Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC

Ngọc Nguyễn Ngày: 11-03-2024 Tổng hợp kiến thức

188

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 97) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC

Câu 90: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn $\vec{B C} = 3 \vec{B M}, \vec{A B} = 3 \vec{A N}$ . Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.

Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)

Với $\vec{B E} = x \vec{B N} + y \vec{B C} = \frac{2 x}{3} \vec{B A} + 3 y \vec{B M} = \frac{2 x}{3} \vec{B A} + y \vec{B C}$

Vì E thuộc AM nên $\frac{2 x}{3} + 3 y = 1 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $x = \frac{6}{7}; y = \frac{1}{7}$

Vậy $\vec{B E} = \frac{4}{7} \vec{B A} + \frac{1}{7} \vec{B C}$

Mặt khác: $\vec{C N} = \vec{C A} + \vec{A N} = \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{A B} = \vec{C A} + \frac{1}{3} (\vec{A C} + \vec{C B}) = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$

Khi đó: $\vec{B E} . \vec{C N} = (\frac{4}{7} \vec{B A} + \frac{1}{7} \vec{B C}) (\frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B})$

$= \frac{8}{21} . \vec{B A} . \vec{C A} + \frac{4}{21} \vec{B A} . \vec{C B} + \frac{2}{21} \vec{B C} . \vec{C A} + \frac{1}{21} \vec{B C} . \vec{C B}$

= $a^{2} [\frac{8}{21} . \frac{1}{2} + \frac{4}{21} . (- \frac{1}{2}) + \frac{2}{21} . (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}] = 0$

Vậy BE vuông góc CN hay EB vuông góc với EC.