Toán 9 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1

Mai Hương Ngày: 08-03-2024 Lớp 9

277

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 9 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1 hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 9 Bài tập cuối chương 1 từ đó học tốt môn Toán 9.

Toán 9 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1

Bài 1 trang 26 Toán 9 Tập 1: Nghiệm của phương trình $\frac{1}{x} - \frac{3}{2 x} = \frac{1}{6}$ là:

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x \neq 0$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x} = \frac{1}{6} \\ \frac{6}{6 x} - \frac{9}{6 x} = \frac{x}{6} \\ x = - 3 \end{array}$

Ta thấy: $x = - 3$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

=> Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 26 Toán 9 Tập 1: Nghiệm của hệ phương trình ${\begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = - 1 \end{cases}$ là:

A. $(x; y) = (4, 5)$ ;

B. $(x; y) = (5; 4)$ ;

C. $(x; y) = (- 5; - 4)$ ;

D. $(x; y) = (- 4; - 5)$

Lời giải:

Sử dụng máy tính phù hợp ấn liên tiếp các phím:

$M O D E \to 5 \to 1 \to 1 \to = \to 1 \to = \to 9 \to = \to 1 \to = \to - 1 \to = \to - 1 \to = \to =$

Ta được nghiệm của hệ phương trình là: $(x; y) = (4; 5)$

=> Chọn đáp án A.

Bài 3 trang 26 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a. $(3 x + 7) (4 x + 9) = 0$ ;

b. $(5 x - 0, 2) (0, 3 x + 6) = 0$ ;

c. $x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$ ;

d. $x^{2} - 9 - (x + 3) (3 x + 1) = 0$ ;

e. $x^{2} - 10 x + 25 = 5 (5 - x)$ ;

g. $4 x^{2} = {(x - 12)}^{2}$

Lời giải:

a. $(3 x + 7) (4 x + 9) = 0$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $3 x + 7 = 0$

$x = - \frac{7}{3}$ ;

*) $4 x + 9 = 0$

$x = - \frac{9}{4}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{7}{3}$ và $x = - \frac{9}{4}$ .

b. $(5 x - 0, 2) (0, 3 x + 6) = 0$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $5 x - 0, 2 = 0$ *) $0, 3 x + 6 = 0$

$x = 0, 04$ ; $x = - 20$ .

*) $0, 3 x + 6 = 0$

$x = - 20$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 0, 04$ và $x = - 20$ .

c. $x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$

Ta có: $x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$

$(2 x - 1) (x + 5) = 0$ .

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $2 x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ ;

*) $x + 5 = 0$

$x = - 5$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{1}{2}$ và $x = - 5$ .

d. $x^{2} - 9 - (x + 3) (3 x + 1) = 0$

Ta có: $x^{2} - 9 - (x + 3) (3 x + 1) = 0$

$\begin{array}{l} (x - 3) (x + 3) - (x + 3) (3 x + 1) = 0 \\ (x + 3) (x - 3 - 3 x - 1) = 0 \\ (x + 3) (- 2 x - 4) = 0 \end{array}$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $x + 3 = 0$

$x = - 3$ ;

*) $- 2 x - 4 = 0$

$x = - 2$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 3$ và $x = - 2$ .

e. $x^{2} - 10 x + 25 = 5 (5 - x)$

Ta có: $x^{2} - 10 x + 25 = 5 (5 - x)$

$\begin{array}{l} {(x - 5)}^{2} = 5 (5 - x) \\ {(5 - x)}^{2} - 5 (5 - x) = 0 \\ (5 - x) (5 - x - 5) = 0 \\ - x (5 - x) = 0 \end{array}$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $- x = 0$

$x = 0$ ;

*) $5 - x = 0$

$x = 5$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = 5$ .

g. $4 x^{2} = {(x - 12)}^{2}$

Ta có: $4 x^{2} = {(x - 12)}^{2}$

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - {(x - 12)}^{2} = 0 \\ (2 x - x + 12) (2 x + x - 12) = 0 \\ (x + 12) (3 x - 12) = 0 \end{array}$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $x + 12 = 0$

$x = - 12$ ;

*) $3 x - 12 = 0$

$x = 4$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 12$ và $x = 4$ .

