Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22)

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-06-2023 Tổng hợp kiến thức

453

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22)

Câu 1: Cho $Δ A B C$ vuông tại A có đường cao AH. Biết AC = 15cm; HB = 16cm. Tính BC; AB; AH; CH

Lời giải:

Ta có: ${AC}^{2} = CH . BC$

$\Leftrightarrow {CH}^{2} + 16HC - 225 = 0 \Leftrightarrow {CH}^{2} + 25HC - 9HC - 225 = 0 \Leftrightarrow CH = 9 (cm)$

Áp dụng định lí Pytago vào $Δ A C H$ vuông tại H, ta được:

${AC}^{2} {= AH}^{2} {+ HC}^{2} \Leftrightarrow {AH}^{2} {= 15}^{2} {- 9}^{2} = 144$

hay AH = 12cm

Áp dụng định lí Pytago vào $Δ A B H$ vuông tại H, ta được:

${AB}^{2} {= AH}^{2} {+ HB}^{2} \Leftrightarrow {AB}^{2} {= 12}^{2} {+ 16}^{2} = 400$

hay AB = 20cm

Ta có: BC = BH + HC

nên BC = 9 + 16 = 25cm

Câu 2: Cho $ΔABC$ vuông tại A đường cao AH. Biết AB = 15cm, HC = 16cm. Tính BC, AC, HC

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

${AC}^{2} = CH . BC = 16 . BC {AB}^{2} {+ AC}^{2} {= BC}^{2} \Leftrightarrow 15^{2} {+ 16 . BC = BC}^{2} \Leftrightarrow {BC}^{2} - 16 . BC - 225 = 0 \Leftrightarrow {BC}^{2} - 25BC + 9BC - 225 = 0 \Leftrightarrow BC (BC - 25) + 9 (BC - 25) = 0 \Leftrightarrow (BC - 25) (BC + 9) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} B C = 25 (t m) \\ B C = - 9 (l o a i) \end{matrix} \Rightarrow {AC}^{2} = 16 . BC = 16 . 25 = 400 \Rightarrow AC = 20$

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH . BC = AB . AC ( hệ thức lượng )

Vậy BC = 25(cm); AC = 20(cm); HC = 16(cm).

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 1)

Câu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu chảy một mình thì vòi I chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi II chảy đầy bể trong 15 giờ. Còn vòi thứ ba được lắp sát đáy bể để tháo nước từ bể ra. Nếu bể đang đầy thì vòi thứ ba tháo hết nước ra trong 30 giờ. Trong bể đã có 4 1 bể nước, người ta mở cho vòi I và vòi II chảy trong 3 giờ rồi mở tiếp vòi thứ ba. Hỏi sau khi mở vòi thứ ba thì sau bao lâu bể nước đầy?

Lời giải:

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể là:

$1 ÷ 10 = \frac{1}{10} $ (bể)

Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể là:

$1 ÷ 15 = \frac{1}{15}$ (bể)

Mỗi giờ vòi thứ ba rút số phần bể là:

$1 ÷ 30 = \frac{1}{30}$ (bể)

Khi mở vòi I và vòi II mỗi giờ chảy được số phần bể là:

$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$ (bể)

Sau 3 giờ bể mở vòi I và vòi II bể chứa số nước là:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} x 3 = \frac{3}{4}$ (bể)

Khi mở cả ba vòi thì mỗi giờ chảy được số phần bể là:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{2}{15}$ (bể)

Sau khi mở vòi thứ ba thì bể nước đầy sau số giờ là:

$(1 - \frac{3}{4}) ÷ \frac{2}{15} = \frac{15}{8}$ (giờ)

Câu 4: Ba vòi nước 1, 2, 3 .Nếu chảy một mình vào một bể cạn thì chảy đầy bể theo thứ tự 4 giờ, 6 giờ, 9 giờ. Lúc đầu người ta mở hai vòi 1 và 2 trong 1 giờ 30 phút, sau đó đóng vòi 1 rồi mở tiếp vòi 3 cùng chảy với vòi 2 cho đến khi đầy bể. Hỏi vòi chảy trong bao lâu?

