Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1)

Ngọc Nguyễn Ngày: 05-06-2023 Tổng hợp kiến thức

328

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1)

Câu 17: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 22) (ảnh 3)

Lời giải:

Điều kiện $m \neq 0$

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng (1) với các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $A (x_{1}; 0), B ({0; y}_{2}) .$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} {0 = mx}_{1} + 1 \\ {m . 0 + 1 = y}_{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1}{m} \\ y_{2} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} A(- \frac{1}{m}; 0) \\ B(0; 1) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} OA = |- \frac{1}{m}| = \frac{1}{|m|} \\ OB = |1| = 1 \end{matrix}$

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng (1) $\Rightarrow OH = \frac{2}{\sqrt{5}} .$

Khi đó ta có vuông tại O và có đường cao OH.

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại O và có đường cao OH ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{OH}^{2}} = \frac{1}{{OA}^{2}} + \frac{1}{{OB}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}} = \frac{1}{{|x_{1}|}^{2}} + \frac{1}{{|y_{2}|}^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{1}{{(- \frac{1}{m})}^{2}} + \frac{1}{1^{2}} \Leftrightarrow \frac{5}{4} {= m}^{2} + 1 \\ \Leftrightarrow {5 = 4m}^{2} + 4 \Leftrightarrow {4m}^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = ± \frac{1}{2} (tm) \end{array}$