Bài 4 trang 26 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình :

a. $\frac{- 6}{x + 3} = \frac{2}{3}$ ;

b. $\frac{x - 2}{2} + \frac{1}{2 x} = 0$ ;

c. $\frac{8}{3 x - 4} = \frac{1}{x + 2}$ ;

d. $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = 1$ ;

e. $\frac{3 x - 2}{x + 1} = 4 - \frac{x + 2}{x - 1}$ ;

g. $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x - 2)} = 1 - \frac{1}{x - 1}$ .

Lời giải:

a. $\frac{- 6}{x + 3} = \frac{2}{3}$

Điều kiện xác định: $x \neq - 3$ .

$\begin{array}{l} \frac{- 6}{x + 3} = \frac{2}{3} \\ \frac{- 18}{3 (x + 3)} = \frac{2 (x + 3)}{3 (x + 3)} \\ 2 (x + 3) = - 18 \\ x + 3 = - 9 \\ x = - 12 \end{array}$

Ta thấy $x = - 12$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 12$ .

b. $\frac{x - 2}{2} + \frac{1}{2 x} = 0$

Điều kiện xác định: $x \neq 0$

$\begin{array}{l} \frac{x - 2}{2} + \frac{1}{2 x} = 0 \\ \frac{2 x (x - 2)}{4 x} + \frac{2}{4 x} = 0 \\ 2 x (x - 2) + 2 = 0 \\ x (x - 2) + 1 = 0 \\ x^{2} - 2 x + 1 = 0 \\ {(x - 1)}^{2} = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$ .

c. $\frac{8}{3 x - 4} = \frac{1}{x + 2}$

Điều kiện xác định: $x \neq \frac{4}{3}$ và $x \neq - 2$ .

$\begin{array}{l} \frac{8}{3 x - 4} = \frac{1}{x + 2} \\ \frac{8 (x + 2)}{(3 x - 4) (x + 2)} = \frac{3 x - 4}{(3 x - 4) (x + 2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} 8 (x + 2) = 3 x - 4 \\ 8 x + 16 - 3 x + 4 = 0 \\ 5 x + 20 = 0 \\ x = - 4 \end{array}$

Ta thấy $x = - 4$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 4$ .

d. $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = 1$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = 1 \\ \frac{x (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} \\ x (x - 2) + 2 = {(x - 2)}^{2} \\ x^{2} - 2 x + 2 = x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} + 4 x - 4 = 0 \\ 2 x - 2 = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$ .

e. $\frac{3 x - 2}{x + 1} = 4 - \frac{x + 2}{x - 1}$

Điều kiện xác định: $x \neq - 1$ và $x \neq 1$

$\begin{array}{l} \frac{3 x - 2}{x + 1} = 4 - \frac{x + 2}{x - 1} \\ \frac{(3 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{4 (x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{(x + 2) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \\ (3 x - 2) (x - 1) = 4 (x - 1) (x + 1) - (x + 2) (x + 1) \\ 3 x^{2} - 3 x - 2 x + 2 = 4 x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x - 2 \\ 3 x^{2} - 5 x + 2 = 3 x^{2} - 3 x - 6 \\ 3 x^{2} - 3 x^{2} - 5 x + 3 x + 2 + 6 = 0 \\ - 2 x = - 8 \\ x = 4 \end{array}$

Ta thấy $x = 4$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4$ .

g. $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x - 2)} = 1 - \frac{1}{x - 1}$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$ và $x \neq 2$ .

$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{(x - 1) (x - 2)} = 1 - \frac{1}{x - 1} \\ \frac{x^{2}}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x - 1) (x - 2)} \\ x^{2} = (x - 1) (x - 2) - x + 2 \\ x^{2} = x^{2} - 3 x + 2 - x + 2 \\ x^{2} - x^{2} + 4 x - 4 = 0 \\ 4 x = 4 \\ x = 1 \end{array}$

Ta thấy $x = 1$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 5 trang 26 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a. ${\begin{cases} x + 3 y = - 2 \\ 5 x + 8 y = 11 \end{cases}$

b. ${\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 \\ 3 x - 2 y = - 3 \end{cases}$

c. ${\begin{cases} 2 x - 4 y = - 1 \\ - 3 x + 6 y = 2 \end{cases}$

Lời giải:

a. ${\begin{cases} x + 3 y = - 2 (1) \\ 5 x + 8 y = 11 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1), ta có: $x = - 2 - 3 y$ (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: $5. (- 2 - 3 y) + 8 y = 11$ (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} 5. (- 2 - 3 y) + 8 y = 11 \\ - 10 - 15 y + 8 y = 11 \\ - 7 y = 11 + 10 \\ - 7 y = 21 \\ y = - 3 \end{array}$