Lời giải:

Trong 1 giờ vòi I và II chảy được $\frac{1}{6}$ bể

Trong 1 giờ vòi II và III chảy được $\frac{1}{8}$ bể

Trong 1 giờ vòi III và I chảy được $\frac{1}{12}$ bể

Do đó trong 1 giờ cả 3 vòi chảy được

$(\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12}) : 2 = \frac{3}{16}$ (bể)

Vậy thời gian để cả 3 vòi chảy đầy bể là 1:

$\frac{3}{16} = \frac{16}{3}$ (giờ) = 320 (phút)

b) Trong 1 giờ vòi III chảy được

$\frac{3}{16} - \frac{1}{6} = \frac{1}{48}$ (bể)

Câu 5: Cho một số có hai chữ số, khi ta viết thêm vào bên trái số đó một chữ số 1 thì tổng của số mới và số đã cho là 168 . Tìm số đã cho.

Lời giải:

Khi ta viết thêm vào bên trái số đó 1 thì tổng của số mới và số đã cho là:

(168 - 100) : 2 = 34

Đáp số: 34

Câu 6: Cho đa thức: f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d ( với a, b, c, d là các số thực). Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị của biểu thức: A = f(9) + f(-5)

Lời giải:

Đặt g(x) = f(x) – 10 (bậc 4)

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} g(1) = 0 \\ g(2) = 0 \\ g(3) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)$ (m là hằng số)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - m) - 10 \\ \Leftrightarrow f (9) = 8 . 7 . 6 (9 - m) - 10 = 336 (9 - m) - 10 \\ f (-5) = (- 6) (- 7) (- 8) (- 5 - m) - 10 = 336 (m + 5) - 10 \end{array}$

Vậy A = 336(9 − m) + 336(m + 5) – 20 = 4684

Câu 7: Tìm 4 số lập thành một CSN biết tổng bốn số bằng 15 và tổng các bình phương của chúng bằng 85

Lời giải:

Giả sử 4 số cần tìm là ${a; aq; aq}^{2} {; aq}^{3}, a \neq 0$

Theo Đề bài ta có: $\{\begin{matrix} {a + aq + aq}^{2} {+ aq}^{3} = 15 \\ a^{2} {+ a}^{2} q^{2} {+ a}^{2} q^{4} {+ a}^{2} q^{6} = 85 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} {a(1 + q + q}^{2} {+ q}^{3}) = 15 \\ a^{2} {(1 + q}^{2} {+ q}^{4} {+ q}^{6}) = 85 \end{matrix} \{\begin{matrix} a^{2} {{(1 + q + q}^{2} {+ q}^{3})}^{2} {= 15}^{2} \\ a^{2} {(1 + q}^{2} {+ q}^{4} {+ q}^{6}) = 85 \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{{{(1 + q + q}^{2} {+ q}^{3})}^{2}}{{(1 + q}^{2} {+ q}^{4} {+ q}^{6})} = \frac{15^{2}}{85} \Leftrightarrow {85(1 + q + q}^{2} {+ q}^{3})^{2} {= 225(1 + q}^{2} {+ q}^{4} {+ q}^{6}) \Leftrightarrow {14q}^{6} {- 17q}^{5} {- 3q}^{4} {- 34q}^{3} {- 3q}^{2} - 17q + 14 = 0 \Leftrightarrow {(q - 2)(2q - 1)(7q}^{2} {+ q + 7)(q}^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} q = 2 \\ q = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Với $q = 2 \Rightarrow a = \frac{15}{{1 + q + q}^{2} {+ q}^{3}} = 1$ ta có CSN: 1; 2; 4; 8

Với $q = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{15}{{1 + q + q}^{2} {+ q}^{3}} = 8$ ta có CSN: 8; 4; 2; 1

Câu 8: Tính trung bình cộng hai đáy của một hình thang, biết rằng diện tích hình thang bằng 7m² và chiều cao bằng 2m.

A.3,5 m

B.7 m

C.14 m

D.9 m

Lời giải:

Trung bình cộng hai đáy của hình thang là: 7 : 2 = 3,5 (m)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Tính $P = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2012}}{\frac{2011}{1} + \frac{2010}{2} + \frac{2009}{3} + ... + \frac{1}{2011}}$

Lời giải:

Đặt $B = \frac{2011}{1} + \frac{2010}{2} + \frac{2009}{3} + ... + \frac{1}{2011}$

Cộng 1 vào ta được

$B = (\frac{2012}{1} + \frac{2012}{2} + \frac{2012}{3} + ... + \frac{2012}{2011} + \frac{2012}{2012}) - 2012$

