Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 97) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N
Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH vuông góc với BC.
b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải:
a) Xét (O) có ΔBMC nội tiếp và BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
⇒ BM ⊥ MC tại M
⇒ CM ⊥AB tại M
Xét (O) có ΔBNC nội tiếp và BC là đường kính
Do đó: ΔBNC vuông tại N
⇒ BN ⊥ NC tại N
⇒ BN ⊥ AC tại N
Xét ΔABC có BN, CM là đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
b) Xét tứ giác AMHN có:
nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
⇒A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
Gọi giao điểm của AH với BC là F
Xét ΔABC có: H là trực tâm của ΔABC
F là giao điểm của AH với BC
Do đó: AH ⊥ BC tại F
⇒ ΔAFB vuông tại F
⇒
Mà (do ΔCMB vuông tại M)
Nên:
Lại có:
Vậy EM là tiếp tuyến của (O).
Bài viết cùng bài học:
