Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = 3sin x + 5

Ngọc Nguyễn Ngày: 12-11-2023 Lớp 11

194

Với Giải Bài 43 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1 trong Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = 3sin x + 5

Bài 43 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 3sin x + 5;

b) $y = \sqrt{1 + \cos 2 x} + 3$ ;

c) y = 4 – 2sin x cos x;

d) $y = \frac{1}{4 - \sin x}$ .

Lời giải:

a) y = 3sin x + 5

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 2 ≤ 3sin x + 5 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi sin x = 1 hay $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi sin x = − 1 hay $x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

b) $y = \sqrt{1 + \cos 2 x} + 3$

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cos 2x ≤ 2. (*)

Do đó, tập xác định của hàm số là ℝ.

Từ (*) suy ra $0 \leq \sqrt{1 + \cos 2 x} \leq \sqrt{2}$ ∀x ∈ ℝ. Do đó $3 \leq \sqrt{1 + \cos 2 x} + 3 \leq 3 + \sqrt{2}$ ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng $3 + \sqrt{2}$ khi cos 2x = 1 hay x = kπ (k ∈ ℤ); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi cos 2x = − 1 hay $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

c) Ta có: y = 4 – 2sin x cos x = 4 – sin 2x.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin 2x ≤ 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi sin 2x = − 1 hay $x = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi sin 2x = 1 hay $x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

d) $y = \frac{1}{4 - \sin x}$

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin x ≤ 5. Suy ra $\frac{1}{3} \geq \frac{1}{4 - \sin x} \geq \frac{1}{5}$ .

Khi đó $\frac{1}{5} \leq y \leq \frac{1}{3}$ ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi sin x = 1 hay $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi sin x = − 1 hay $x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .