Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mai Hương Ngày: 07-03-2024 Lớp 9

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 9 Bài 2 từ đó học tốt môn Toán 9.

Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1

Hoạt động 1 trang 11 Toán 9 Tập 1:

Cho hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 3 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases} .$ Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá tị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

1. Ta có $x + y = 3$ suy ra $y = 3 - x$ thay vào phương trình $2 x - 3 y = 1$ ta được:

$\begin{array}{l} 2 x - 3 (3 - x) = 1 \\ 2 x - 9 + 3 x = 1 \\ 5 x = 10 \\ x = 2 \end{array}$

2. Với $x = 2$ suy ra $y = 3 - 2 = 1.$ Vậy $(2; 1)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

LT1

Luyện tập 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) ${\begin{cases} x - 3 y = 2 \\ - 2 x + 5 y = 1; \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 4 x + y = - 1 \\ 7 x + 2 y = 1. \end{cases}$

Lời giải:

a) Từ phương trình $x - 3 y = 2$ ta có $x = 2 + 3 y .$

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $- 2 (2 + 3 y) + 5 y = 1$ hay $- 4 - y = 1$ suy ra $y = - 5.$ Từ đó $x = 2 + 3. (- 5) = - 13.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(- 13; - 5) .$

b) Từ phương trình $4 x + y = - 1$ ta có $y = - 1 - 4 x .$

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $7 x + 2 (- 1 - 4 x) = 1$ hay $- x - 2 = 1$ suy ra $x = - 3.$ Từ đó $y = - 1 - 4. (- 3) = 11.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(- 3; 11) .$

LT2

Luyện tập 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} - 2 x + y = 3 \\ 4 x - 2 y = - 4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế

Lời giải:

Ta có $- 2 x + y = 3$ hay $y = 3 + 2 x$ , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\begin{array}{l} 4 x - 2 (3 + 2 x) = - 4 \\ 0 x - 6 = - 4 \end{array}$

$0 x = 2$ (vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

LT3

Luyện tập 3 trang 12 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y = - 1 \\ 3 x + 9 y = - 3 \end{cases}$ bằng phương pháp thế

Lời giải:

Ta có $x + 3 y = - 1$ hay $x = - 1 - 3 y$ (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$\begin{array}{l} 3 (- 1 - 3 y) + 9 y = - 3 \\ 0 y - 3 = - 3 \end{array}$

$0 y = 0$ (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi $y \in R$ thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(- 1 - 3 y; y)$ với $y \in R$ tùy ý.

VD1

Vận dụng 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống $(x; y \in N^{*}) .$

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Lời giải:

a) Số cây cải trồng trong vườn là $x y$

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là $x + 8$ ; số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là $y - 3$ , số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có $(x + 8) (y - 3) + 108 = x y$ suy ra $- 3 x + 8 y = - 84.$

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là $x - 4$ , nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là $y + 2$ thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có $(x - 4) (y + 2) - 64 = x y$ suy ra $2 x - 4 y = 72.$

Nên ta có hệ phương trình ${\begin{cases} - 3 x + 8 y = - 84 \\ 2 x - 4 y = 72 \end{cases}$

b) Ta có $- 3 x + 8 y = - 84$ suy ra $x = \frac{84 + 8 y}{3}$ thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $2. \frac{84 + 8 y}{3} - 4 y = 72$ suy ra $\frac{4}{3} y = 16$ nên $y = 12.$

Với $y = 12$ nên $x = \frac{84 + 8.12}{3} = 60.$

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.

HĐ2

Hoạt động 2 trang 13 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối của nhau (tổng của chúng bằng 0) . Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

2. Với thay vào phương trình thứ hai ta có: nên

Vậy là nghiệm của hệ phương trình.

LT4

Luyện tập 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) ${\begin{cases} - 4 x + 3 y = 0 \\ 4 x - 5 y = - 8; \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 0 \\ x + 3 y = 9. \end{cases}$

Lời giải:

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được $- 2 y = - 8$ suy ra $y = 4.$

Thế $y = 4$ vào phương trình đầu ta được $- 4 x + 3.4 = 0$ nên $- 4 x = - 12$ suy ra $x = 3.$

Vậy $(3; 4)$ là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được $(4 x + 3 y) - (x + 3 y) = 0 - 9$ nên $3 x = - 9$ suy ra $x = - 3.$

Thế $x = - 3$ vào phương trình số hai ta được $- 3 + 3. y = 9$ nên $3 y = 12$ suy ra $y = 4.$

Vậy $(- 3; 4)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Luyện tập 5 trang 14 Toán 9 Tập 1: Giải hệ phương trình ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 6 \\ - 6 x + 10 y = - 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

${\begin{cases} 12 x + 9 y = 18 \\ - 12 x + 20 y = - 8 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta có $(12 x + 9 y) + (- 12 x + 20 y) = 18 + (- 8)$ nên $29 y = 10$ suy ra $y = \frac{10}{29} .$

Thế $y = \frac{10}{29}$ vào phương trình thứ nhất ta được $4 x + 3. \frac{10}{29} = 6$ nên $4 x = \frac{144}{29}$ suy ra $x = \frac{36}{29} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{36}{29}; \frac{10}{29})$ .

LT6

Luyện tập 6 trang 14 Toán 9 Tập 1: Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình ${\begin{cases} - 0.5 x + 0.5 y = 1 \\ - 2 x + 2 y = 8. \end{cases}$

Lời giải:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được $- 2 x + 2 y = 4$ nên hệ phương trình đã cho trở thành ${\begin{cases} - 2 x + 2 y = 4 \\ - 2 x + 2 y = 8 \end{cases}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được $(- 2 x + 2 y) - (- 2 x + 2 y) = 4 - 8$ suy ra $0 x + 0 y = - 4$ (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Thực hành trang 15 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = - 4 \\ - 3 x - 7 y = 13; \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 1 \\ - x - 1, 5 y = 1; \end{cases}$

c) ${\begin{cases} 8 x - 2 y - 6 = 0 \\ 4 x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Lời giải:

a) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = - 4 \\ - 3 x - 7 y = 13; \end{cases}$

Bấm máy tính ta được kết quả $x = \frac{11}{5}; y = \frac{- 14}{5} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{11}{5}; - \frac{14}{5}) .$

b) ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 1 \\ - x - 1, 5 y = 1; \end{cases}$

Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) ${\begin{cases} 8 x - 2 y - 6 = 0 \\ 4 x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Ta cần đưa hệ ${\begin{cases} 8 x - 2 y - 6 = 0 \\ 4 x - y - 3 = 0 \end{cases}$ trở thành ${\begin{cases} 8 x - 2 y = 6 \\ 4 x - y = 3 \end{cases}$

Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

VD2

Vận dụng 2 trang 16 Toán 9 Tập 1: Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililit dung dịch HCl nồng độ 20%, y là số mililit dung dịch HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

- Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

- Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch HCl ở trên.

Lời giải:

Khối lượng riêng của dung dịch HCl là 1,49 g/cm3

Đổi 2l = 2000ml

Khối lượng mol của HCl: 36,5 g/mol

a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là 2 lít nên ta có phương trình: $x + y = 2000 (m l) .$

Tổng số gam HCl nguyên chất sau pha là: $36, 5.0, 008. x {.10}^{- 3} + 36, 5.0, 002 y {.10}^{- 3} = 36, 5.0, 008$ hay $36, 5.0, 008. x {.10}^{- 3} + 36, 5.0, 002 y {.10}^{- 3} = 0, 292$ (gam)

b) Từ câu a ta có hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 2000 \\ 0, {008.10}^{- 3} .36, 5. x + 0, {002.10}^{- 3} .36, 5 y = 0, 292 \end{cases}$ hay ${\begin{cases} x + y = 2000 \\ 4 x + y = 4000 \end{cases}$

Từ phương trình đầu ta có $x = 2000 - y$ thay vào phương trình thứ hai ta được $4 (2000 - y) + y = 4000$ suy ra $8000 - 3 y = 4000$ nên $y = \frac{4000}{3} .$ Thế $y = \frac{4000}{3}$ vào phương trình thứ nhất ta được $x = \frac{2000}{3} .$

Vậy cần lấy $\frac{2000}{3} (m l)$ dung dịch HCl 20% và $\frac{4000}{3} (m l)$ dung dịch HCl 5%.

Bài 1.6 trang 16 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) ${\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 4 y = 2; \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 7 x - 3 y = 13 \\ 4 x + y = 2; \end{cases}$

c) ${\begin{cases} 0, 5 x - 1, 5 y = 1 \\ - x + 3 y = 2. \end{cases}$

Lời giải:

a) ${\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 4 y = 2; \end{cases}$

