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

Bước 2: Tính sinA, dựa vào cos A.

Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A}$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{7^{2} + 6^{2} - 8^{2}}{2.7.6} = \frac{1}{4}$

Lại có: $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ (do $0^{o} < A \leq 90^{o}$ )

$\Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{1}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{8}{2. \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16 \sqrt{15}}{15} .$

Vậy $\cos A = \frac{1}{4};$ $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4};$ $R = \frac{16 \sqrt{15}}{15} .$

Bài 4 trang 71 Toán 10 tập 1: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) $A = \cos 0^{o} + \cos 40^{o} + \cos 120^{o} + \cos 140^{o}$

b) $B = \sin 5^{o} + \sin 150^{o} - \sin 175^{o} + \sin 180^{o}$

c) $C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \sin 75^{o} - \sin 55^{o}$

d) $D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \tan 115^{o}$

e) $E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \cot 100^{o}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm $\cos 0^{o}; \cos 120^{o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\cos 140^{o}$ theo $\cos 40^{o}$ dựa vào công thức: $\cos α = - \cos (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tìm $\sin 150^{o}; \sin 180^{o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\sin 175^{o}$ theo $\sin 5^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \sin (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\sin 75^{o}$ theo $\cos 15^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \cos (90^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\sin 55^{o}$ theo $\cos 35^{o}$ dựa vào công thức: $\sin α = \sin (180^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\tan 115^{o}$ theo $\tan 65^{o}$ dựa vào công thức: $\tan α = - \tan (180^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\tan 65^{o}$ theo $\cot 25^{o}$ dựa vào công thức: $\tan α = \cot (90^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\cot 100^{o}$ theo $\cot 80^{o}$ dựa vào công thức: $\cot α = - \cot (180^{o} - α)$

Bước 2: Tính $\cot 80^{o}$ theo $\tan 10^{o}$ dựa vào công thức: $\cot α = \tan (90^{o} - α)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Lời giải:

a) $A = \cos 0^{o} + \cos 40^{o} + \cos 120^{o} + \cos 140^{o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos 0^{o} = 1; \cos 120^{o} = - \frac{1}{2}$

Lại có: $\cos 140^{o} = - \cos (180^{o} - 40^{o}) = - \cos 40^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos 40^{o} + (- \frac{1}{2}) - \cos 40^{o} \\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . \end{array}$

b) $B = \sin 5^{o} + \sin 150^{o} - \sin 175^{o} + \sin 180^{o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin 150^{o} = \frac{1}{2}; \sin 180^{o} = 0$

Lại có: $\sin 175^{o} = \sin (180^{o} - 175^{o}) = \sin 5^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin 5^{o} + \frac{1}{2} - \sin 5^{o} + 0 \\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2} . \end{array}$

c) $C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \sin 75^{o} - \sin 55^{o}$

Ta có: $\sin 75^{o} = \sin (90^{o} - 75^{o}) = \cos 15^{o}$ ; $\sin 55^{o} = \sin (90^{o} - 55^{o}) = \cos 35^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos 15^{o} + \cos 35^{o} - \cos 15^{o} - \cos 35^{o} \\ \Leftrightarrow C = 0. \end{array}$

d) $D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \tan 115^{o}$

Ta có: $\tan 115^{o} = - \tan (180^{o} - 115^{o}) = - \tan 65^{o}$

Mà: $\tan 65^{o} = \cot (90^{o} - 65^{o}) = \cot 25^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan 25^{o} . \tan 45^{o} . \cot 25^{o} \\ \Leftrightarrow D = \tan 45^{o} = 1 \end{array}$

e) $E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \cot 100^{o}$

Ta có: $\cot 100^{o} = - \cot (180^{o} - 100^{o}) = - \cot 80^{o}$

Mà: $\cot 80^{o} = \tan (90^{o} - 80^{o}) = \tan 10^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot 10^{o} . \cot 30^{o} . \tan 10^{o} \\ \Leftrightarrow E = \cot 30^{o} = \sqrt{3} . \end{array}$

Bài 5 trang 71 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2}$

b) $\tan \frac{B + C}{2} = \cot \frac{A}{2}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa góc $\frac{\hat{A}}{2}$ và góc $\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$

Bước 2: Áp dung: $\sin α = \cos (90^{o} - α)$ và $\tan α = \cot (90^{o} - α)$ suy ra đpcm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = 90^{o}$

Do đó $\frac{\hat{A}}{2}$ và $\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $\sin \frac{A}{2} = \cos (90^{o} - \frac{A}{2}) = \cos \frac{B + C}{2}$

b) Ta có: $\tan \frac{B + C}{2} = \cot (90^{o} - \frac{B + C}{2}) = \cot \frac{A}{2}$

Bài 6 trang 71 Toán 10 tập 1: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\hat{B A C} = 59, 95^{o}; \hat{B C A} = 82, 15^{o} .$ Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm góc ABC.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B}$

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có: $\hat{B A C} = 59, 95^{o}; \hat{B C A} = 82, 15^{o} .$

$\Rightarrow \hat{A B C} = 180^{o} - (59, 95 + 82, 15^{o}) = 37, 9^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{A C}{\sin B} = \sin 82, 15^{o} . \frac{25}{\sin 59, 95^{o}} \approx 28, 6$

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 28,6 m.

Bài 7 trang 71 Toán 10 tập 1: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc $75^{o}$ . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

Bước 1: Quãng đường mỗi tàu đi được sau 2,5 giờ.

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tàu bằng cách áp dụng định lí cosin.

Lời giải:

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2. A C . A B . \cos A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 30^{2} + 20^{2} - 2.30.20. \cos 75^{o} \\ \Rightarrow B C^{2} \approx 989, 4 \\ \Rightarrow B C \approx 31, 5 \end{array}$

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71 Toán 10 tập 1: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $α = 35^{o}$ ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $β = 75^{o}$ ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình, gọi các điểm O, C, D, H như hình vẽ.

Bước 2: Đặt x = OC. Tính AC, BD theo $x, α, β$ .

Bước 3: Lập luận tìm x. Từ đó suy ra khoảng cách OH.

Lời giải:

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: $\tan α = \frac{O C}{A C} \Rightarrow A C = \frac{O C}{\tan α} = \frac{x}{\tan 35^{o}}$

Xét tam giác OBD, ta có: $\tan β = \frac{O D}{B D} \Rightarrow B D = \frac{O D}{\tan β} = \frac{x + 20}{\tan 75^{o}}$

Mà: $A C = B D$ $\Rightarrow \frac{x}{\tan 35^{o}} = \frac{x + 20}{\tan 75^{o}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x . \tan 75^{o} = (x + 20) . \tan 35^{o} \\ \Leftrightarrow x = \frac{20. \tan 35^{o}}{\tan 75^{o} - \tan 35^{o}} \approx 4, 6 \end{array}$