$\Rightarrow B = 2012 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}) - 2012 + \frac{2012}{1}$

Thay vào P ta được

$P = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2012}}{2012 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2012})}$

$\Rightarrow P = \frac{1}{2012}$

Câu 10: Tìm x biết 135 - 5(x + 4) = 35

Lời giải:

135 - 5(x + 4) = 35

5(x + 4) = 135 - 35

5(x + 4) = 100

x + 4 = 100 : 5

x + 4 = 20

x = 20 - 4

x = 16

Câu 11: Có 4 đội bóng đá thi đấu vòng tròn( hai đội bất kì đều gặp nhau một trận)

a) Hỏi có bao nhiêu trận.

b) Câu hỏi với n đội bóng thi đấu vòng tròn thì có tất cả bao nhiêu trận

Lời giải:

a) Có 4 đội bóng thi đấu với nhau mà mỗi đội đều được đá với 3 đội còn lại nên số trận đấu là:

4 x 3 = 12 ( trận đấu )

Nhưng do mỗi trận đã bị tính hai lần nên số trận đấu là:

12 : 2 = 6 ( trận đấu )

b) Tương tự như câu a ta sẽ có công thức tổng quát cho n đội

n ( n - 1 ) : 2 ( trận đấu )

Câu 12: Trong 1 bảng đấu loại bóng đá có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua được 0 điểm. Tổng số điểm của 4 đội khi kết thúc bảng đấu là 16 điểm. Tính số trận hòa.

Lời giải:

Tổng số trận trong bảng đấu là: 4 . 3 : 2 = 6 ( trận)

Tổng số điểm trong trận thắng ( cũng như trận thua) là: 3 + 0 = 3 ( điểm)

Tổng số điểm trong trận hòa là: 1 + 1 = 2 ( điểm)

Nếu cả 6 trận đều thắng thì có tổng số điểm là: 6 . 3 = 18 ( điểm)

Số điểm còn thiếu là: 18 – 16 = 2 ( điểm)

Có số trận hòa là: 2 : 1 = 2 ( trận)

Vậy có 2 trận hòa

Câu 13: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{BAC} = 60°$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{AD} = \frac{7}{12} \vec{AC}$

a) Tính $\vec{AB} . \vec{AC}$

b) Biểu diễn $\vec{AM}, \vec{BD}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$

c) Chứng minh $A M ⊥ B D$

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 2)

a) Ta có $\vec{AB} . \vec{AC} = |\vec{AB}| . |\vec{AC}| . cos (\vec{AB}, \vec{AC}) {= 2 . 3 . cos 60}^{o} = 3.$

Vậy $\vec{AB} . \vec{AC} = 3$

b) Do M là trung điểm của BC nên $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$

Ta có $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \frac{7}{12} \vec{AC} - \vec{AB}$

c) Ta có $\vec{AM} . \vec{BD} = (\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}) . (\frac{7}{12} \vec{AC} - \vec{AB})$

$= \frac{7}{24} \vec{AB} . \vec{AC} - \frac{1}{2} {\vec{AB}}^{2} + \frac{7}{24} {\vec{AC}}^{2} - \frac{1}{2} \vec{AC} . \vec{AB} = \frac{7}{24} . 3 - \frac{1}{2} {. 2}^{2} + \frac{7}{24} {. 3}^{2} - \frac{1}{2} . 3 = 0$

Do đó $A M ⊥ B D$ .

Câu 14: Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:

Có 20 viên bi, trong đó có 3 viên bi nâu, 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng. Như vậy, 1515 số viên bi có màu:

A. Nâu

B. Xanh

C. Đỏ

D. Vàng

Lời giải:

$\frac{3}{20}$ số viên bi có màu nâu.

$\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ số viên bi có màu xanh

$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ số viên bi có màu đỏ.

$\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ số viên bi có màu vàng.

Khoanh vào B.

Câu 15: Hoa có 48 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh và 60 viên bi vàng. Hoa muốn chia đều số bi vào các túi, sao cho mỗi túi có đủ 3 loại bi. Hỏi Hoa có thể chia vào nhiều nhất bao nhiêu túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

Lời giải:

Ta có:

Gọi số túi mà Hoa chia được là x (túi)

Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên $48 ⋮ x; 30 ⋮ x$ và $60 ⋮ x$

$\Rightarrow x \in$ ƯC(48; 30; 60)

Vì x là lớn nhất nên x = ƯCLN(48; 30; 60)
Ta có: 48 = 2⁴ . 3; 30 = 2 . 3 . 5; 60 = 2². 3 . 5

$\Rightarrow$ x = ƯCLN(48; 30; 60) = 2 . 3 = 6 .

Vậy Hoa chia được nhiều nhất là 6 túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng

(d) : y = (m - 3)x + 1 $(m \neq 3)$ bằng $\frac{1}{2}$

Lời giải:

Gọi A là giao điểm của d với Ox $\Rightarrow A (- \frac{1}{m-3}; 0) \Rightarrow OA = \frac{1}{|m - 3|}$

Gọi B là giao điểm của d với Oy $\Rightarrow B (0; 1) \Rightarrow OB = 1$

Từ O kẻ OH vuông góc AB $\Rightarrow OH = \frac{1}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB:

$\frac{1}{{OH}^{2}} = \frac{1}{{OA}^{2}} + \frac{1}{{OB}^{2}} \Rightarrow 4 = {(m - 3)}^{2} + 1 \Rightarrow {(m - 3)}^{2} = 3 \Rightarrow [\begin{matrix} m = 3 + \sqrt{3} \\ m = 3 - \sqrt{3} \end{matrix}$

Câu 17: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 3)

Lời giải:

Điều kiện $m \neq 0$

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng (1) với các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $A (x_{1}; 0), B ({0; y}_{2}) .$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} {0 = mx}_{1} + 1 \\ {m . 0 + 1 = y}_{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1}{m} \\ y_{2} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} A(- \frac{1}{m}; 0) \\ B(0; 1) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} OA = |- \frac{1}{m}| = \frac{1}{|m|} \\ OB = |1| = 1 \end{matrix}$

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng (1) $\Rightarrow OH = \frac{2}{\sqrt{5}} .$

Khi đó ta có vuông tại O và có đường cao OH.

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại O và có đường cao OH ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{OH}^{2}} = \frac{1}{{OA}^{2}} + \frac{1}{{OB}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}} = \frac{1}{{|x_{1}|}^{2}} + \frac{1}{{|y_{2}|}^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{1}{{(- \frac{1}{m})}^{2}} + \frac{1}{1^{2}} \Leftrightarrow \frac{5}{4} {= m}^{2} + 1 \\ \Leftrightarrow {5 = 4m}^{2} + 4 \Leftrightarrow {4m}^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = ± \frac{1}{2} (tm) \end{array}$

Vậy $m = ± \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Câu 18: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 4)

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).

Xét $Δ C B D$ có :

CI = IB

CO = OD (bán kính)

⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.

Câu 19: Cho $ΔABC$ . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn AB, AC theo hai vectơ $\vec{AI}, \vec{AJ}$ và biểu diễn AJ qua AB, AC

b) Biểu diễn AG theo hai vectơ $\vec{AI}, \vec{AJ}$

Lời giải:

a) I là điểm trên cạnh BC mà: $2CI = 3BI \Rightarrow \frac{BI}{CI} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{BI}{CI + BI} = \frac{2}{3 + 2} \Rightarrow \frac{BI}{BC} = \frac{2}{5} \Rightarrow BI = \frac{2}{5} BC$

Tương tự $IC = \frac{3}{5} BC$

J là điểm trên BC kéo dài: $5JB = 2JC \Rightarrow \frac{JB}{JC} = \frac{2}{5}$

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 5)

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 6)

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 7)

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 8)

Câu 20: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Lời giải:

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA = MA’.

Do đó : MA + MB = MA’ + MB = A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A + M’B = M’A’ + M’B lớn hơn hoặc bằng A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’

Câu 21: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) như hình bên.

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 9)

Hàm số g(x) = f(x²) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có g’(x) = 2x.f’(x²).

Cho g’(x) = 0 ⇔ 2x.f’(x²) = 0.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - 2 (v o n g h i e m) \\ x^{2} = 0 \\ x^{2} = 1 \\ x^{2} = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 10)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g(x) có tất cả 5 điểm cực trị.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: 9x² – 6xy + y² – 81.

Lời giải:

9x² – 6xy + y² – 81 = (3x – y)² – 9²

= (3x – y – 9)(3x – y + 9).

Câu 23: Cho hàm số bậc nhất y = (1 – 3m)x + m + 3. Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi m bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có đồ thị của hàm số đã cho đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Suy ra 0 = (1 – 3m).0 + m + 3.

⇔ m = –3.

Vậy m = –3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. x + y + 2z – 3 = 0;

B. x + y + 2z – 6 = 0;

C. x + 3y + 4z – 7 = 0;

D. x + 3y + 4z – 26 = 0.

Lời giải:

Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 2)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{A B} = (1; 1; 2)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (P): 1.(x – 0) + 1.(y – 1) + 2.(z – 1) = 0.

⇔ x + y + 2z – 3 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 25: Giải phương trình sau: 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5}.

Lời giải:

Ta có 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5} (Điều kiện: n ≥ 6).

⇔ 16,7.n! = 2004.(n – 5)!

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)! = 2004.(n – 5)!

⇔ (n – 5)!.[16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004] = 0

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004 = 0

⇔ n.(n – 1)(n – 4)(n – 2)(n – 3) – 120 = 0

⇔ n.(n² – 5n + 4)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ (n³ – 5n² + 4n)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ n⁵ – 5n⁴ + 6n³ – 5n⁴ + 25n³ – 30n² + 4n³ – 20n² + 24n – 120 = 0

⇔ n⁵ – 10n⁴ + 35n³ – 50n² + 24n – 120 = 0

⇔ (n⁵ – 5n⁴) – (5n⁴ – 25n³) + (10n³ – 50n²) + (24n – 120) = 0

⇔ n⁴.(n – 5) – 5n³.(n – 5) + 10n².(n – 5) + 24(n – 5) = 0

⇔ (n – 5)(n⁴ – 5n³ + 10n² + 24) = 0 (1)

Ta có $n^{4} - 5 n^{3} + 10 n^{2} + 24 = {(n^{2} - \frac{5 n}{2})}^{2} + \frac{15}{4} n^{2} + 24$ .

Ta có $\{\begin{cases} {(n^{2} - \frac{5 n}{2})}^{2} \geq 0, \forall n \geq 6 \\ \frac{15}{4} n^{2} \geq 0, \forall n \geq 6 \end{cases}$

$\Rightarrow {(n^{2} - \frac{5 n}{2})}^{2} + \frac{15}{4} n^{2} \geq 0, \forall n \geq 6$

$\Leftrightarrow {(n^{2} - \frac{5 n}{2})}^{2} + \frac{15}{4} n^{2} + 24 \geq 24 > 0, \forall n \geq 6$ .

Khi đó phương trình (1) tương đương với: n – 5 = 0.

⇔ n = 5 (nhận).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là n = 5.

Câu 26: Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y) nằm trên đường thẳng d đi qua điểm M(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (A, B)$ là

A. A(x – x₀) + B(y₀ – y) = 0;

B. x₀(x – A) + y₀(y – B) = 0;

C. B(x – x₀) + A(y – y₀) = 0;

D. A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.

Lời giải:

Ta có $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}; y - y_{0})$ .

Ta có M(x; y) ∈ d.

$\Leftrightarrow \vec{n} ⊥ \vec{M_{0} M} \Leftrightarrow \vec{n} . \vec{M_{0} M} = 0$

⇔ A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.

Vậy điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y) nằm trên đường thẳng d đi qua điểm M(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (A, B)$ là A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 27: Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thỏa mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a. Tính giá trị của biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Lời giải:

Ta có a² – 2b = c² – 2a.

⇔ a² – c² = 2b – 2a.

⇔ (a – c)(a + c) = 2(b – a)

$\Leftrightarrow a + c = \frac{2 (b - a)}{a - c} \Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{2 (b - a)}{a - c} + 2 \Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{2 (b - c)}{a - c}$

Chứng minh tương tự, ta được $b + c + 2 = \frac{2 (b - a)}{b - c}$ và $a + b + 2 = \frac{2 (a - c)}{a - b}$ .

Ta có A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

$= \frac{2 (a - c)}{a - b} . \frac{2 (b - a)}{b - c} . \frac{2 (b - c)}{a - c} = - \frac{2 (a - c)}{b - a} . \frac{2 (b - a)}{b - c} . \frac{2 (b - c)}{a - c}$

= –2.2.2 = –8.

Vậy A = –8.

Câu 28: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng tổng quát u_n = 3n – 1 (n ∈ ℕ*). Số hạng đầu u₁ và công sai d là

Lời giải:

Ta có u₁ = 3.1 – 1 = 2 và u₂ = 3.2 – 1 = 5.

