Toán 10 Cánh diều Bài 2: Giải tam giác

Trần Ngọc Xuân Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

585

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác | Cánh diều - sách Cánh Diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh diều Bài 2: Giải tam giác

Câu hỏi trang 72 Toán 10

Câu hỏi khởi động trang 72 Toán 10 Tập 1: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,...) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
Từ vị trí A, đo góc nghiêng $α$ so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng $β$ so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18).
Bằng cách giải tam giác ABC,họ tính được khoảng cách AC.

Giải tam giác được hiểu như thế nào?

Lời giải:

Giải tam giác là việc đi tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Trong trường hợp này, giải tam giác ABC được hiểu là tìm cạnh AC khi biết cạnh AB, góc A và góc B.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Mà $A B = d, \hat{B} = β; \hat{C} = 180^{o} - α - β$

$\Rightarrow A C = \sin β \frac{d}{\sin (180^{o} - α - β)}$

I. Tính cách cạnh và góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước

Hoạt động 1 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = c, A C = b, \hat{A} = α$ . Viết công thức tính BC theo $b, c, α$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B C^{2} = c^{2} + b^{2} - 2. c . b . \cos α \\ \Leftrightarrow B C = \sqrt{c^{2} + b^{2} - 2 b c . \cos α} \end{array}$

Hoạt động 2 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = c, A c = b, B C = a$ . Viết công thức tính cos A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, từ đó suy ra công thức tính cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2. c . b . \cos A \\ \Leftrightarrow 2 b c \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2} \\ \Leftrightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \end{array}$

Chú ý

Tương tự, ta suy ra công thức tính $\cos B, \cos C$ như sau:

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Câu hỏi trang 73 Toán 10

Hoạt động 3 trang 73 Toán 10 Tập 1: Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} = 2 R$

II. Tính diện tích tam giác

Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.

a) Tính BH theo c và sin A.

b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.

Lời giải:

a) Xét các trường hợp:

+ Với $\hat{A} < 90 °$

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH

Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.

+ Với $\hat{A} = 90 °$

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH

Khi đó, BH = BA = c = c sin A.

+ Với $\hat{A} > 90 °$

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH

Xét tam giác AHB vuông, ta có: $\hat{B A H} = 180 ° - \hat{A}$ .

Do đó BH = AB . sin(180° – $\hat{A}$ ) = AB . sin A = c sin A.

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.

b) Ta có:

$S = \frac{1}{2} A C . B H = \frac{1}{2} b c \sin A$

Câu hỏi trang 74 Toán 10

Luyện tập – vận dụng 1 trang 74 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; $\hat{B} = 60^{o}$ ; $\hat{C} = 45^{o}$ . Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính $\hat{A}$ . Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2} b c . \sin A$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A C = \sin B . \frac{A B}{\sin C} = \sin 60^{o} . \frac{12}{\sin 45^{o}} = 6 \sqrt{6}$

Lại có: $\hat{A} = 180^{o} - (60^{o} + 45^{o}) = 75^{o}$

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .12 .6 \sqrt{6} . \sin 75^{o} \approx 85, 2$

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5 trang 74 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ở đó $p = \frac{a + b + c}{2}$

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ ,hãy chứng tỏ rằng: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$ $\Rightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Mà $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ .

$\Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2}} = \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{2 b c} \sqrt{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}$

Đặt $M = \sqrt{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt{(2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}) (2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt{[{(b + c)}^{2} - a^{2}] . [a^{2} - {(b - c)}^{2}]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt{(b + c - a) (b + c + a) (a - b + c) (a + b - c)} \end{array}$

Ta có: $a + b + c = 2 p$ $\Rightarrow {\begin{cases} b + c - a = 2 p - 2 a = 2 (p - a) \\ a - b + c = 2 p - 2 b = 2 (p - b) \\ a + b - c = 2 p - 2 c = 2 (p - c) \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt{2 (p - a) .2 p .2 (p - b) .2 (p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4 \sqrt{(p - a) . p . (p - b) . (p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{2 b c} .4 \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{b c} . \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{array}$

b) Ta có: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$

Mà $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2} b c . (\frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}) \\ \Leftrightarrow S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} . \end{array}$

III. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Luyện tập – vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 10 Tập 1: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là $34^{o}$ , góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là $24^{o}$ . Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Gọi A là vị trí đứng của Nam, B là điểm cao nhất của cây, C là vị trí gốc cây.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Ta có hình vẽ:

TH1: Cây cao hơn tòa nhà

TH2: Cây thấp hơn tòa nhà

Bài tập

Câu hỏi trang 77 Toán 10

Bài 1 trang 77 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $B C = 12, C A = 15, \hat{C} = 120^{o} .$ Tính:

a) Độ dài cạnh AB.

b) Số đo các góc A, B.

c) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC (tại đỉnh C).

Bước 1: Tính sin A, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$ .

Bước 2: Tính góc A, từ đó suy ra góc B.

c) Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2} a b . \sin C$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A B^{2} = 15^{2} + 12^{2} - 2.15.12. \cos 120^{o} \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 549 \\ \Leftrightarrow A B \approx 23, 43 \end{array}$

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow \sin A = \frac{B C}{A B} . \sin C = \frac{12}{23, 43} . \sin 120^{o} \approx 0, 44$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 26^{o}$ hoặc $\hat{A} \approx 154^{o}$ (Loại)

Khi đó: $\hat{B} = 180^{o} - (26^{o} + 120^{o}) = 34^{o}$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} C A . C B . \sin C = \frac{1}{2} .15 .12 . \sin 120^{o} = 45 \sqrt{3}$

Bài 2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = 5, B C = 7, \hat{A} = 120^{o} .$ Tính độ dài cạnh AC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin C, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

Bước 2: Suy ra góc $\hat{C}, \hat{B}$ . Tính AC bằng cách áp dụng định lí cosin:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos B$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C = \sin A . \frac{A B}{B C} = \sin 120^{o} . \frac{5}{7} = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 38, 2^{o}$ hoặc $\hat{C} \approx 141, 8^{o}$ (Loại)

Ta có: $\hat{A} = 120^{o}, \hat{C} = 38, 2^{o}$ $\Rightarrow \hat{B} = 180^{o} - (120^{o} + 38, 2^{o}) = 21, 8^{o}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos B \\ \Leftrightarrow A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2.5.7. \cos 21, 8^{o} \\ \Rightarrow A C^{2} \approx 9 \\ \Rightarrow A C = 3 \end{array}$

Vậy độ dài cạnh AC là 3.

Bài 3 trang 77 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = 100, \hat{B} = 100^{o}, \hat{C} = 45^{o} .$ Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\hat{A}$ .

Bước 2: Tính AC, BC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{B C}{\sin A}$

Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} . a c . \sin B = \frac{1}{2} . a b . \sin C$

+) $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Lời giải:

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C})$ $\Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (100^{o} + 45^{o}) = 35^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow {\begin{cases} A C = \sin B . \frac{A B}{\sin C} \\ B C = \sin A . \frac{A B}{\sin C} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} A C = \sin 100^{o} . \frac{100}{\sin 45^{o}} \approx 139, 3 \\ B C = \sin 35^{o} . \frac{100}{\sin 45^{o}} \approx 81, 1 \end{cases}$

b) Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . B C . A C . \sin C = \frac{1}{2} .81, 1.139, 3. \sin 45^{o} \approx 3994, 2.$

Bài 4 trang 77 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $A B = 12, A C = 15, B C = 20.$ Tính:

a) Số đo các góc A, B, C.

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, suy công thức tính $\cos A, \cos B$ theo a, b, c.

Bước 2: Tìm góc A, B. Từ đó suy ra góc C.

b) Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} . a c . \sin B = \frac{1}{2} . a b . \sin C$

+) $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

Thay $a = B C = 20; b = A C = 15; c = A B = 12.$

$\Rightarrow \cos A = - \frac{31}{360}; \cos B = \frac{319}{480}$

$\Rightarrow \hat{A} = 94, 9^{o}; \hat{B} = 48, 3^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (94, 9^{o} + 48, 3^{o}) = 36, 8^{o}$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . b c . \sin A = \frac{1}{2} .15 .12 . \sin 94, 9^{o} \approx 89, 7.$

Bài 5 trang 77 Toán 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc B: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính góc C. Áp dụng định lí sin hoặc định lí cosin để tìm AB

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B = \frac{A C . \sin A}{B C} = \frac{5, 2. \sin 40^{o}}{3, 6} \approx 0, 93$

$\Rightarrow \hat{B} \approx 68, 2^{o}$ hoặc $\hat{B} \approx 111, 8^{o}$

Trường hợp 1: $\hat{B} \approx 68, 2^{o}$

Ta có: $\hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (40^{o} + 68, 2^{o}) = 71, 8^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 71, 8^{o} . \frac{3, 6}{\sin 40^{o}} \approx 5, 32$

Trường hợp 2: $\hat{B} \approx 111, 8^{o}$

Ta có: $\hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (40^{o} + 111, 8^{o}) = 28, 2^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A B = \sin C . \frac{B C}{\sin A} = \sin 28, 2^{o} . \frac{3, 6}{\sin 40^{o}} \approx 2, 65$

Vậy AB = 5,32 hoặc AB = 2,65.

Bài 6 trang 77 Toán 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\hat{A C B} = 105^{o}$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).

Phương pháp giải:

Bước 1: Đổi độ dài AC, CB về cùng đơn vị mét.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí cosin trong tam giác BAC: $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

Lời giải:

Đổi: 1 km = 1000 m. Do đó AC = 1000 m.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2. A C . B C . \cos C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = 1000^{2} + 800^{2} - 2.1000.800. \cos 105^{o} \\ \Rightarrow A B^{2} \approx 2054110, 5 \\ \Rightarrow A B \approx 1433, 2 \end{array}$