Với Giải trang 26 SBT Toán lớp 11 trong Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 26 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=-\frac{2}{\sin 3x};$

b) $y=\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right);$

c) $y=\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right);$

d) $y=\frac{1}{3-{\cos }^{2}x}.$

Lời giải:

a) $y=-\frac{2}{\text{sin}3x}$ xác định khi sin3x ≠ 0, tức là 3x ≠ kπ, k ∈ ℤ hay $x\ne k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $ℝ\setminus \left\{k\frac{\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) $y=\text{tan}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)$ xác định khi $\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, hay $x\ne \frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $ℝ\setminus \left\{\frac{4\pi }{3}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $y=\text{cot}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{4}\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hay $x\ne \frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $ℝ\setminus \left\{\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) Vì ‒1 ≤ cosx ≤ 1 nên cos²x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Suy ra cos² ≠ 3 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó hàm số $y=\frac{1}{3-{\text{cos}}^{2}x}$ xác định với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.

Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sin 3x}{x};$

b) $y=-5x^2+c\text{os}\frac{x}{2};$

c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x};$

d) $y=\cot x-\frac{2}{\mathrm{s}\text{inx}};$

e) $y=\left|x\right|+\tan x;$

f) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{\text{sin}3x}{x}$ là $D=ℝ\setminus \left(0\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\frac{\text{sin}\left(3\left(-x\right)\right)}{-x}=\frac{\text{sin}\left(-3x\right)}{-x}=\frac{-\text{sin}3x}{-x}=\frac{\text{sin}3x}{x}.$

Vậy hàm số $y=\frac{\text{sin}3x}{x}$ là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số $y=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}$ là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $-5{(-x)}^2+\text{cos}\left(\frac{-x}{2}\right)=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}.$

Vậy hàm số $y=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}$ là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số $y=x\sqrt{1+\text{cos}2x}$ là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\left(-x\right)\sqrt{1+\text{cos}\left(-2x\right)}=-x\sqrt{1+\text{cos}2x}.$

Vậy hàm số $y=x\sqrt{1+\text{cos}2x}$ là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y=\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}$ là $D=ℝ\setminus \left(k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\text{cot}\left(-x\right)-\frac{2}{\text{sin}\left(-x\right)}=-\text{cot}x+\frac{2}{\text{sin}x}=-\left(\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}\right)$.

Vậy hàm số $y=\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}$ là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số $y=\left(x\right)+\text{tan}x$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Đặt $f\left(x\right)=\left(x\right)+\text{tan}x$. Xét hai giá trị $\frac{\pi }{4}$ và -$\frac{\pi }{4}$ thuộc D, ta có:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(\frac{\pi }{4}\right)+\text{tan}\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+1 \\ \text{và }f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\left(-\frac{\pi }{4}\right)+\text{tan}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-1. \end{gathered}$$

Do $f\left(-\frac{\pi }{4}\right)\ne f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi }{4}\right)\ne -f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ nên $y=\left(x\right)+\text{tan}x$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

g) Tập xác định của hàm số $y=\text{tan}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ không thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D vì $-\frac{\pi }{4}\in D$ mà $\frac{\pi }{4}\notin D$.

Vậy hàm số $y=\text{tan}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Bài 3 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=5-2\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right);$

b) $y=\left(\sin 3x\right)-1;$

c) y = 2tanx + 3;

d) $y=\sqrt{1-s\text{inx}}+2.$

Lời giải:

a) $y=5-2\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

TXĐ: D = ℝ.

Ta có $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\le 1$

$\iff 2\ge -2\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\ge -2$

$\iff 7\ge 5-2\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\ge 3$

Vậy tập giá trị của hàm số là [3; 7].

b) $y=\left(\sin 3x\right)-1;$

TXĐ: D = ℝ.

Ta có: $0\le \left(\sin 3x\right)\le 1$

$\Rightarrow -1\le \left(\sin 3x\right)-1\le 0$

Vậy tập giá trị của hàm số là [−1; 0].

c) y = 2tanx + 3

TXĐ: D = ℝ.

Ta có tập giá trị của tanx là ℝ nên tập giá trị của hàm số cũng là ℝ.

d) $y=\sqrt{1-s\text{inx}}+2$

Ta có $-1\le \sin x\le 1$ nên $2\ge 1-\sin x\ge 0$ nên hàm số xác định trên ℝ

Khi đó $0\le \sqrt{1-s\text{inx}}\le \sqrt{2}$

Suy ra $2\le \sqrt{1-s\text{inx}}+2\le \sqrt{2}+2$

Vậy tập giá trị của hàm số là $\left(2;2+\sqrt{2}\right)$ .