Suy ra công sai d = u₂ – u₁ = 5 – 2 = 3.

Vậy số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Câu 29: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x² – 2x – 3.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(1; –4).

Sự biến thiên:

Do a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (–∞; 1).

Bảng biến thiên:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 11)

Điểm đặc biệt:

x	–1	0	1	2	3
y = x² – 2x – 3	0	–3	–4	–3	0

Đồ thị:

Đồ thị hàm số là đường parabol có đỉnh I(1; –4), hướng bề lõm lên trên và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng.

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 12)

Câu 30: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x² – 2x + 2.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(1; 1).

Sự biến thiên:

Do a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (–∞; 1).

Bảng biến thiên:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 13)

Điểm đặc biệt:

x	–1	0	1	2	3
f(x) = x² – 2x + 2	5	2	1	2	5

Đồ thị:

Đồ thị hàm số là đường parabol có đỉnh I(1; 1), hướng bề lõm lên trên và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng.

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 14)

Câu 31: Chứng minh rằng: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức:

a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ a²b² + a²c² + b²c²

Mà: a²b² + a²c² + b²c² ≥ a²bc + ab²c + abc²

Mặc khác: a²bc + ab²c + abc² = abc(a + b + c).

Vậy: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Câu 32: Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giá AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 15)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn $(O; \frac{A C}{2})$ .

Xét tứ giác ADEC có $\hat{A D C} = \hat{A E C} = 90^{o}$

Do đó tứ giác ADEC nội tiếp $(O; \frac{A C}{2})$

Vậy 5 điểm A, B, C, D, E cung thuộc đường tròn $(O; \frac{A C}{2})$ .

Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất:

a) A = x² + 4y² – 4x + 32y + 2078;

b) B = 3x² + y² + 4x – y .

Lời giải:

a) Ta có A = x² + 4y² – 4x + 32y + 2078

= (x² – 4x +2) + (4y² + 32y + 64) + 2010

= (x – 2)² + (2y + 8)² + 2010

Vì (x – 2)² ≥ 0; (2y + 8)² ≥ 0 nên A = (x – 2)² + (2y + 8)² + 2010 ≥ 2010.

Dấu = xảy ra khi x – 2 = 0 và 2y + 8 = 0.

Vây A_min = 2010 ⇔ (x; y) = (2; – 4).

b) Ta có: B = 3x² + y² + 4x – y

$= 3 (x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9}) + (y^{2} - y + \frac{1}{4}) - \frac{19}{12} = 3 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{19}{12} \Rightarrow B = 3 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{19}{12} \geq \frac{- 19}{12}$

Dấu = xảy ra khi $x + \frac{2}{3} = 0$ ; $y - \frac{1}{2} = 0$ .

Vậy $B_{\min} = - \frac{19}{12} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{2} \end{matrix}$ .

Câu 34: Bạn An làm một phép chia có số dư là số dư lớn nhất, có thể có sau đó An giảm cả số bị chia và số chia đi 5 lần ở phép chia mới này, thương số là 75, số dư là 4. Tìm phép chia ban đầu.

Lời giải:

Ở phép chia lần thứ hai khi cùng giảm cả số bị chia và số chia đi 5 thì thương số là 75 số dư là 4 nên thương và số dư không thay đổi.

Suy ra ở phép chia lần thức nhất thương ban đầu vẫn là 75 và số dư ban đầu là 4.

Vì số dư lớn nhất là 4 nên số bị chia là 5.

Số chia ban đầu là: 75 × 5 + 4 = 379.

Vậy phép chia ban đầu là 379 : 5 = 75 dư 4.

Câu 35: Bạn An làm một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có. Sau đó, An giảm ở cả số bị chia và số chia đi 2 lần. Ở phép chia mới có số thương là 162, số dư là 10. Tìm phép chia ban đầu.

Lời giải:

Ở phép chia mới khi cùng giảm cả số bị chia và số chia đi 2 thì thương số là 162 số dư là 10 nên thương và số dư không thay đổi.

Suy ra ở phép chia lần thức nhất thương ban đầu vẫn là 162 và số dư ban đầu là 10.

Vì số dư lớn nhất là 10 nên số bị chia là 11.

Số chia ban đầu là: 162 × 11 + 10 = 1792.