Thay $y = - 3$ , vào phương trình (3), ta có: $x = - 2 - 3. (- 3) = 7$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (7; - 3)$ .

b. ${\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 (1) \\ 3 x - 2 y = - 3 (2) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với (2), ta được hệ phương trình sau:

${\begin{cases} 6 x + 9 y = - 6 (3) \\ 6 x - 4 y = - 6 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương tình (3) và (4), ta nhận được phươn trình: $13 y = 0$ , tức là $y = 0$

Thế $y = 0$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $2 x + 3.0 = - 2$ (5)

Giải phương trình (5):

$\begin{array}{l} 2 x + 3.0 = - 2 \\ 2 x = - 2 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (- 1; 0)$ .

c. ${\begin{cases} 2 x - 4 y = - 1 (1) \\ - 3 x + 6 y = 2 (2) \end{cases}$

Chia hai vế của phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với $- 3$ , ta được hệ phương trình sau:

${\begin{cases} x - 2 y = - \frac{1}{2} (3) \\ x - 2 y = \frac{2}{3} (4) \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $0 x + 0 y = - \frac{7}{6}$ (5)

Do đó phương trình (5) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6 trang 26 Toán 9 Tập 1: Một nhóm bạn trẻ cùng tham gia khởi nghiệp và dự định góp vốn là 240 triệu đồng, số tiền góp mỗi người là như nhau. Nếu có thêm 2 người tham gia cùng thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng. Hỏi nhóm bạn trẻ đó có bao nhiêu người?

Lời giải:

Gọi số bạn trẻ của nhóm là $x$ (người, $x \in N^{*}$ ).

Số vốn mỗi người dự định góp là: $\frac{240}{x}$ ( triệu đồng)

Nếu thêm 2 người, thì số bạn trẻ của nhóm là: $x + 2$ (người)

Số vốn sau khi thêm 2 người, mỗi người phải góp là: $\frac{240}{x + 2}$ (triệu đồng)

Do nếu thêm 2 người tham gia thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{240}{x} - 4 = \frac{240}{x + 2} \\ \frac{240 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 x (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{240 x}{x (x + 2)} \\ 240 (x + 2) - 4 x (x + 2) = 240 x \\ 240 x + 480 - 4 x^{2} - 8 x - 240 x = 0 \\ - 4 x^{2} - 8 x + 480 = 0 \\ x^{2} + 2 x - 120 = 0 \\ (x - 10) (x + 12) = 0 \end{array}$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $x - 10 = 0$

$x = 10$ ;

*) $x + 12 = 0$

$x = - 12$ .

Ta thấy

+ $x = 10$ thỏa mãn điều kiện đề bài;

+ $x = - 12$ không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy nhóm bạn trẻ có 10 người.

Bài 7 trang 26 Toán 9 Tập 1: Một nhóm công nhân cần phải cắt cỏ ở một số mặt sân cỏ. Nếu nhóm công nhân đó sử dụng 3 máy cắt cỏ ngồi lái và 2 máy cắt cỏ đẩy tay trong 10 phút thì cắt được $2990 m^{2}$ cỏ. Nếu nhóm công nhân đó sử dụng 4 máy cắt cỏ ngồi lái và 3 máy cắt cỏ đẩy tay trong 10 phút thì cắt được $4060 m^{2}$ cỏ. Hỏi trong 10 phút, mỗi loại máy trên sẽ cắt được bao nhiêu mét vuông cỏ?

