Lời giải a

a) $23;41;71;29;48;45;72;41$.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: $x_1,x_2,...,x_n$

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

Bước 2: $Q_2=M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải 

) $23;41;71;29;48;45;72;41$.

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46,25$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23;29;41;41;45;48;71;72$

Bước 2: $n=8$, là số chẵn nên $Q_2=M_e=\frac{1}{2}(41+45)=43$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $23;29;41;41$. Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(29+41)=35$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $45;48;71;72$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(48+71)=59,5$

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_o=41$

Lời giải b

b) $12;32;93;78;24;12;54;66;78$.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: $x_1,x_2,...,x_n$

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

Bước 2: $Q_2=M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải 

) $12;32;93;78;24;12;54;66;78$.

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9}\approx 49,89$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12;12;24;32;54;66;78;78;93$

Bước 2: $n=9$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=54$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12;12;24;32$. Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(12+24)=18$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $66;78;78;93$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(78+78)=78$

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_o=12,M_o=78.$

Bài 2 trang 118 Toán 10 Tập 1: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

Phương pháp giải 

Cho bảng số liệu:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+...+f_m$

Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải 

a)

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{23.6+25.8+28.10+31.6+33.4+37.3}{6+8+10+6+4+3}\approx 28,3$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm,

$\underset{6}{\underbrace{23,...,23}},\underset{8}{\underbrace{25,...25}},\underset{10}{\underbrace{28,...,28}},\underset{6}{\underbrace{31,...,31}},\underset{4}{\underbrace{33,...,33}},37,37,37$

Bước 2: $n=6+8+10+6+4+3=37$, là số lẻ $\Rightarrow Q_2=X_{19}=28$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$: $\underset{6}{\underbrace{23,...,23}},\underset{8}{\underbrace{25,...25}},\underset{4}{\underbrace{28,...,28}}$

Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(X_9+X_{10})=\frac{1}{2}(25+25)=25$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$

$\underset{5}{\underbrace{28,...,28}},\underset{6}{\underbrace{31,...,31}},\underset{4}{\underbrace{33,...,33}},37,37,37$

Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(X_9+X_{10})=\frac{1}{2}(31+31)=31$

+) Mốt $M_o=28$

b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$

Khi đó ta có bảng số liệu như sau:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{0.0,6+2.0,2+4.0,1+5.0,1}{0,6+0,2+0,1+0,1}=1,3$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $0,0,0,0,0,0,2,2,4,5$

Bước 2: $n=10$, là số chẵn $\Rightarrow Q_2=\frac{1}{2}(0+0)=0$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $0,0,0,0,0$. Do đó $Q_1=0$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $0,2,2,4,5$. Do đó $Q_3=2$

+) Mốt $M_o=0$

Bài 3 trang 118 Toán 10 Tập 1: An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Phương pháp giải

Cho bảng số liệu:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+...+f_m$

Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải 

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{0.10+1.30+2.40+3.20}{100}=1,7$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $\underset{10}{\underbrace{0,...,0}},\underset{30}{\underbrace{1,...,1}},\underset{40}{\underbrace{2,...,2}},\underset{20}{\underbrace{3,...,3}}.$

Bước 2: Vì $n=100$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu:  $\underset{10}{\underbrace{0,...,0}},\underset{30}{\underbrace{1,...,1}},\underset{10}{\underbrace{2,...,2}}.$ Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(1+1)=1$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $\underset{30}{\underbrace{2,...,2}},\underset{20}{\underbrace{3,...,3}}.$ Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(2+2)=2$

+) Mốt $M_o=2$

Bài 4 trang 118 Toán 10 Tập 1: Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí nghiệm ở bảng sau: