Với giải Câu hỏi trang 9 SBT Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 7 trang 10 SBT Toán 10: Chứng minh rằng

a) $2x^2+\sqrt{3}x+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

b) $x^2+x+\frac{1}{4}\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

c) $-x^2<-2x+3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Lời giải:

a) Tam thức $2x^2+\sqrt{3}x+1$ có $\mathrm{\Delta }={\left(\sqrt{3}\right)}^2-4.2=-5<0$ và $a=2>0$

Suy ra $2x^2+\sqrt{3}x+1>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$  (đpcm)

b) Tam thức $x^2+x+\frac{1}{4}$ có $\mathrm{\Delta }=1^2-4.\frac{1}{4}=0$, có nghiệm kép $x=-\frac{1}{2}$ và $a=1>0$

Suy ra $x^2+x+\frac{1}{4}\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$  (đpcm)

c) $-x^2<-2x+3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$         $\iff x^2-2x+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Xét tam thức $x^2-2x+3$ ta có $\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4.3=-8<0$ và $a=1>0$

Suy ra $x^2-2x+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$$\iff -x^2<-2x+3$        (đpcm)

Bài 8 trang 10 SBT Toán 10: Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(-1;-4\right),\left(0;3\right)$ và $\left(1;-14\right)$

b) Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(0;-2\right),\left(2;6\right)$ và $\left(3;13\right)$

c) $f\left(-5\right)=33,f\left(0\right)=3$ và $f\left(2\right)=19$

Lời giải:

a) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(-1;-4\right),\left(0;3\right)$ và $\left(1;-14\right)$ nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:

$\{\begin{array}{l}-4=a{\left(-1\right)}^2+b\left(-1\right)+c\\ 3=a{.0}^2+b.0+c\\ -14=a{\left(1\right)}^2+b\left(1\right)+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b+c=-4\\ c=3\\ a+b+c=-14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-12\\ b=-5\\ c=3\end{array}$

Từ a, b, c đã xác định được ta có $\mathrm{\Delta }=169>0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-\frac{3}{4}$ và $x=\frac{1}{3}$, trong đó $a=-12<0$

Ta có bảng biến thiên sau đây

Vậy tam thức đã cho có dạng là $f\left(x\right)=-12x^2-5x+3$ dương trên khoảng $\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{3}\right)$, âm trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{3}{4}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

b) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(0;-2\right),\left(2;6\right)$ và $\left(3;13\right)$

 nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:

$\{\begin{array}{l}-2=a{.0}^2+b.0+c\\ 6=a{.2}^2+b.2+c\\ 13=a{.3}^2+b.3+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-2\\ 4a+2b+c=6\\ 9a+3b+c=13\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=-2\end{array}$

Từ a, b, c đã xác định được ta có $\mathrm{\Delta }=12>0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-1-\sqrt{3}$ và $x=-1+\sqrt{3}$, trong đó $a=1>0$

Ta có bảng biến thiên sau đây

Vậy tam thức đã cho có dạng là $f\left(x\right)=x^2+2x-2$ âm  trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right)$, dương trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{3}\right)$ và $\left(-1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }\right)$

c) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì $f\left(-5\right)=33$ nên $a.(-5{)}^2+b.(-5)+c=33$

Vì $f\left(0\right)=3$ nên $a{.0}^2+b.0+c=3$

Vì $f\left(2\right)=19$ nên $a{.2}^2+b.2+c=19$

Từ đó ta có hệ

$\{\begin{array}{l}a.(-5{)}^2+b.(-5)+c=33\\ a{.0}^2+b.0+c=3\\ a{.2}^2+b.2+c=19\end{array}\iff \{\begin{array}{l}25a-5b+c=33\\ c=3\\ 4a+2b+c=19\end{array}\iff \{\begin{array}{l}25a-5b=30\\ 4a+2b=16\\ c=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\\ c=3\end{array}$

Vậy $f(x)=2x^2+4x+3$, có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-2.3=-2<0$ và $a=2>0$nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.