Lời giải:

Gọi số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ ngồi lái cắt được trong 10 phút là $x (m^{2}; x > 0)$

Gọi số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ đẩy tay cắt được trong 10 phút là $y (m^{2}; y > 0)$

Do trong 10 phút, công nhân sử dụng 3 máy cắt cỏ ngồi lái và 2 máy cắt cỏ đẩy tay thì cắt được $2990 m^{2}$ nên ta có phương trình: $3 x + 2 y = 2990$ (1)

Do trong 10 phút, công nhân sử dụng 4 máy cắt cỏ ngồi lái và 3 máy cắt cỏ đẩy tay thì cắt được $4060 m^{2}$ nên ta có phương trình: $4 x + 3 y = 4060$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 2990 \\ 4 x + 3 y = 4060 \end{cases}$

Nhân phương trình (1) với 4 và phương trình (2) với 3 ta được hệ phương trình sau:

${\begin{cases} 12 x + 8 y = 11960 (3) \\ 12 x + 9 y = 12180 (4) \end{cases}$

Ta giải hệ phương trình trên:

Trừ từng vế của phương trình (4) và (3), ta được $y = 220$

Thay $y = 220$ vào phương trình (1) ta được $3 x + 2.220 = 2990$ (5)

Giải phương trình (5): $x = 850$

Vậy số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ ngồi lái cắt được trong 10 phút là $850 (m^{2})$

số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ đẩy tay cắt được trong 10 phút là $220 (m^{2})$ .

Bài 8 trang 26 Toán 9 Tập 1:Tại một buổi biểu diễn nhằm gây quỹ từ thiện, ban tổ chức đã bán 500 vé. Trong đó có hai loại vé: vé loại I giá 100 000 đồng; vé loại II giá 75 000 đồng. Tổng số tiền thu được từ bán vé là 44 500 000 đồng. Tính số vé bán ra của mỗi loại.

Lời giải:

Gọi số vé bán ra của loại I là $x$ (vé, $x < 500; x \in N^{*}$ )

Gọi số vé bán ra của loại II là $y$ (vé, $y < 500; y \in N^{*}$ ).

Do tổng số vé ban tổ chức đã bán là 500 vé nên ta có phương trình: $x + y = 500$ (1)

Số tiền thu được từ bán vé loại I là: $100000 x$ (đồng)

Số tiền thu được từ bán vé loại II là: $75000 y$ (đồng)

Do tổng số vé thu được từ bán vé là 44 500 000 đồng, nên ta có phương trình:

$100000 x + 75000 y = 44500000$ hay $4 x + 3 y = 1780$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} x + y = 500 \\ 4 x + 3 y = 1780 \end{cases}$

Từ phương trình (1) ta có: $x = 500 - y$ (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: $4 (500 - y) + 3 y = 1780$ (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{array}{l} 4. (500 - y) + 3 y = 1780 \\ 2000 - 4 y + 3 y = 1780 \\ - y = - 220 \\ y = 220 \end{array}$

Thay giá trị $y = 220$ vào phương trình (3), ta có: $x = 500 - 220 = 280$ .

Vậy số vé bán ra của loại I là 280 (vé)

Số vé bán ra của loại II là 220 (vé)

Bài 9 trang 26 Toán 9 Tập 1Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì số tiền phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua trong khung giờ vàng thì mặt hàng A được giảm giá 30% và mặt hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi mặt hàng A và B.

Lời giải:

Gọi giá niêm yết của mặt hàng A là $x$ (đồng, x > 0)

Gọi giá niêm yết của mặt hàng B là y (đồng, y > 0)

Trong đợt khuyến mãi:

+ Giá bán của mặt hàng A là $x - 20 % x = 80 % x = 0, 8 x$ (đồng)

+ Giá bán của mặt hàng B là $y - 15 % y = 85 % y = 0, 85 y$ (đồng)

+ Khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì số tiền phải trả là 362 000 đồng nên ta có phương trình: $1, 6 x + 0, 85 y = 362000$ (1)

Trong giờ vàng:

+ Giá bán của mặt hàng A là: $x - 30 % x = 70 % x = 0, 7 x$

+ Giá bán của mặt hàng B là: $y - 25 % y = 75 % y = 0, 75 y$

+ Khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trả số tiền là 552000 nên ta có phương trình:

$2, 1 x + 1, 5 y = 552000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} 1, 6 x + 0, 85 y = 362000 \\ 2, 1 x + 1, 5 y = 552000 \end{cases}$

Ta giải phương trình trên:

Nhân từng vế của phương trình 1 với 2,1 và phương trình 2 với 1,6 ta được hệ phương trình sau:

${\begin{cases} 3, 36 x + 1, 785 y = 760200 (3) \\ 3, 36 x + 2, 4 y = 883200 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3) ta được $0, 615 y = 123000$ , tức là $y = 200000$

Thay $y = 200000$ vào phương trình (1) ta được: $1, 6 x + 0, 85.200000 = 362000$ (5)

Giải phương trình (5) :

$\begin{array}{l} 1, 6 x + 0, 85.200000 = 362000 \\ x = 120000 \end{array}$

Vậy giá bán niêm yết của mặt hàng A là 120000 (đồng)

Giá bán niêm yết của mặt hàng B là 200000 (đồng).