Vậy phép chia ban đầu là 1792 : 11 = 162 dư 10.

Câu 36: 25% của số đó là 40. Số đó là số nào?

Lời giải:

Vì 25% của số đó là 40.

Vậy số đã cho là: 40 : 25% = 160.

Đáp số: 160.

Câu 37: Biết 25% của 1 số là 40. Tính $\frac{1}{5}$ số đó.

Lời giải:

Vì 25% của số là 40 nên giá trị của số đó là: 40 : 25% = 160

Giá trị $\frac{1}{5}$ của số đó là: $160 . \frac{1}{5} = 32$ .

Đáp số: 32.

Câu 38: Cho a là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f(x) $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{|x| - a}$ xác định trên khoảng (−1; 1).

Lời giải:

Điều kiện xác định của hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{|x| - a}$ :

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \sqrt{x + 2} \geq 0 \\ |x| - a \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq - 2 \\ |x| = a \end{matrix}$

Vậy để hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{|x| - a}$ xác định trên khoảng (−1;1) $\Leftrightarrow a > 1$ .

Câu 39: Cho hàm số f(x) xác định trên $[a; b]$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[a; b]$ và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trong khoảng (a; b);

B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b);

C. Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b);

D. Nếu hàm số y = f(x) liên tục tăng trên đoạn $[a; b]$ và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không thể có nghiệm trong (a; b).

Lời giải:

Đáp án D đúng vì : hàm số y = f(x) liên tục tăng trên đoạn $[a; b]$ nên f(a) < f(x) < f(b) ∀x ∈ (a; b).

Ta có: f(a).f(b) > 0

$\{\begin{matrix} f (a) > 0 \\ f (b) > 0 \\ f (a) < f (x) < f (b) \end{matrix} \Rightarrow f (x) > 0 \{\begin{matrix} f (a) < 0 \\ f (b) < 0 \\ f (a) < f (x) < f (b) \end{matrix} \Rightarrow f (x) < 0$

Vậy f(x) = 0 không thể có nghiệm trong (a; b).

Câu 40: Phân tích đa thức thành nhân tử: a(a + 2b)³ − b(2a + b)³ .

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 1)

Câu 41: Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: C = 118 ± 2 (cm). Sai số tỉ đối phép đo đó bằng

A. 2%;

B. 1,7%;

C. 5,9%;

D. 1,2%.

Lời giải:

Sai số tỉ đối của phép đo đó là: $ε = \frac{2}{118} .100 % = 1,67 %$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 42: Khi đo chiều dài của chiếc bàn học, một học sinh viết được kết quả: l = 158 ± 2 (cm). Sai số tương đối của phép đo đó bằng

A. 2%;

B. 1,7%;

C. 0,6%;

D. 1,3%.

Lời giải:

Sai số tương đối của phép đo đó là: $\frac{2}{158} .100 % = 1,27 %$ .

Đáp án đúng là D.

Câu 43: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có ba chữ số. Biết rằng a chia cho 11 dư 3 và a chia cho 13 dư 5.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là a thì a + 8 ∈ BC (11; 13) và a là số nhỏ nhất thỏa mãn 100 ≤ a ≤ 999.

Ta có BCNN (11; 13) = 11.13 = 143.

BC (11;13) ∈ {0; 143; 286; ...}.

Vì a là số tự nhiên có ba chữ số nhỏ nhất nên a + 8 = 143 ⇒ a = 135.

Vậy số cần tìm là 135.

Câu 44: Cho 2 đường thẳng (d): y = – x + m + 2 và (d'): y= (m² – 2).x + 1.

a) Khi m = – 2, hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

b) Tìm m để (d) song song với (d').

Lời giải:

a) m = – 2 thì (d): y = − x; (d'): y = 2x + 1.

Gọi M (x₀; y₀) là giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d')

⇒ (d): y₀ = – x₀ ; (d'): y₀ = 2x₀ + 1

$\Rightarrow \{\begin{matrix} y_{0} = - x_{0} \\ y_{0} = 2 x_{0} + 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{0} = \frac{- 1}{3} \\ y_{0} = \frac{1}{3} \end{matrix}$

Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là: $M (\frac{- 1}{3}; \frac{1}{3})$ .

b) Điều kiện để (d) song song với (d'):

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 1 = m^{2} - 2 \\ m + 2 \neq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = \pm 1 \\ m \neq - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1$