Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Ngọc Nguyễn Ngày: 03-02-2024 Lớp 11

378

Với giải Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 15: Giới hạn của dãy số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$ .

Lời giải:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} (1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

b) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{(n^{2} + 2 n) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n}$

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} (1 + \frac{2}{n})} + n}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n}$

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n (\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1)}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1} + 1} = 1$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n}} = 0$ .

HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n}$ . Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1.

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}, v_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ .

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$ .

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + ... + \frac{2}{7^{n - 1}} + ...$