Bài 10 trang 26 Toán 9 Tập Trong phòng thí nghiệm, cô Linh muốn tạo ra 500g dung dịch HCl 19% từ hai loại dung dịch HCl 10% và HCl 25%. Hỏi cô Linh cần dùng bao nhiêu gam cho mỗi loại dung dịch đó?

Lời giải:

Gọi số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là x (g, x > 0)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là y (g, y > 0).

Áp dụng sơ đồ đường chéo ta có: $\frac{x}{y} = \frac{| 19 - 10 |}{| 19 - 25 |} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ hay $2 x - 3 y = 0$ (1)

Mặt khác $x + y = 500$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - 3 y = 0 \\ x + y = 500 \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và phương trình (1) giữ nguyên, ta được hệ phương trình sau: ${\begin{cases} 2 x - 3 y = 0 (3) \\ 2 x + 2 y = 1000 (4) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được $- 5 y = - 1000$ tức là $y = 200$ .

Thay $y = 200$ vào phương trình (2) ta được $x + 200 = 500$ hay $x = 300$ .

Vậy số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là 300 (g)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là 200 (g).

Bài 11 trang 26 Toán 9 TậpMột ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B và lại ngược dòng từ địa điểm B về địa điểm A mất 9 giờ, tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường đó và tốc độ của dòng nước không đổi khi ca nô chuyển động. Biết thời gian ca nô đi xuôi dòng 5km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4km và quãng đường AB là 160km. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước

Lời giải:

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $x (k m / h, 0 < y < x)$

Vận tốc của dòng nước là $y (k m / h, 0 < y < x)$

Vận tốc ca nô ngược dòng là: $x - y (k m / h)$ ;

Thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{160}{x - y}$ (giờ);

Vận tốc ca nô xuôi dòng là: $x + y (k m / h)$ ;

Thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{160}{x + y}$ (giờ)

Do thời gian ca nô ngược dòng và ca nô ngược dòng là 9 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{160}{x - y} + \frac{160}{x + y} = 9$ (1)

Do thời gian ca nô đi xuôi dòng 5km bằng thời gian ca nô đi ngược dòng 4km nên ta có phương trình: $\frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ${\begin{cases} \frac{160}{x - y} + \frac{160}{x + y} = 9 \\ \frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y} \end{cases}$

Từ phương trình (2) ta có:

$\begin{array}{l} \frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y} \\ 5 (x - y) = 4 (x + y) \\ 5 x - 5 y = 4 x + 4 y \\ 5 x - 5 y - 4 x - 4 y = 0 \\ x - 9 y = 0 \\ x = 9 y (3) \end{array}$

Từ phương trình (1), ta có:

$\begin{array}{l} \frac{160}{x - y} + \frac{160}{x + y} = 9 \\ \frac{160 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{160 (x - y)}{(x + y) (x - y)} = \frac{9 (x - y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} \\ 160 (x + y) + 160 (x - y) = 9 (x^{2} - y^{2}) \\ 160 x + 160 y + 160 x - 160 y - 9 x^{2} + 9 y^{2} = 0 \\ - 9 x^{2} + 9 y^{2} + 320 x = 0 (4) \end{array}$

Thay (3) vào (4) ta được: $- 9. {(9 y)}^{2} + 9 y^{2} + 320. (9 y) = 0$ (5)

Giải phương trình (5):

$\begin{array}{l} - 9. {(9 y)}^{2} + 9 y^{2} + 320. (9 y) = 0 \\ - 729 y^{2} + 9 y^{2} + 2880 y = 0 \\ - 720 y^{2} + 2880 y = 0 \\ 720 y (y - 4) = 0 \end{array}$