Toptailieu.vn xin giới thiệu 06 câu trắc nghiệm Bài tập cuối chương 4 Kết nối tri thức (có đáp án 2023) CHỌN LỌC, hay nhất giúp học sinh lớp 10 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

06 câu trắc nghiệm Bài tập cuối chương 4 Kết nối tri thức (có đáp án 2023) CHỌN LỌC

Lý thuyết

1. Khái niệm vectơ

- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

- Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý:

+ Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là , đọc là vectơ AB.

+ Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

+ Vectơ còn được kí hiệu là , , , ,…

+ Độ dài của vectơ , tương ứng được kí hiệu là ||, ||.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu là  = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ , nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ .

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ  và .

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ  và  và là các vectơ cùng phương.

và cùng phương nhưng ngược hướng;  và cùng phương vàcùng hướng.

Hai vectơ và cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên = .

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn , ), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là .

+ Với mỗi điểm O và vectơ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho = .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi  và cùng phương.

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

3. Tổng của hai vectơ

- Cho hai vectơ  và . Lấy một điểm A tùy ý và vẽ = , = . Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là  + .

– Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có + = .

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì + = .

– Với ba vectơ; , ,  tùy ý :

+ Tính chất giao hoán: + =  + ;

+ Tính chất kết hợp: ( + ) +  =  + ( + );

+ Tính chất của vectơ–không:  + = + = .

Chú ý: Do các vectơ ( + ) +  và  + ( + ) bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng  +  +  và gọi là tổng của ba vectơ , , . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng dấu ngoặc.

4. Hiệu của hai vectơ

- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ  được gọi là vectơ đối của vectơ . Vectơ đối của vectơ  kí hiệu là -.

- Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

- Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng .

- Vectơ + (-) được gọi là hiệu của hai vectơ  và  và được kí hiệu là - . Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

- Nếu + =  thì -  = + (-) =  + + (-) = +  = .

- Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có

5. Tích của một vectơ với một số

• Tích của một vectơ ≠  với một số thực k > 0 là một vectơ, kí hiệu là k, cùng hướng với vectơ  và có độ dài bằng k.

6. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ ,  và hai số thực k, t, ta luôn có :

+) k(t) = (kt) ;

+) k ( + ) = k + k; k ( – ) = k – k;

+) (k + t)  = k + t;

+) 1 = ; (–1)  = –.

7. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ  và  khác . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ =  và = . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ  và  hay đơn giản là góc giữa hai vectơ , , kí hiệu là (, ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ  và  có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu (, ) = 90° thì ta nói rằng  và  vuông góc với nhau. Kí hiệu  ⊥  hoặc  ⊥ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

8. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không  và  là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức sau:

.  = ||.||.cos(, )

Chú ý:

+)  ⊥  ⇔ .  = 0.

+) .  còn được viết là ² và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .

Ta có ² = ||.||.cos0o = ()².

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

9. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ = (x;y) và = (x';y') được tính theo công thức :

.  = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ  và  vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của = (x;y) là ² = x² + y².

+ Nếu ≠  và ≠ thì .

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ , ,  bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) .  = .  (tính chất giao hoán);

+) . ( + ) = .  + .  (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k ).  = k (. ) = .( k).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

. ( – )= .  – .  (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( + )² = ² + 2.  + ²; ( – )² = ² –2. + ²;

( + ).( – ) = ² – ².

Bài tập

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

Phương pháp giải:

Cho = (x;y) và  = (z,t) (z,t # 0)

+) Nếu thì và  cùng phương

+) Nếu  thì và  không cùng phương.

Lời giải:

A. Ta có: nên  và  không cùng phương.

B.  Ta có: nên và  cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: 

Vậy và  không cùng phương.

D. Ta có: nên  và  không cùng phương.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. = (2;3) và  = (4;6)

B. = (1;-1) và  = (-1;1)

C. = (a;b) và  = (-b;a)

D. = (1;1) và  = (2;0)

Phương pháp giải:

+) Cho (x;y), (z;t) thì . = x.z + y.t

+) 

Lời giải:

A. Ta có: . = 2.4 + 3.6 = 26 ≠ 0 nên và  không vuông góc với nhau.

B.  Ta có: . = 1.(-1) + (-1).1 = -2 ≠ 0 nên và  không vuông góc với nhau.

C. Ta có: . = a.(-b) + b.a = 0 nên và  vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

D. Ta có: . = 1.2 + 1.0 = 2 ≠ 0 nên và  không vuông góc với nhau.

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A.  = (1;1)

B.  = (1;-1)

C. = (2;)

D. = (;-)

Phương pháp giải:

Tính độ dài vectơ (x;y) theo công thức: .

Lời giải:

A. Ta có: . (Loại)

B. Ta có: . (Loại)

C. Ta có: . (Loại)

D. Ta có: . (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Câu 4: Góc giữa vectơ = (1;-1) và vectơ  = (-2;0) có số đo bằng:

A. 90^o

B. 0^o

C. 135^o

D. 45^o

Phương pháp giải:

Tính ..

+) Nếu . = 0 thì góc giữa 2 vectơ bằng 90o.

+) Nếu . ≠ 0 thì 

Lời giải:

Ta có: . = 1.(-2) + (-1).0 = -2 ≠ 0.

Lại có: 

Chọn C

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Phương pháp giải:

+) 

Lời giải:

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì 

B. Sai vì 

C. Sai vì 

Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: .

Lời giải:

A. Ta có:  Vậy A sai.

B. Ta có:

Vậy B đúng.

Chọn B

C. Dễ thấy   Vậy C sai.

D. Ta có: 

  Vậy D sai.

Xem thêm các bài giải Trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài tập cuối chương 5