Từ phương trình đầu ta có $x = 3 + y$ thế vào phương trình thứ hai ta được $3 (3 + y) - 4 y = 2$ suy ra $9 - y = 2$ nên $y = 7.$ Thế $y = 7$ vào phương trình đầu ta có $x = 10.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(10; 7) .$

b) ${\begin{cases} 7 x - 3 y = 13 \\ 4 x + y = 2; \end{cases}$

Từ phương trình thứ hai ta có $y = 2 - 4 x$ thế vào phương trình đầu ta được $7 x - 3 (2 - 4 x) = 13$ suy ra $- 6 + 19 x = 13$ nên $x = 1.$ Thế $x = 1$ vào phương trình thứ hai ta có $y = - 2.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; - 2) .$

c) ${\begin{cases} 0, 5 x - 1, 5 y = 1 \\ - x + 3 y = 2. \end{cases}$

Từ phương trình thứ hai ta có $x = 3 y - 2$ thế vào phương trình đầu ta được $0, 5 (3 y - 2) - 1, 5 y = 1$ suy ra $0 y - 1 = 1$ hay $0 y = 2$ (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của y thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.7 trang 16 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y = 14; \end{cases}$

b) ${\begin{cases} 0, 5 x + 0, 5 y = 3 \\ 1, 5 x - 2 y = 1, 5; \end{cases}$

c) ${\begin{cases} - 2 x + 6 y = 8 \\ 3 x - 9 y = - 12. \end{cases}$

Lời giải:

a) ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y = 14; \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta có $(3 x + 2 y) + (2 x - 2 y) = 6 + 14$ nên $5 x = 20$ suy ra $x = 4.$

Thế $x = 4$ vào phương trình thứ nhất ta được $3.4 + 2 y = 6$ nên $2 y = - 6$ suy ra $y = - 3.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(4; - 3)$ .

b) ${\begin{cases} 0, 5 x + 0, 5 y = 3 \\ 1, 5 x - 2 y = 1, 5; \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được $1, 5 x + 1, 5 y = 9,$ vậy hệ đã cho trở thành ${\begin{cases} 1, 5 x + 1, 5 y = 9 \\ 1, 5 x - 2 y = 1, 5; \end{cases}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta có $(1, 5 x + 1, 5 y) - (1, 5 x - 2 y) = 9 - 1, 5$ nên $3, 5 y = 7, 5$ suy ra $y = \frac{15}{7} .$

Thế $y = \frac{15}{7}$ vào phương trình thứ hai ta được $1, 5 x - 2. \frac{15}{7} = 1, 5$ nên $1, 5 x = \frac{81}{7}$ suy ra $x = \frac{27}{7} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{27}{7}; \frac{15}{7})$ .

c) ${\begin{cases} - 2 x + 6 y = 8 \\ 3 x - 9 y = - 12. \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $\frac{1}{2}$ ta được $- x + 3 y = 4,$ nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $\frac{1}{3}$ ta được $x - 3 y = - 4.$

Vậy hệ đã cho trở thành ${\begin{cases} - x + 3 y = 4 \\ x - 3 y = - 4 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta có $(- x + 3 y) + (x - 3 y) = 4 + (- 4)$ nên $0 x + 0 y = 0$ (luôn đúng) .

Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình $- x + 3 y = 4,$ suy ra $x = 3 y - 4$ nên hệ phương trình đã cho có nghiệm $(3 y - 4; y)$ với $y \in R$ .

Bài 1.8 trang 16 Toán 9 Tập 1:

Cho hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ - 2 m^{2} x + 9 y = 3 (m + 3) \end{cases},$ trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) $m = - 2;$

b) $m = - 3;$

c) $m = 3.$

Lời giải:

a) Thay $m = - 2$ vào hệ phương trình đã cho ta được ${\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ - 8 x + 9 y = 3 \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được $8 x - 4 y = - 12,$ nên hệ phương trình đã cho trở thành ${\begin{cases} 8 x - 4 y = - 12 \\ - 8 x + 9 y = 3 \end{cases} .$

Cộng từng vế của hai phương trình ta có $(8 x - 4 y) + (- 8 x + 9 y) = (- 12) + 3$ nên $5 y = - 9$ suy ra $y = \frac{- 9}{5} .$ Thế $y = \frac{- 9}{5}$ vào phương trình $2 x - y = - 3$ ta được $2 x - \frac{- 9}{5} = - 3$ suy ra $x = - \frac{12}{5} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(- \frac{12}{5}; - \frac{9}{5}) .$

b) Thay $m = - 3$ vào hệ phương trình đã cho ta được ${\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ - 18 x + 9 y = 0 \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $\frac{1}{9}$ , ta được $- 2 x + y = 0,$ nên hệ phương trình đã cho trở thành ${\begin{cases} 2 y - y = - 3 \\ - 2 x + y = 0 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta có $(2 x - y) + (- 2 x + y) = - 3 + 0$ nên $0 x + 0 y = - 3$ (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) Thay $m = 3$ vào hệ phương trình đã cho ta được ${\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ - 18 x + 9 y = 18 \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $\frac{1}{9}$ , ta được $- 2 x + y = 2,$ nên hệ phương trình đã cho trở thành ${\begin{cases} 2 y - y = - 3 \\ - 2 x + y = 2 \end{cases}$