Toán 10 Kết nối tri thức trang 71: Bài tập cuối chương 4

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

383

Với giải Câu hỏi trang 71 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong Bài tập cuối chương 4 học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 71: Bài tập cuối chương 4

Bài 4.27 trang 71 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (\frac{1}{2}; 6)$

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3 \sqrt{2})$

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; - 6)$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{a} = (x; y)$ và $\vec{b} = (z, t)$ ( $z, t \neq 0$ )

+) Nếu $\frac{x}{z} = \frac{y}{t} = k$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

+) Nếu $\frac{x}{z} \neq \frac{y}{t}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương.

Lời giải:

A. Ta có: $\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \neq \frac{3}{6}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương.

B. Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{6}{3 \sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0.1 + 1.0 = 0 \Rightarrow \vec{i} ⊥ \vec{j}$

Vậy $\vec{i}$ và $\vec{j}$ không cùng phương.

D. Ta có: $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{- 6}$ nên $\vec{c}$ và $\vec{d}$ không cùng phương.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$

B. $\vec{a} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 1)$

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (- b; a)$

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$

Phương pháp giải:

+) Cho $\vec{u} (x; y), \vec{v} (z; t)$ thì $\vec{u} . \vec{v} = x . z + y . t$

+) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

Lời giải:

A. Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 26 \neq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không vuông góc với nhau.

B. Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 2 \neq 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không vuông góc với nhau.

C. Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = 0$ nên $\vec{z}$ và $\vec{t}$ vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

D. Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 \neq 0$ nên $\vec{n}$ và $\vec{k}$ không vuông góc với nhau.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} = (1; 1)$

B. $\vec{b} = (1; - 1)$

C. $\vec{c} = (2; \frac{1}{2})$

D. $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Phương pháp giải:

Tính độ dài vectơ $\vec{a} (x; y)$ theo công thức: $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Lời giải:

A. Ta có: $\vec{a} = (1; 1) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . (Loại)

B. Ta có: $\vec{b} = (1; - 1) \Rightarrow | \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . (Loại)

C. Ta có: $\vec{c} = (2; \frac{1}{2}) \Rightarrow | \vec{c} | = \sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \neq 1$ . (Loại)

D. Ta có: $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{11}{\sqrt{2}})}^{2}} = 1$ . (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Bài 4.30 trang 71 Toán 10: Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; - 1)$ và vectơ $\vec{b} = (- 2; 0)$ có số đo bằng:

A. $90^{o}$

B. $0^{o}$

C. $135^{o}$

D. $45^{o}$

Phương pháp giải:

Tính $\vec{a} . \vec{b}$ .

+) Nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$ thì góc giữa 2 vectơ bằng $90^{o}$ .

+) Nếu $\vec{a} . \vec{b} \neq 0$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 2) + (- 1) .0 = - 2 \neq 0$ .

Lại có: $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}; | \vec{b} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}} = 2.$

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{- 2}{\sqrt{2} .2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 135^{o}$

Chọn C

Bài 4.31 trang 71 Toán 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} . \vec{c})$

B. $(\vec{a} . \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$

C. $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \sin (\vec{a}, \vec{b})$

D. $\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c}$

Phương pháp giải:

+) $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = [| \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})] . \vec{c} \neq$ $\vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) = \vec{a} [| \vec{b} | . | \vec{c} | \cos (\vec{b}, \vec{c})]$

B. Sai vì $(\vec{a} . \vec{b})^{2} = [\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})]^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} . \cos^{2} (\vec{a}, \vec{b})$ $\neq {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$

C. Sai vì $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b}) \neq | \vec{a} | . | \vec{b} | \sin (\vec{a}, \vec{b})$

Bài 4.32 trang 71 Toán 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{o}$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{o}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2}$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2}$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2}$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

A. Ta có: $(\vec{A B}, \vec{B D}) = (\vec{B E}, \vec{B D}) = 135^{o} \neq 45^{o} .$ Vậy A sai.

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 4)

B. Ta có: $(\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{C F}, \vec{C G}) = 45^{o}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = A C . B C . \cos 45^{o} = a \sqrt{2} . a . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2} .$

Vậy B đúng.

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 3)

Chọn B

C. Dễ thấy $A C ⊥ B D$ nên $\vec{A C} . \vec{B D} = 0 \neq a^{2} \sqrt{2} .$ Vậy C sai.

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 2)

D. Ta có: $(\vec{B A} . \vec{B D}) = 45^{o}$ $\Rightarrow \vec{B A} . \vec{B D} = B A . B D . \cos 45^{o} = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2} \neq - a^{2} .$ Vậy D sai.