Tìm các giá trị của tham số m để

Phương Thảo Ngày: 05-11-2022 Lớp 10

281

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài tập cuối chương VII Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

Tìm các giá trị của tham số m để

Bài 7 trang 22 SBT Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f (x) = (m - 3) x^{2} + 2 m x - m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi $x \in R$

b) $f (x) = (m - 2) x^{2} + 2 (m + 3) x + 5 (m - 3)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm

c) Phương trình $2 x^{2} + (3 m - 1) x + 2 (m + 1) = 0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2 x^{2} + 2 (m - 3) x + 3 (m^{2} - 3) \geq 0$ có tập nghiệm là $R$

Phương pháp giải:

a) $f (x) < 0$ với mọi $x \in R$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a < 0 \\ Δ < 0 \end{cases}$

b, c, d)

Bước 1: Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ hoặc $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ với $b = 2 b^{'}$

Bước 2: Xét dấu của delta

+) $Δ > 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) $Δ = 0$ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

+) $Δ < 0$ phương tình vô nghiệm

Lời giải:

a) $f (x) = (m - 3) x^{2} + 2 m x - m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi $x \in R$ khi và chỉ khi ${\begin{cases} Δ^{'} < 0 \\ a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} + m (m - 3) < 0 \\ m - 3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 m^{2} - 3 m < 0 \\ m < 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 < m < \frac{3}{2} \\ m < 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}$

Vậy khi $m \in (0; \frac{3}{2})$ thì $f (x) = (m - 3) x^{2} + 2 m x - m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi $x \in R$

_b) $f (x) = (m - 2) x^{2} + 2 (m + 3) x + 5 (m - 3)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi ${\begin{cases} Δ^{'} \geq 0 \\ a \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} {(m + 3)}^{2} - 5 (m - 2) (m - 3) \geq 0 \\ m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 4 m^{2} + 31 m - 21 \geq 0 \\ m \neq 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{3}{4} \leq m \leq 7 \\ m \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\frac{3}{4}; 7] ∖ {2}$

Vậy khi $m \in [\frac{3}{4}; 7] ∖ {2}$ thì $f (x) = (m - 2) x^{2} + 2 (m + 3) x + 5 (m - 3)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm

c) Phương trình $2 x^{2} + (3 m - 1) x + 2 (m + 1) = 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $Δ < 0$

hay ${(3 m - 1)}^{2} - 4.2.2 (m + 1) < 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} - 22 m - 15 < 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{9} < x < 3$

Vậy khi $m \in (- \frac{5}{9}; 3)$ thì phương trình $2 x^{2} + (3 m - 1) x + 2 (m + 1) = 0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2 x^{2} + 2 (m - 3) x + 3 (m^{2} - 3) \geq 0$ có $a = 2 > 0$ nên để bất phương trình có tập nghiệm trên $R$ khi và chỉ khi $Δ^{'} < 0$

hay ${(m - 3)}^{2} - 2.3 (m^{2} - 3) < 0 \Leftrightarrow - 5 m^{2} - 6 m + 27 < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 3 \\ m > \frac{9}{5} \end{array}$

Vậy khi $m \in (- \infty; - 3) \cup (\frac{9}{5}; + \infty)$ thì bất phương trình $2 x^{2} + 2 (m - 3) x + 3 (m^{2} - 3) \geq 0$ có tập nghiệm trên $R$